回転行列（2次元）

POINT

• 回転行列は，ベクトルを原点周りに回転したベクトルに写す．
• 回転行列は図をかくと簡単に導出できる．

回転行列を簡単に導出する方法を紹介します．

この方法を知っておくと，プログラムで計算したいときにすぐ求められて便利です．
➡Pythonでの実装例：Pythonで回転行列 - Notes_JP

同じ方法で，「3次元回転行列」も計算できます．
➡回転行列（3次元） - Notes_JP

回転行列とは

回転行列とは，「ベクトル」を「原点周りに回転させたベクトル」に写す行列です．

当然ですが，回転行列には，ベクトルの長さを変えないという特徴があります．ベクトルの長さを保つ変換には，「回転」の他に「反転」があります．

導出方法

詳しい方法は後に回し，ここでは2次元に限って説明します．

行列

\begin{aligned}
M=
\begin{pmatrix}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{pmatrix}
\end{aligned}

を考えます．このとき，

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{m_{11}} & m_{12} \\
\textcolor{blue}{m_{21}} & m_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{m_{11}} \\
\textcolor{blue}{m_{21}}
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
m_{11} & \textcolor{red}{m_{12}} \\
m_{21} & \textcolor{red}{m_{22}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\textcolor{red}{m_{12}} \\
\textcolor{red}{m_{22}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}

です．

つまり，一般の$2\times 2$行列に対して

行列の性質

\begin{aligned}
M
&=
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{m_{11}} & \textcolor{red}{m_{12}} \\
\textcolor{blue}{m_{21}} & \textcolor{red}{m_{22}}
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\textcolor{blue}{M
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}},
\textcolor{red}{M
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}}
\end{pmatrix} \\
\end{aligned}

が成り立ちます．これが非常に役に立つ式なのです．

---

例えば，$M$が回転行列である場合，単位ベクトルを回転させたベクトルを意味する

\begin{aligned}
M
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},\,
M
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{aligned}

の「2つ」さえわかれば，回転行列の表式が決まります．そして，この単位ベクトルの回転は図を書けば簡単に求められます．

以下で，実際に見てみましょう．

2次元回転行列

2次元回転行列

\begin{aligned}
\left(
\begin{array}{cc}
\textcolor{blue}{\cos\theta}&\textcolor{red}{-\sin\theta}\\
\textcolor{blue}{\sin\theta}&\textcolor{red}{\cos\theta}
\end{array}
\right)\end{aligned}

【導出】
3ステップに分けて導出します．

単位ベクトルの回転

STEP

「$x$軸方向の単位ベクトル」を$\theta$回転させたベクトルを求める

上図(左)から簡単にわかるように，「$x$軸方向の単位ベクトル」を$\theta$回転させると

\begin{aligned}
\left(
\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}
\right)
%
\overset{\theta\text{回転}}{\longrightarrow}
%
\textcolor{blue}{
\left(
\begin{array}{c}
\cos\theta\\
\sin\theta
\end{array}
\right)
}
\end{aligned}

です．

STEP

「$y$軸方向の単位ベクトル」を$\theta$回転させたベクトルを求める

同様に上図(右)から，「$y$軸方向の単位ベクトル」を$\theta$回転させると，

\begin{aligned}
\left(
\begin{array}{c}
0\\
1
\end{array}
\right)
%
\overset{\theta\text{回転}}{\longrightarrow}
%
\textcolor{red}{
\left(
\begin{array}{c}
-\sin\theta\\
\cos\theta
\end{array}
\right)
}
\end{aligned}

です．

STEP

STEP1, 2で求めたベクトルを並べる

上で求めた2つのベクトルを並べた行列

\begin{aligned}
\left(
\begin{array}{cc}
\textcolor{blue}{\cos\theta}&\textcolor{red}{-\sin\theta}\\
\textcolor{blue}{\sin\theta}&\textcolor{red}{\cos\theta}
\end{array}
\right)\end{aligned}

が，求めたかった回転行列になっています．

簡単ですね．//

導出方法（一般化）

すでに2次元の場合に示した性質を一般化します．

行列と単位ベクトルの関係

行列は「単位ベクトルの変換先を並べたもの」である．つまり「$i$成分が$1$，それ以外の成分は$0$」の単位ベクトルを

\begin{aligned}
e_i=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)
(i~~~
\end{aligned}

と書くとき，行列$M$は

\begin{aligned}
M=(Me_1,...,Me_n)
\end{aligned}

と表せる．

証明（方法1）

冒頭の方法の一般化です．わかりにくい場合は，$2\times2$行列で具体的に計算した，冒頭の証明と比べてみて下さい！

ベクトル$Me_i$の$j$成分を，行列計算の定義どおりに計算すると

\begin{aligned}
(Me_i)_j
=\sum_{k=1}^n M_{jk}(e_i)_k
\end{aligned}

です（$(e_i)_k$はベクトル$e_i$の$k$成分を表します）．ここで，$(e_i)_k$は$k=i$のとき以外$0$なので，

\begin{aligned}
(Me_i)_j=M_{ji}
\end{aligned}

となります．//

証明（方法2）

2次元の場合で考えます．$n$次元の場合も同様です．

行列$M$をベクトル

\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}
=
v_{1}
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
v_{2}
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=v_{1}\boldsymbol{e}_{1} + v_{2}\boldsymbol{e}_{2}
\end{aligned}

に作用させると

\begin{aligned}
M\boldsymbol{v}
&=v_{1}\cdot M\boldsymbol{e}_{1} + v_{2}\cdot M\boldsymbol{e}_{2} \\
&=
(M\boldsymbol{e}_{1},M\boldsymbol{e}_{2})
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix} \\
&=(M\boldsymbol{e}_{1},M\boldsymbol{e}_{2}) \boldsymbol{v}
\end{aligned}

となります．

つまり，$M=(M\boldsymbol{e}_{1},M\boldsymbol{e}_{2})$が成り立ちます．//

関連記事

この記事の図はTikZで作成しました．
TikZ実例集〜2Dグラフ編 - Notes_JP