物理とグリーン関数:計算メモ

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  • 「物理とグリーン関数(今村勤)」の計算メモ.

次の書籍の計算メモです.
物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4)

物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4)

  • 作者:今村 勤
  • 出版社/メーカー: 岩波書店
  • 発売日: 2016/02/18
  • メディア: 単行本(ソフトカバー)

記法

Fourier変換

関数$f$のFourier変換を
\begin{align}
\hat{f}(\boldsymbol{p})
=\mathcal{F}[f](\boldsymbol{p})
=\frac{1}{(2\pi)^n}\int f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} \,\mathrm{d}\boldsymbol{r}
\end{align}と表す.

よく使う式
  1. $\displaystyle \mathcal{F}[\Delta f](\boldsymbol{p}) = -p^2\cdot \mathcal{F}[f](\boldsymbol{p})$
【導出】
\begin{align}
\mathcal{F}[\Delta f](\boldsymbol{p})
=\frac{1}{(2\pi)^n}\int \Delta f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} \,\mathrm{d}\boldsymbol{r}
\end{align}は,
\begin{align}
&\Delta f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} \\
&=\boldsymbol{\nabla}\cdot [\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} ]
- \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{r}) \cdot (-i\boldsymbol{p} e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} )
\end{align}の第1項の積分がGaussの定理から
\begin{align}
\frac{1}{(2\pi)^n} \int_S
[\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} ] \cdot\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S=0
\end{align}となるとすれば,
\begin{align}
\mathcal{F}[\Delta f](\boldsymbol{p})
=-\frac{1}{(2\pi)^n}
\int \boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{r}) \cdot (-i\boldsymbol{p} e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} )
\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}.
\end{align}同様に,
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{r}) \cdot (-i\boldsymbol{p} e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} ) \\
&=\boldsymbol{\nabla} \cdot [f(\boldsymbol{r}) (-i\boldsymbol{p} e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} ) ]
- f(\boldsymbol{r}) (-p^2 e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}} )
\end{align}第1項の積分がゼロになるとすれば,
\begin{align}
\mathcal{F}[\Delta f](\boldsymbol{p})
&=\frac{1}{(2\pi)^n}
\int (-p^2)f(\boldsymbol{r}) e^{-i\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}
\,\mathrm{d}\boldsymbol{r} \\
&=-p^2 \cdot \mathcal{F}[f](\boldsymbol{p})
\end{align}であることがわかる.//

Helmholtz型方程式

$\S 3.2$ a)
\begin{align}
(\Delta + k^2)G_n(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)
=-\delta(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}^\prime)
\end{align}の両辺をFourier変換すると,
\begin{align}
(-p^2 + k^2)\hat{G}_n(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)
=-\frac{1}{(2\pi)^n}
\end{align}

境界面のあるGreen関数

$\S 5.1$より.
境界面のあるGreen関数を求める方法
境界がない場合のGreen関数を$G^{\infty}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$と表す.
  • [I]適当な同次方程式の解$g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)$を用いて,$G^{\infty}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)+g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)$が境界条件を満たすようにする.
    • [Ia] 鏡像法:対称性から$g(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}^\prime)$を定める.
    • [Ib] $G^{\infty}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)$の適切な表式を用いる.
  • [II]固有関数系による展開,または積分変換を用いる.
    • [IIa] 直接求める:境界条件に適合した固有関数系で展開.
    • [IIb] 低次方程式のGreen関数に帰着:固有関数系展開 or 積分変換.
      • 境界条件を自動的に取り入れる.
      • 低次Green関数を作るときに,境界条件を考慮.