ベクトル解析の公式

POINT ベクトル解析の公式と,その導出方法の一覧. 行列計算も統一的に理解できる. ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です.計算練習をして,すぐに公式を導出…

完全反対称テンソルの縮約公式

完全反対称テンソルの縮約POINTベクトル解析の計算で欠かすことができない「完全反対称テンソルの縮約公式」を簡単に導出する方法.ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル(レビ・チビタ記号・エディントンのイプシロン)の縮約公式』があります…

正項級数の収束判定法と例

POINT 正項級数の収束を判定する方法と例. 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません.しかし,\begin{aligned} \biggl| \sum_n a_n \biggr| \leq \sum_{n} |a_{n}| \end{aligned}から (正項級数)$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Rightarrow \…

微分形式を使った曲線座標のgrad・rot・div

以下の書籍で紹介されている計算方法です.電磁気学とベクトル解析 (数学と物理の交差点 2)作者:吉田 善章共立出版Amazonラプラシアンやdivを簡単に導くには,以下の方法もあります: ラプラシアンの計算はヤコビアンを使うと簡単 - Notes_JP 記法 ベクトル…

放射量と測光量

【関連記事】 黒体輻射のスペクトル - Notes_JP 放射量(radiometric quantity) 放射エネルギー(radiant energy)$Q_{\mathrm{e}}$ 放射束(radiant flux)$\Phi_{\mathrm{e}}$ 放射強度(radiant intensity)$I_{\mathrm{e}}$ 放射輝度(radiance)$L_{\m…

Slowly varying envelope approximation

Slowly varying envelope approximationについて. Slowly varying envelope approximation - Wikipedia \begin{aligned} A(x+\lambda) \simeq A(x) + \frac{\partial A}{\partial x}(x) \lambda \end{aligned}が成り立つとき,2次の項\begin{aligned} \frac…

正規分布の畳み込み・相関関数

正規分布の畳み込み・相関関数を以下の方法で計算してみる. フーリエ変換を使った相関関数と畳み込みの計算方法 - Notes_JP 準備 畳み込み 相関関数 別解 畳み込み 準備この記事では,関数$f$のフーリエ変換を\begin{aligned} \mathcal{F}[f](\xi) = \int_{…

正規分布の半値幅(FWHM)

正規分布の半値幅を計算する(半値幅 - Wikipedia).正規分布は以下で与えられる(正規分布の覚え方 - Notes_JP):平均$\mu$,分散$\sigma^{2}$の正規分布\begin{aligned} N(\mu, \sigma^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}…

周期関数の「フーリエ変換」

POINT 周期関数の「フーリエ変換」はくし型関数(くし型関数 - Wikipedia)で表せる. フーリエ変換のその他の性質:フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP くし型関数 周期関数の「フーリエ変換」 参考文献 くし型関数くし型関数を\begin{aligned} \delta_{T…

Pythonでベイズ因子分析

書籍「ベイズ信号処理(関原 謙介)」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました.問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください.ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…

Pythonでスパースベイズ

書籍「ベイズ信号処理(関原 謙介)」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました.問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください.ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…

PythonでEMアルゴリズム(線形正規モデル・L2正則化)

書籍「ベイズ信号処理(関原 謙介)」の「第10章 数値実験」の計算例をPythonで実行しました.問題設定やアルゴリズムについては書籍を参照してください.ベイズ信号処理 ―信号・ノイズ・推定をベイズ的に考える―作者:関原 謙介共立出版Amazon出版社のページ…

回転行列(3次元)

3次元回転行列も,以下の2次元回転行列と全く同じ方法で導出できます. 回転行列(2次元) - Notes_JP 座標軸周りの回転 任意軸周りの回転(ロドリゲスの回転公式) 関連記事 座標軸周りの回転3次元回転行列($x,y,z$軸周り)\begin{aligned} \begin{cases} …

J-Quants APIで株価・財務情報を取得

データ分析の題材として,金融データを扱っている書籍は多いです.しかし,同じことを試そうと思っても,信頼できる長期的なデータを取得する方法がなかなかありません(経験上,無料で得られるデータでは,株式分割などを考慮しない株価になっている可能性…

常用対数から自然対数への変換(log10からlnへの変換)

$\log_{10} x$の導関数を計算できますか? 常用対数から自然対数への変換 一般的な底の変換 一般的な微分公式 常用対数から自然対数への変換常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが,例えば微分したいときに困ります.$\ln x = \log_{e}x$の導関数は\begin…

Pythonで回転行列

回転行列をnumpyで実装します.回転行列については以下の記事を参照してください. 回転行列(2次元) - Notes_JP 2次元Python (numpy) import numpy as np def rot(vec, theta): vec = vec.reshape(-1, 1) cos, sin = np.cos(theta), np.sin(theta) R = np.…

