POINT
「参考文献」の書籍に関するメモです．記法や用語は，後半にまとめています．- CAPMの計算．
用語は後で都合が良いように定義しました．一般的な定義の仕方がわかれば修正します．
CAPM
ただ一つのリスクゼロの資産$\tilde{R}_1=R_{\mathrm{f}}$がある場合を考えます．つまり，$r_{\mathrm{f}}=\mathrm{E\,}[R_{\mathrm{f}}]$, $V(R_{\mathrm{f}})=0$であるとします．このような資産があるとき，\begin{aligned}
\mathrm{Cov\,}(\tilde{R}_1, \tilde{R}_i)
&=\mathrm{\,E\,}\Bigl[\cancel{\bigl(\tilde{R}_1 - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_1] \bigr)}
\bigl(\tilde{R}_i - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_i] \bigr)\Bigr]\\
&=0
\end{aligned}
となるので，分散共分散行列は\mathrm{Cov\,}(\tilde{R}_1, \tilde{R}_i)
&=\mathrm{\,E\,}\Bigl[\cancel{\bigl(\tilde{R}_1 - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_1] \bigr)}
\bigl(\tilde{R}_i - \mathrm{E\,}[\tilde{R}_i] \bigr)\Bigr]\\
&=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
\tilde{\Sigma} =
\left(
\begin{array} {c:ccc}
0 &0 & \cdots & 0\\ \hdashline
0 &&& \\
\vdots & & \smash{\Huge{\Sigma}} & \\
0 & & &
\end{array}\right)
\end{aligned}
と表すことができます．$\mathrm{det\,}\tilde{\Sigma} = 0$なので，$\tilde{\Sigma} $には逆行列が存在せず，計算において不便です．そこで，逆行列が存在する$\Sigma$を取り出すために，$\tilde{R}_1=R_{\mathrm{f}}$とそれ以外の資産を分けて考えます．\tilde{\Sigma} =
\left(
\begin{array} {c:ccc}
0 &0 & \cdots & 0\\ \hdashline
0 &&& \\
\vdots & & \smash{\Huge{\Sigma}} & \\
0 & & &
\end{array}\right)
\end{aligned}
具体的には，
\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{R}}
=
\begin{pmatrix}
R_{\mathrm{f}} \, (=\tilde{R}_1)\\
\boldsymbol{R}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
とし，ポートフォリオを\tilde{\boldsymbol{R}}
=
\begin{pmatrix}
R_{\mathrm{f}} \, (=\tilde{R}_1)\\
\boldsymbol{R}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{w}}
=
\begin{pmatrix}
1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1} \\
\boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
と表します．\tilde{\boldsymbol{w}}
=
\begin{pmatrix}
1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1} \\
\boldsymbol{w}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
このとき，ポートフォリオの期待リターン及びリスクは，
\begin{aligned}
\mathrm{E\,}[{}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}}]
&=(1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1})\mathrm{E\,}[R_{\mathrm{f}}]
+{}^t \boldsymbol{w}\mathrm{E\,}[\boldsymbol{R}] \\
V({}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}})
&={}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\Sigma} \tilde{\boldsymbol{w}}
={}^t\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{aligned}
となります．\mathrm{E\,}[{}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}}]
&=(1-{}^t\boldsymbol{w}\boldsymbol{1})\mathrm{E\,}[R_{\mathrm{f}}]
+{}^t \boldsymbol{w}\mathrm{E\,}[\boldsymbol{R}] \\
V({}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\boldsymbol{R}})
&={}^t\tilde{\boldsymbol{w}} \tilde{\Sigma} \tilde{\boldsymbol{w}}
={}^t\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{aligned}
CAPM
期待リターンが
【証明】\begin{aligned}
r_{\mathrm{p}}
&={}^t\boldsymbol{x}\boldsymbol{r}
+(1-{}^t\boldsymbol{x} \boldsymbol{1})r_{\mathrm{f}} \\
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} + r_{\mathrm{f}}
\end{aligned}
であるポートフォリオ$\boldsymbol{x}$のうち，リスクr_{\mathrm{p}}
&={}^t\boldsymbol{x}\boldsymbol{r}
+(1-{}^t\boldsymbol{x} \boldsymbol{1})r_{\mathrm{f}} \\
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} + r_{\mathrm{f}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\sigma_{\mathrm{p}}^2
&={}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
\end{aligned}
が最小であるものを求める．\sigma_{\mathrm{p}}^2
&={}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
\end{aligned}
こうして求められた「期待リターン$r_i$のポートフォリオ$\boldsymbol{x}_i$」は
\begin{aligned}
r_i
&=r_{\mathrm{f}} + \beta_{im} (r_m - r_{\mathrm{f}} ) \\
\beta_{im}
&=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_m) / V(R_m)
