【Lebesgue積分】優収束定理(limと積分の順序交換)

POINT

  • 優収束定理(limと積分の順序交換)と応用例の解説.

優収束定理とその適用例を紹介します.微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい:

優収束定理

優収束定理 (Dominated convergence theorem)
$(X,\mathfrak{M},\mu)$を可測空間とする.
  1. $X$上の複素可測関数列$\{f_n\}$が$f$に各点収束する(i.e. $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\quad\forall x\in X$).
  2. $g\in L^1(\mu)$が存在し,任意の$n$と$x\in X$に対し$|f_n(x)|\leq g(x)$を満たす.
このとき,以下が成立する: \begin{align} \begin{cases} \,1.~& \displaystyle f\in L^1(\mu)\\[5pt] \,2.~& \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_X |f_n-f|\,\mathrm{d}\mu=0\\[5pt] \,3.~& \displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,\mathrm{d}\mu=\int_X f\,\mathrm{d}\mu \end{cases}\\ ~ \end{align}


次の定理の例は,優収束定理の例にもなります:

定理
有界区間$[a,b]$上の(Riemann可積分である)関数列$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x =\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \end{align*}

【理由】
$\varepsilon>0$を固定します.このとき,$n_0\in\mathbb{N}$が存在し
\begin{align}
\left|f_n\right| - \left|f\right|
\leq \left|f - f_n\right|
<\varepsilon
\qquad(n\geq n_0)
\end{align}
が成立します(三角不等式から,$\left|-f+(f - f_n) \right|\leq \left|-f\right|+\left|f - f_n\right|$であることに注意しましょう).よって,$g=\varepsilon+\left|f\right|$とすれば優収束定理が適用できます.//


このように,有界区間上で一様収束する関数列の場合には優収束定理が成立します.しかし,非有界測度の関数列では反例が存在します:

参考文献