確率の例題で「同じクラスに，同じ誕生日の人が高確率で存在すること」（誕生日のパラドックス - Wikipedia）を題材とした問題がよく取り上げられます．誕生日ならちょっとびっくりする例で済むのですが，生体認証やDNA鑑定で同じことが起きるため，問題とな…
移動平均 移動分散 関連記事 移動平均移動平均\begin{aligned} \bar{x}_{m} = \frac{1}{n} \sum_{i=m-n+1}^{m} x_{i} \end{aligned}を逐次計算する．\begin{aligned} \bar{x}_{m} &= (n\bar{x}_{m-1} - x_{m-n} + x_{m}) / n \\ &= \bar{x}_{m-1} + \frac{1}…
過去の計算結果と新たに取得したデータを使って，平均や分散をアップデートしていく方法．Welfordのアルゴリズムというらしい．つまり，$n$ステップ目で欲しい量を$y_{n}$，新たに得られる量を$x_{n}$とするとき，\begin{aligned} y_{n} = f(y_{n-1}, x_{n})…
スカラー場 スカラー場の無限小回転 参考文献 スカラー場座標回転$\bm{x} \mapsto \bm{x}^{\prime} = R\bm{x}$に対して，$f\mapsto f^{\prime}$が以下のように変換するとき，$f$をスカラー場という．\begin{aligned} f: & \bm{x} \mapsto f(\bm{x}) \\ f^{\p…
無限小回転と任意の回転の関係について見ていきます． ベクトルの無限小回転 任意の回転 外積の行列表現 回転行列と交代行列の関係 参考文献 ベクトルの無限小回転ベクトル$\bm{\omega}$を回転軸とする回転を考える．ベクトル$\bm{\omega}$の大きさは，時間$…
波数ベクトルの変換則から求める 参考文献 波数ベクトルの変換則から求める音のドップラー効果と同じように考える． ➡音のドップラー効果をガリレイ変換で考える - Notes_JP波の伝播方向を向く単位ベクトルを$\hat{\bm{k}}$とし，波数ベクトル\begin{aligned…
高校物理では，音のドップラー効果を以下の方法で求めました． ➡【高校物理】ドップラー効果（音波） - Notes_JP一方，光のドップラー効果は，ローレンツ変換を使って計算されます．この計算と比較するために，音のドップラー効果をガリレイ変換で計算しまし…
POINT ベクトル解析の公式と，その導出方法の一覧． 行列計算も統一的に理解できる． ベクトル解析の公式と，その導出方法を一覧にまとめました．力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で，これらの計算はとても重要です．計算練習をして，すぐに公式を導出…
完全反対称テンソルの縮約POINTベクトル解析の計算でよく使う「完全反対称テンソルの縮約公式」を簡単に導出する．ベクトル解析でよく使う公式に「完全反対称テンソルの縮約公式」があります． ※完全反対称テンソルは，レビ・チビタ記号，エディントンのイプ…
POINT 正項級数の収束を判定する方法と例． 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません．しかし，\begin{aligned} \biggl| \sum_n a_n \biggr| \leq \sum_{n} |a_{n}| \end{aligned}から （正項級数）$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Rightarrow \…
以下の書籍で紹介されている計算方法です．電磁気学とベクトル解析 (数学と物理の交差点 2)作者:吉田 善章共立出版Amazonラプラシアンやdivを簡単に導くには，以下の方法もあります： ラプラシアンの計算はヤコビアンを使うと簡単 - Notes_JP 記法 ベクトル…
【関連記事】 黒体輻射のスペクトル - Notes_JP 放射量（radiometric quantity） 放射エネルギー（radiant energy）$Q_{\mathrm{e}}$ 放射束（radiant flux）$\Phi_{\mathrm{e}}$ 放射強度（radiant intensity）$I_{\mathrm{e}}$ 放射輝度（radiance）$L_{\m…
Slowly varying envelope approximationについて． Slowly varying envelope approximation - Wikipedia \begin{aligned} A(x+\lambda) \simeq A(x) + \frac{\partial A}{\partial x}(x) \lambda \end{aligned}が成り立つとき，2次の項\begin{aligned} \frac…
正規分布の畳み込み・相関関数を以下の方法で計算してみる． ➡フーリエ変換を使った相関関数と畳み込みの計算方法 - Notes_JP 準備 畳み込み 相関関数 別解 特性関数を使う 畳み込み 準備この記事では，関数$f$のフーリエ変換を\begin{aligned} \mathcal{F}[…
正規分布の半値幅を計算する（半値幅 - Wikipedia）．正規分布は以下で与えられる（正規分布の覚え方 - Notes_JP）：平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の正規分布\begin{aligned} N(\mu, \sigma^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}…