\end{aligned}
を満たす．但し，$m$は「市場ポートフォリオ」を表す．r_i
&=r_{\mathrm{f}} + \beta_{im} (r_m - r_{\mathrm{f}} ) \\
\beta_{im}
&=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_m) / V(R_m)
\end{aligned}
ラグランジュ乗数$\lambda$を導入し，
\begin{aligned}
L(\boldsymbol{x}, \lambda)
&=\frac{1}{2} {}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
- \lambda\Bigl[ {}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\Bigr]
\end{aligned}
の最小値を求めれば良い．L(\boldsymbol{x}, \lambda)
&=\frac{1}{2} {}^t\boldsymbol{x} \Sigma \boldsymbol{x}
- \lambda\Bigl[ {}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\Bigr]
\end{aligned}
極値点の候補は
\begin{aligned}
\begin{cases}
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x}, \lambda)
=\Sigma \boldsymbol{x}
-\lambda (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \lambda} (\boldsymbol{x}, \lambda)
={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\end{cases}
\end{aligned}
の解で与えられる．\begin{cases}
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x}, \lambda)
=\Sigma \boldsymbol{x}
-\lambda (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
\displaystyle\,
0=\frac{\partial L}{\partial \lambda} (\boldsymbol{x}, \lambda)
={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x}
+ r_{\mathrm{f}}
- r_{\mathrm{p}}
\end{cases}
\end{aligned}
2式から$\boldsymbol{x} $を消去すると
\begin{aligned}
r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} \\
&=\lambda \,{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{aligned}
なので，$\lambda$についてr_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}
&={}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})\boldsymbol{x} \\
&=\lambda \,{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{aligned}
\begin{aligned}
\lambda
&=\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}
\end{aligned}
と解くことができる．これより，$\boldsymbol{x}$は\lambda
&=\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}
&=\lambda \Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
&=\underbrace{
\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}}_{=A}
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{aligned}
となる．\boldsymbol{x}
&=\lambda \Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1}) \\
&=\underbrace{
\frac{r_{\mathrm{p}} - r_{\mathrm{f}}}
{{}^t(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}}_{=A}
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\end{aligned}
リターンが$R_{\mathrm{p}_1}$, $R_{\mathrm{p}_2}$であるような上記ポートフォリオを考え，
\begin{aligned}
\begin{cases}
&\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&={}^t\boldsymbol{x}_2 \Sigma \boldsymbol{x}_1 \\
&=\underbrace{
A^2 \,{}^t\!(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}_{=B}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})(r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}) \\
&V(R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_1},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=B(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})^2
\end{cases}
\end{aligned}
の比をとれば，\begin{cases}
&\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&={}^t\boldsymbol{x}_2 \Sigma \boldsymbol{x}_1 \\
&=\underbrace{
A^2 \,{}^t\!(\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})
\Sigma^{-1} (\boldsymbol{r} - r_{\mathrm{f}} \boldsymbol{1})}_{=B}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})(r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}) \\
&V(R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_1},R_{\mathrm{p}_1}) \\
&=B(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})^2
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}
&=\frac{\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1})}{V(R_{\mathrm{p}_1})}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})
