CAPM

POINT

  • CAPMの計算.

「参考文献」の書籍に関するメモです.記法や用語は,後半にまとめています.
用語は後で都合が良いように定義しました.一般的な定義の仕方がわかれば修正します.

CAPM

ただ一つのリスクゼロの資産$\tilde{R}_1=R_{\mathrm{f}}$がある場合を考えます.つまり,$r_{\mathrm{f}}=\mathrm{E\,}[R_{\mathrm{f}}]$, $V(R_{\mathrm{f}})=0$であるとします.このような資産があるとき,
\begin{align}
\mathrm{Cov\,}(\tilde{R}_1, \tilde{R}_i)
&=\mathrm{\,E\,}\Bigl[\require{cancel}\cancel{\bigl(\tilde{R}_1 - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_1] \bigr)}
\bigl(\tilde{R}_i - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_i] \bigr)\Bigr]\\
&=0
\end{align}となるので,分散共分散行列は
\begin{align}
\tilde{\Sigma} =
\left(
\begin{array} {c:ccc}
0 &0 & \cdots & 0\\ \hdashline
0 &&& \\
\vdots & & \smash{\Huge{\Sigma}} & \\
0 & & &
\end{array}\right)
\end{align}と表すことができます.$\mathrm{det\,}\tilde{\Sigma} = 0$なので,$\tilde{\Sigma} $には逆行列が存在せず,計算において不便です.そこで,逆行列が存在する$\Sigma$を取り出すために,$\tilde{R}_1=R_{\mathrm{f}}$とそれ以外の資産を分けて考えます.

具体的には,
\begin{align}
\tilde{\boldsymbol{R}}
=
\begin{pmatrix}
R_{\mathrm{f}} \, (=\tilde{R}_1)\\
\boldsymbol{R}
\end{pmatrix}
\end{align}とし,ポートフォリオを
\begin{align}
\tilde{\boldsymbol{w}}
=
\begin{pmatrix}
1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1} \\
\boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\end{align}と表します.

このとき,ポートフォリオの期待リターン及びリスクは,
\begin{align}
\mathrm{E\,}[{}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}}]
&=(1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1})\mathrm{E\,}[R_{\mathrm{f}}]
+{}^t \boldsymbol{w}\mathrm{E\,}[\boldsymbol{R}] \\
V({}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}})
&={}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\Sigma} \tilde{\boldsymbol{w}}
={}^t\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{align}となります.

CAPM
期待リターンが
\begin{align}
r_{\mathrm{p}}
&={}^t\boldsymbol{x}\boldsymbol{r}
+(1-{}^t\boldsymbol{x} \boldsymbol{1})r_{\mathrm{f}} \\
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} + r_{\mathrm{f}}
\end{align}であるポートフォリオ$\boldsymbol{x}$のうち,リスク
\begin{align}
\sigma_{\mathrm{p}}^2
&={}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
\end{align}が最小であるものを求める.

こうして求められた「期待リターン$r_i$のポートフォリオ$\boldsymbol{x}_i$」は
\begin{align}
r_i
&=r_{\mathrm{f}} + \beta_{im} (r_m - r_{\mathrm{f}} ) \\
\beta_{im}
&=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_m) / V(R_m)
\end{align}を満たす.但し,$m$は「市場ポートフォリオ」を表す.

【証明】
ラグランジュ乗数$\lambda$を導入し,
\begin{align}
L(\boldsymbol{x}, \lambda)
&=\frac{1}{2} {}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
- \lambda\Bigl[ {}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\Bigr]
\end{align}の最小値を求めれば良い.

極値点の候補は
\begin{align}
\begin{cases}
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x}, \lambda)
=\Sigma \boldsymbol{x}
-\lambda (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \lambda} (\boldsymbol{x}, \lambda)
={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\end{cases}
\end{align}の解で与えられる.

