【高校数学】三角形の重心(位置ベクトル)

POINT

  • 三角形の重心をベクトルで表す方法.

内分点と外分点

2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき,
\begin{align}
\overrightarrow{\rm{OP}}
&=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\
&=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\bigl(\overrightarrow{\rm{OB}} - \overrightarrow{\rm{OA}} \bigr) \\
&=(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{OB}}
\end{align}が成立します($\rm{O}$は平面上の任意の1点).

下図から,点$\rm{P}$の性質は「$t$の値が取る範囲」によって分類できることがわかります:

  • $0\leq t\leq 1$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する.
  • $t < 0$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$|t|:(1+|t|)$に外分する.
  • $1 < t$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$(1+t):t$に外分する.
内分点と外分点
内分点と外分点

重心

$\triangle{\rm{ABC}}$の重心を$\rm{G}$,平面上の1点を$\rm{O}$とするとき
三角形の重心の位置ベクトル
\begin{align}
\overrightarrow{\rm{OG}}
=\frac{1}{3}\Bigl(\overrightarrow{\rm{OA}} + \overrightarrow{\rm{OB}} + \overrightarrow{\rm{OC}} \Bigr)
\end{align}
が成り立ちます.

【証明】
点$\rm{G}$を,2直線

  • 頂点$\rm{B}$から対辺$\rm{AC}$の中点を結んだ直線(中線)
  • 頂点$\rm{C}$から対辺$\rm{AB}$の中点を結んだ直線(中線)
の交点とします.
三角形の重心
重心$\rm{G}$は2点$\rm{P,Q}$が一致する点
このとき,ベクトル$\overrightarrow{\rm{AG}}$は2通りの方法
\begin{align}
\begin{cases}
\,\overrightarrow{\rm{AG}}
=(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} + t\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AC}} \\
\,\overrightarrow{\rm{AG}}
=(1-s)\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AB}} + s\cdot\overrightarrow{\rm{AC}}
\end{cases}
\end{align}で表すことができます.2式の係数を比較すると
\begin{align}
\begin{cases}
\,1-t=\dfrac{1}{2}(1-s) \\
\,\dfrac{1}{2}t=s
\end{cases}
\end{align}です.これは簡単に解くことができ,$t=2/3,s=1/3$であることがわかるので,
\begin{align}
\overrightarrow{\rm{AG}}
=\frac{1}{3}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\end{align}となります.

このベクトル$ \overrightarrow{\rm{AG}}$は(点$\rm{A}$を通り)線分$\rm{BC}$をに等分するベクトル
\begin{align}
\frac{1}{2}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\end{align}と平行なので,「各頂点と対辺の中点を結んだ直線(中線)」は点$\rm{G}$で交わることがわかりました.したがって,点$\rm{G}$は「$\triangle{\rm{ABC}}$の重心」です(注:また,これらのベクトルの長さの比が$2:3$であることから,重心が中線を$2:1$に内分することもわかります).

後は,上で求めた$\overrightarrow{\rm{AG}}$を点$\rm{O}$に関する位置ベクトルに直せばよく,
\begin{align}
\overrightarrow{\rm{OG}}
&=\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{AG}} \\
&=\overrightarrow{\rm{OA}}+\frac{1}{3}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} ) \\
&=\frac{1}{3}
\Bigl[
\color{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} }
+ ( \color{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} } + \overrightarrow{\rm{AB}} )
+ ( \color{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} } + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\Bigr] \\
&=\frac{1}{3}\Bigl(\overrightarrow{\rm{OA}} + \overrightarrow{\rm{OB}} + \overrightarrow{\rm{OC}} \Bigr)
\end{align}となります.//