【Lebesgue積分】微積分の順序交換

POINT

  • 微積分の順序交換に関する定理の紹介.
  • 応用例としてGauss積分について解説する.

微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します.
極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい:
【Lebesgue積分】優収束定理(limと積分の順序交換) - Notes_JP

定理

定理(微積分の順序交換)
$(X,\Omega,\mu)$を測度空間,$f$を以下の条件を満たす$X\times (a,b)$上の関数とする:

  1. 任意の$\alpha\in (a,b)$に対して,$f_\alpha: X\ni x\mapsto f(x,\alpha)$が$X$上可積分.
  2. 任意の$x\in X$に対して,$f_x: (a,b)\ni \alpha\mapsto f(x,\alpha)$が$(a,b)$上可微分.
  3. $X$上の可積分関数$\varphi$が存在し,
    \begin{aligned}\biggl|\frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha)\biggr|\leq \varphi(x),\quad \forall(x,\alpha)\in X\times (a,b)\end{aligned}

このとき,次の式が成り立つ:

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_X f(x,\alpha)\,d\mu(x)
=\int_X \frac{\partial f}{\partial \alpha}(x,\alpha)\,d\mu(x)
\end{aligned}


【例】Gauss積分


以下の式が成り立つ:
\begin{aligned}
\int_0^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x
=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi} \alpha^{-1/2-n}
\qquad (\alpha >0)
\end{aligned}

Step1.
Gauss積分$\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$で$x=\sqrt{\alpha} t$とすると,

\begin{aligned}
\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.
\tag{1}
% \label{eq:gauss_int}
\end{aligned}

Step2.
$\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}e^{-\alpha x^2}=(-x^2)^ne^{-\alpha x^2}$だから,$0< a <\alpha$をとると任意の$n$に対して$\displaystyle \Bigl|\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}e^{-\alpha x^2} \Bigr|\leq \color{red}{x^{2n} e^{-ax^2}}$である.
また,$\displaystyle e^{ax^2}\geq \dfrac{(ax^2)^{n+1}}{(n+1)!}$であることに注意すれば,

\begin{aligned}
\int_0^{\infty} \color{red}{x^{2n} e^{-ax^2}} \,\mathrm{d}x
\leq \frac{(n+1)!}{a^{n+1}} \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^2}
< \infty
\end{aligned}
が成り立つ.

従って上述の定理より,帰納的に任意の$n$に対して

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}\alpha^n}\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x
=\int_0^\infty \frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x.
\end{aligned}

Step3.
式 (1)の両辺を$\alpha$で微分すると求める式が得られる.



Gauss積分に関しては以下を参照してください:ガウス積分と派生公式 - Notes_JP

参考文献

[1]ルベーグ積分入門 (数学選書 (4))