2式から$\boldsymbol{x} $を消去すると
\begin{align}
r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} \\
&=\lambda \,{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{align}なので,$\lambda$について
\begin{align}
\lambda
&=\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}
\end{align}と解くことができる.これより,$\boldsymbol{x}$は
\begin{align}
\boldsymbol{x}
&=\lambda \Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
&=\underbrace{
\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}}_{=A}
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{align}となる.

リターンが$R_{\mathrm{p}_1}$, $R_{\mathrm{p}_2}$であるような上記ポートフォリオを考え,
\begin{align}
\begin{cases}
&\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&={}^t\boldsymbol{x}_2 \Sigma \boldsymbol{x}_1 \\
&=\underbrace{
A^2 \,{}^t\!(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}_{=B}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})(r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}) \\
&V(R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_1},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=B(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})^2
\end{cases}
\end{align}の比をとれば,
\begin{align}
r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}
&=\frac{\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1})}{V(R_{\mathrm{p}_1})}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})
\end{align}となる.

あとは,市場ポートフォリオが上の条件を満たすことを示せば良い.
・・・考え中
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記法と注意

分散共分散行列

$X_1,...,X_n$を確率変数とする.

分散共分散行列$\Sigma$を,その$(i,j)$成分が「確率変数$X_i$, $X_j$の共分散」
\begin{align}
(\Sigma)_{i,j}
&=\sigma_{ij} \\
&=\mathrm{Cov\,}(X_i, X_j) \\
&=\mathrm{E\,} \bigl[(X_i - \mathrm{E\,}[X_i]) (X_j - \mathrm{E\,}[X_j]) \bigr]
\end{align}である行列として定める.

ポートフォリオ

$N$個の金融資産$1,2,...,N$のそれぞれに投資する比率を$w_1,w_2,...,w_N$と表す.このとき,ベクトル
\begin{align}
\boldsymbol{w}
&=
\begin{pmatrix}
w_1 \\
w_2\\
\vdots \\
w_N
\end{pmatrix}
\end{align}をポートフォリオと呼ぶ.

借り入れを行わないポートフォリオに対しては
\begin{align}
{}^t\boldsymbol{w} \boldsymbol{1}
=\sum_{i=1}^N w_i
=1
\end{align}が成り立つ($\boldsymbol{1}={}^t(1,1,...,1)$).

市場ポートフォリオ

全てのの金融資産$1,2,...,N$を「それぞれの時価総額の比率」で作ったポートフォリオを「市場ポートフォリオ」と呼ぶ.

リスク

金融商品$i$のリターン(確率変数)を$R_i$とするとき,その期待値
\begin{align}
r_i=\mathrm{E\,}[R_i]
\end{align}を「期待リターン」と呼び,標準偏差
\begin{align}
\sigma
=\sqrt{V(R_i)}
&=\sqrt{\mathrm{E\,} \bigl[ (R_i - \mathrm{E\,}[R_i])^2 \bigr]}
\end{align}を「リスク」と呼ぶ.

同様に,ポートフォリオ$\boldsymbol{w}$に対して
\begin{align}
\mathrm{E\,}[ {}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R} ]
&=\sum_{i=1}^N w_i \mathrm{E\,}[R_i] \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{r}
\end{align}を期待リターン,
\begin{align}
\sigma
&=\sqrt{V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})}
\end{align}を「リスク」と呼ぶ.ここで,分散は先述の「分散共分散行列$\Sigma$」を使って
\begin{align}
V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})
&=\mathrm{E\,}
\bigl[ ({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}
- \mathrm{E\,}[{}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}])^2
\bigr] \\
&=\mathrm{E\,} \Biggl[ \biggl\{\sum_i w_i\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr) \biggr\}^2 \Biggr] \\
&=\sum_{i,j} w_i w_j
\underbrace{\mathrm{\,E\,} \Bigl[\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr)
\bigl(R_j - \mathrm{E\,}[R_j] \bigr)\Bigr]}
_{=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_j)} \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{align}と表すことができる.

参考文献