三角関数の公式をオイラーの公式で導く

POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる. オイラーの公式を使わない方法は,次の記事を参照してください. 三角関数と公式 - Notes_JP オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角関数の公式を…

行列の性質

POINT よく使う行列の性質をまとめます. 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例:2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$($a_{ji}=a_{ij}$)を満たす行列を「対称行列」と呼びます.逆行列対称行列の…

Pythonの切り捨て除算演算と剰余演算

POINT x//yはfloor(x/y)と思えばOK. x%yはmod yで,yと同符号になる. ドキュメント 負の数に対する演算 参考文献/記事 ドキュメント6. 式 (expression) — Python 3.12.1 ドキュメント //(切り捨て除算: floor division):floor関数と同じ. 整数の切り捨て…

FFTの結果を手計算の結果と比較するには?

POINT FFTと手計算したフーリエ変換を比較する方法について. $T_{\mathrm{s}}$をサンプリング周期とするとき,手計算と比較すべきは「FFTの結果×$T_{\mathrm{s}}$」と「IFFTの結果 / $T_{\mathrm{s}}$」である. numpy.fftを使って,ガウス関数のFFTと手計…

熱雑音とパワースペクトル

POINT パワースペクトルの定義と意味,自己相関関数との関係について. 応用例として熱雑音を取り上げる. 【関連記事】 相関関数と畳み込み - Notes_JP 時間平均 - Notes_JP パワースペクトル 熱雑音 参考文献 パワースペクトル$x(t)$を$[-T/2, T/2]$でだけ…

黒体輻射のスペクトル(Pythonコード)

黒体輻射のスペクトル ある波長範囲のエネルギーの割合 黒体輻射のスペクトル黒体輻射のスペクトル(分光放射輝度)をプロットするPythonコードです. 計算方法:黒体輻射のスペクトル - Notes_JP import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt impor…

黒体輻射(プランクの法則)

POINT Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出 スペクトルを計算する 黒体輻射(Black body radiation)について整理します.機会があれば,場の理論的なアプローチも扱いたいと思っています. 【関連記事】 [A]放射量と測光量 - Notes_J…

主成分分析(PCA)

【関連記事】 主成分回帰(PCR)・部分最小二乗法(PLS) - Notes_JP 主成分分析(PCA)とは あらすじ 考え方(分散の最大化) 考え方(対角化) 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析(PCA)とはあらすじ1回の測…

時間平均

POINT 関数の時間平均について. 時間的に周期性を持つ関数の長時間平均はゼロになる. 【関連記事】 電場の複素表示 - Notes_JP 時間平均 周期関数 実効値 複素数表示した波の時間平均 単色波の場合 一般の場合 複素場(解析信号)の構成 関係式の証明 時間…

【読書メモ】素粒子論はなぜわかりにくいのか(吉田伸夫)

POINT 「場の理論」の直感的な説明を試みた書籍. 場の理論を勉強する前に読んでおきたい本です! 以下(3冊)の書籍のメモです(【注】自分がわかりやすいように解釈し直しているので,誤りを含む可能性があります).著者の場の理論に対する説明は一貫して…

ミラー反射に伴う偏光の計算

POINT ミラーの反射による偏光の変化をジョーンズベクトル・行列で計算する方法のメモ. 座標系の取り方は参考文献[1]に従う. 2つのミラー 図示による方法 ジョーンズベクトルとジョーンズ行列を使う方法 補足:ミラー間の座標回転角度の求め方 参考文献 2…

主成分回帰(PCR)と部分最小二乗法(PLS)の導出について

POINT PCAとPLSの導出に関する計算メモ. 【関連記事】 主成分分析(PCA) - Notes_JP 次の書籍の計算メモです.スモールデータ解析と機械学習作者:藤原 幸一オーム社Amazon 用語 PCR - 主成分回帰 PLS - 部分最小二乗法 PLS1 - 目的変数が1つの場合 Python…

1の3乗根(図解)

$x^{3} = 1$の解は$x = \omega, \omega^{2}, \omega^{3}( = 1)$と表せる(下図).但し,$\omega$の選び方には図a), b)の2通りがある.さらに,図で3つのベクトルの和を考えれば,図a), b)のどちらでも\begin{aligned} \omega^{2} + \omega + 1 = 0 \end{ali…

3倍角の公式

複素数を使う:ド・モアブルの定理 加法定理を使う 回転行列を使う 複素数を使う:ド・モアブルの定理ド・モアブルの定理 - Wikipediaを使う.$e^{i3\theta} = (e^{i\theta})^{3}$だから\begin{aligned} e^{i3\theta} & = \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\ …