POINT sinのFFT (DFT) と DTFT，連続フーリエ変換の結果を比較する． numpy.fftの使い方を整理する． numpy.fftを正弦波で試したのでメモ． Discrete Fourier Transform (numpy.fft) — NumPy v1.26 Manual【関連記事】 フーリエ変換とDFTのつながり - Notes_…
POINT フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する． サンプリングデータから，元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか，という視点で考える． DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか？ サンプリング信号は，どうしてイン…
POINT プールされた分散が現れる背景について． 【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる - Notes_JP 2標本問題 問題設定 それぞれの母分散が既知の場合 母分散が未知だが等しい場合 参考文献 2標本問題問題設定独立な確率変数\begin{al…
POINT 問題を表にまとめると，ベイズの定理を覚えなくても条件付き確率を計算できる． 以前，【ベイズの定理】ベン図でわかる条件付き確率 - Notes_JPでベン図を使ってベイズの定理を理解する方法を解説しました．実は，ベイズの定理（あるいは条件付き確率…
POINT 確率分布の期待値・分散 【関連記事】 事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP：幾何分布 ベルヌーイ分布 期待値 分散 二項分布 期待値 分散 幾何分布 期待値 分散 参考文献 ベルヌーイ分布母比率（信頼区間・検定） - Notes_JP \begin{aligned} \begi…
POINT 両側か片側かを決めるのは，主張したい「対立仮説$H_{1}$」である． 両側検定か，片側検定かはどうやって決まるのか？という話です．「母平均の検定」を例に，両側検定と片側検定を整理します．【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにま…
POINT 分散分析（Analysis of variance (ANOVA)）についてのメモ． 都度更新．【関連記事】 1元配置 問題設定 平方和 自由度 分散分析表 効果の検定 2元配置 参考文献 1元配置問題設定要因$A$の水準$A_{1}, A_{2}, ..., A_{a}$について，それぞれ$r$個の観測…
POINT 線形単回帰，線形重回帰の概説． 性質を全て調べるのはなかなか大変です．【関連記事】 最小二乗法の計算（理論） - Notes_JP 分散分析 - Notes_JP 線形回帰 問題設定 標準的仮定 パラメータの推定方法 用語 単回帰 重回帰 最小2乗法 最尤法 回帰係数…
POINT 母集団に知りたい性質を持つものが「ある比率」で含まれるときに，無作為標本で比率を推定する方法． 母比率（知りたい真の値）を$p$とするとき，すべての標本が確率$p$で性質をもつと考えれば，「ベルヌーイ母集団からの無作為標本」と考えることがで…
POINT 正規分布の性質について． 忘れたときに，順に導く方法． 忘れたときに，どのような順序で考えればよいかを整理します． 【関連記事】 [A] ガウス積分と派生公式 - Notes_JP：ガウス積分に慣れていない場合はこの記事を参考にしてください． 正規分布…
POINT 超関数である，ディラックのデルタ関数の公式とその導出． 【関連記事】 曲線座標系のデルタ関数 - Notes_JP フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義 公式 その他の計算例 参考文献 定義デルタ関数関数$\varphi$に対し\begin{aligned} \int_{-\inft…
POINT 数列の上極限（limsup）・下極限（liminf）について． 級数の収束半径などで現れます．$\epsilon$-$N$論法の良い練習になります．$\inf, \sup$の性質（定義）さえわかっていれば，必要に応じて導けると思います．コンパクトな内容にしようと思っていま…
与えられた点の集合を，偏角（あるいは原点と各点を通る直線の傾き）によってソートすることを考えます．まず，傾き（y / x）や偏角（atan2）を計算した上でソートすることが考えられます．しかし，この方法では，誤差によって正しくソートできない可能性が…
以下の書籍の例をPythonで試しました．カルマンフィルタの基礎作者:足立修一,丸田一郎東京電機大学出版局Amazon【関連記事】 Pythonで拡張カルマンフィルタ - Notes_JP Unscented Kalman Filter (UKF) numpyによる実装 物体の落下運動（拡張カルマンフィルタ…
以下の書籍の例をPythonで試しました． また，拡張カルマンフィルタを使うと，（当然）線形カルマンフィルタの例も計算できることを確かめます．カルマンフィルタの基礎作者:足立修一,丸田一郎東京電機大学出版局Amazon【関連記事】 PythonでUnscented Kalma…