POINT 周期関数の「フーリエ変換」はくし型関数（くし型関数 - Wikipedia）で表せる． フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP くし型関数 周期関数の「フーリエ変換」 参考文献 くし型関数くし型関数を\begin{aligned} \delta_{T…
書籍「ベイズ信号処理（関原 謙介）」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました．問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください．ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…
書籍「ベイズ信号処理（関原 謙介）」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました．問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください．ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…
書籍「ベイズ信号処理（関原 謙介）」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました．問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください．ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…
3次元回転行列も，以下の2次元回転行列と全く同じ方法で導出できます． 回転行列（2次元） - Notes_JP 座標軸周りの回転 任意軸周りの回転（ロドリゲスの回転公式） 関連記事 座標軸周りの回転3次元回転行列（$x,y,z$軸周り）\begin{aligned} \begin{cases} …
データ分析の題材として，金融データを扱っている書籍は多いです．しかし，同じことを試そうと思っても，信頼できる長期的なデータを取得する方法がなかなかありません（経験上，無料で得られるデータでは，株式分割などを考慮しない株価になっている可能性…
$\log_{10} x$の導関数を計算できますか？ 常用対数から自然対数への変換 一般的な底の変換 一般的な微分公式 常用対数から自然対数への変換常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが，例えば微分したいときに困ります．$\ln x = \log_{e}x$の導関数は\begin…
回転行列をnumpyで実装します．回転行列については以下の記事を参照してください． ➡回転行列（2次元） - Notes_JP 2次元Python (numpy) import numpy as np def rot(vec, theta): vec = vec.reshape(-1, 1) cos, sin = np.cos(theta), np.sin(theta) R = np…
POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる． オイラーの公式を使わない方法は，次の記事を参照してください． 三角関数と公式 - Notes_JP オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角関数の公式を…
POINT よく使う行列の性質をまとめます． 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例：2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$（$a_{ji}=a_{ij}$）を満たす行列を「対称行列」と呼びます．逆行列対称行列の…
POINT x//yはfloor(x/y)と思えばOK． x%yはmod yで，yと同符号になる． ドキュメント 負の数に対する演算 参考文献/記事 ドキュメント6. 式 (expression) — Python 3.12.1 ドキュメント //(切り捨て除算: floor division)：floor関数と同じ． 整数の切り捨て…
POINT FFTと手計算したフーリエ変換を比較する方法について． $T_{\mathrm{s}}$をサンプリング周期とするとき，手計算と比較すべきは「FFTの結果×$T_{\mathrm{s}}$」と「IFFTの結果 / $T_{\mathrm{s}}$」である． numpy.fftを使って，ガウス関数のFFTと手計…
POINT パワースペクトルの定義と意味，自己相関関数との関係について． 応用例として熱雑音を取り上げる． 【関連記事】 相関関数と畳み込み - Notes_JP 時間平均 - Notes_JP パワースペクトル 熱雑音 参考文献 パワースペクトル$x(t)$を$[-T/2, T/2]$でだけ…
黒体輻射のスペクトル ある波長範囲のエネルギーの割合 黒体輻射のスペクトル黒体輻射のスペクトル（分光放射輝度）をプロットするPythonコードです． 計算方法：黒体輻射のスペクトル - Notes_JP import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt impor…
POINT Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出 スペクトルを計算する 黒体輻射（Black body radiation）について整理します．機会があれば，場の理論的なアプローチも扱いたいと思っています． 【関連記事】 [A]放射量と測光量 - Notes_J…