\end{aligned}
となる．r_{\mathrm{p}_2} - r_{\mathrm{f}}
&=\frac{\mathrm{Cov\,}(R_{\mathrm{p}_2},R_{\mathrm{p}_1})}{V(R_{\mathrm{p}_1})}
(r_{\mathrm{p}_1} - r_{\mathrm{f}})
\end{aligned}
あとは，市場ポートフォリオが上の条件を満たすことを示せば良い．
・・・考え中
//
記法と注意
分散共分散行列
$X_1,...,X_n$を確率変数とする．分散共分散行列$\Sigma$を，その$(i,j)$成分が「確率変数$X_i$, $X_j$の共分散」
\begin{aligned}
(\Sigma)_{i,j}
&=\sigma_{ij} \\
&=\mathrm{Cov\,}(X_i, X_j) \\
&=\mathrm{E\,} \bigl[(X_i - \mathrm{E\,}[X_i]) (X_j - \mathrm{E\,}[X_j]) \bigr]
\end{aligned}
である行列として定める．(\Sigma)_{i,j}
&=\sigma_{ij} \\
&=\mathrm{Cov\,}(X_i, X_j) \\
&=\mathrm{E\,} \bigl[(X_i - \mathrm{E\,}[X_i]) (X_j - \mathrm{E\,}[X_j]) \bigr]
\end{aligned}
ポートフォリオ
$N$個の金融資産$1,2,...,N$のそれぞれに投資する比率を$w_1,w_2,...,w_N$と表す．このとき，ベクトル\begin{aligned}
\boldsymbol{w}
&=
\begin{pmatrix}
w_1 \\
w_2\\
\vdots \\
w_N
\end{pmatrix}
\end{aligned}
をポートフォリオと呼ぶ．\boldsymbol{w}
&=
\begin{pmatrix}
w_1 \\
w_2\\
\vdots \\
w_N
\end{pmatrix}
\end{aligned}
借り入れを行わないポートフォリオに対しては
\begin{aligned}
{}^t\boldsymbol{w} \boldsymbol{1}
=\sum_{i=1}^N w_i
=1
\end{aligned}
が成り立つ（$\boldsymbol{1}={}^t(1,1,...,1)$）．{}^t\boldsymbol{w} \boldsymbol{1}
=\sum_{i=1}^N w_i
=1
\end{aligned}
市場ポートフォリオ
全てのの金融資産$1,2,...,N$を「それぞれの時価総額の比率」で作ったポートフォリオを「市場ポートフォリオ」と呼ぶ．リスク
金融商品$i$のリターン（確率変数）を$R_i$とするとき，その期待値\begin{aligned}
r_i=\mathrm{E\,}[R_i]
\end{aligned}
を「期待リターン」と呼び，標準偏差r_i=\mathrm{E\,}[R_i]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\sigma
=\sqrt{V(R_i)}
&=\sqrt{\mathrm{E\,} \bigl[ (R_i - \mathrm{E\,}[R_i])^2 \bigr]}
\end{aligned}
を「リスク」と呼ぶ．\sigma
=\sqrt{V(R_i)}
&=\sqrt{\mathrm{E\,} \bigl[ (R_i - \mathrm{E\,}[R_i])^2 \bigr]}
\end{aligned}
同様に，ポートフォリオ$\boldsymbol{w}$に対して
\begin{aligned}
\mathrm{E\,}[ {}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R} ]
&=\sum_{i=1}^N w_i \mathrm{E\,}[R_i] \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{r}
\end{aligned}
を期待リターン，\mathrm{E\,}[ {}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R} ]
&=\sum_{i=1}^N w_i \mathrm{E\,}[R_i] \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{r}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\sigma
&=\sqrt{V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})}
\end{aligned}
を「リスク」と呼ぶ．ここで，分散は先述の「分散共分散行列$\Sigma$」を使って\sigma
&=\sqrt{V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})}
\end{aligned}
\begin{aligned}
V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})
&=\mathrm{E\,}
\bigl[ ({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}
- \mathrm{E\,}[{}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}])^2
\bigr] \\
&=\mathrm{E\,} \Biggl[ \biggl\{\sum_i w_i\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr) \biggr\}^2 \Biggr] \\
&=\sum_{i,j} w_i w_j
\underbrace{\mathrm{\,E\,} \Bigl[\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr)
\bigl(R_j - \mathrm{E\,}[R_j] \bigr)\Bigr]}
_{=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_j)} \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{aligned}
と表すことができる．V({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R})
&=\mathrm{E\,}
\bigl[ ({}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}
- \mathrm{E\,}[{}^t\!\boldsymbol{w} \boldsymbol{R}])^2
\bigr] \\
&=\mathrm{E\,} \Biggl[ \biggl\{\sum_i w_i\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr) \biggr\}^2 \Biggr] \\
&=\sum_{i,j} w_i w_j
\underbrace{\mathrm{\,E\,} \Bigl[\bigl(R_i - \mathrm{E\,}[R_i] \bigr)
\bigl(R_j - \mathrm{E\,}[R_j] \bigr)\Bigr]}
_{=\mathrm{Cov\,}(R_i, R_j)} \\
&={}^t\!\boldsymbol{w} \Sigma \boldsymbol{w}
\end{aligned}
参考文献
- [1]最適投資戦略: ポートフォリオ・テクノロジーの理論と実践 (FinTechライブラリー)
計算を含め，よくまとまっていると思います．途中計算には誤植と思われる箇所が多いので，式はフォローすることをおすすめします． - [2]微分積分学 ((サイエンスライブラリ―数学))
条件付き極値問題を扱っている書籍を挙げておきます．一般的な微積分の教科書で取り扱われています．