POINT Savitzky-Golayの係数を計算するsavgol_coeffsの内容に関するメモ． scipy.signal.savgol_coeffs — SciPy v1.12.0 Manualの計算メモ．思ったよりも単純ではなかった．Referencesの"Ying, and Jing Bai. 2005. Savitzky-Golay smoothing and differenti…
POINT 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録． 各章が短くて進めやすい（第9週は2ページ！） 【関連】読書メモ - Notes_JP．東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです．出席した学生の中から，数学者になった方もいるそうです．…
POINT 点と直線の距離，点と平面の距離を導く． イメージ重視の説明にしています． 簡単に覚えて，いつでも思い出せる手法です． 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…
POINT 上極限集合，下極限集合を使うための練習． 面倒臭がらずに定義に戻って考えればわかります．証明できるようになると同時に，直感的な意味も把握しておくと性質を思い出しやすいです． 【関連記事】 [A] 「数列」の上極限・下極限・極限 - Notes_JP：…
POINT 条件付き期待値を使った計算例． 2017年に賭ケグルイ双（スリーヒットダイス）を読んで書こうと思い，そのまま放置していたネタを引っ張り出してきました． 【関連記事】 [A]事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP 条件付き期待値を使う理由 条件付き…
POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$． 様々な計算方法があります．中でも，条件付き期待値による方法は，直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…
POINT 計算をした日にはメモをしようという試み． 走り書きならぬ「走りTeX」. 増えたら何かしらの分類を考える予定． あれ？この計算，どうするんだっけ？と思ったときにした計算のメモです． 2021/05/15：無限級数 2021/03/31：min，maxの合成関数 2021/03…
POINT 床関数・天井関数の定義 競技プログラミングでよく使われる関係式の導出 分数のところの関係式が競技プログラミング（AtCoder，蟻本など）のコードでよく使われています．検索しても欲しい記事が出てこないので，自分で考えました． 床関数 天井関数 …
直接の微分計算など，フツーはやらないことのメモ． 気になったとき（そんなことある？）に確認するためのもの． 直接計算でいかにラクをするかを考えるのはちょっと楽しい．【関連記事】 球面波 - Notes_JP ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP 1階微分 2階微分 …
POINT 離散フーリエ変換（DFT）に関するまとめ． 計算機では有限子の離散データしか扱えない．そこで，有限子の離散データを周期的に拡張して扱う． 非周期的なデータは扱えず，周期的なデータとなる． フーリエ変換は離散フーリエ変換（DFT）として扱い，高…
POINT ローレンツ変換をもとに速度の変換則を導く． 粒子運動を異なる慣性系で観測すると，粒子の運動「方向」が異なって見える． 光を異なる慣性系で観測すると，光線の角度がずれて見える（光行差）． 【関連記事】 [A]等長変換：回転・反転・Lorentz変換 …
POINT 免疫は「動的」なシステムである（免疫細胞は全体で調和を取りながら体内を循環する）． 病原体が関わらない「自然炎症」は，痛風，塵肺・珪肺，アルツハイマー病，動脈硬化，糖尿病などの原因になると考えられている． 「がんペプチドワクチン」は，…
POINT 動物はエネルギーをATPに保持する． ATPの70%はイオン輸送に使われる． 生命を支えるATPエネルギー メカニズムから医療への応用まで (ブルーバックス)作者:二井 將光講談社Amazon ATPの構造 動物がエネルギーを得るまで ATPの使い道 ATPアーゼ ATPの構…
POINT 生成・消滅演算子と角運動量演算子の議論を比較する． どちらも「昇降演算子」がカギ． 昇降演算子が現れる問題を比較してみます．生成・消滅演算子と角運動量演算子で，同じように議論を行います． 【関連記事】 [A]角運動量演算子についての記事を作…
POINT ストークス近似の解を，Lamb Hydrodynamics（参考文献[1]）の方法で導出する． 例えば，①球の周りの流れ，②球に働く力を計算できる（関連記事[A]）． 関連記事[A]の問題の下準備にあたる記事です． Wikipediaでは "Lamb's general solution" と呼ばれ…
