【高校数学】三角形の重心（位置ベクトル）

POINT

三角形の重心をベクトルで表す方法．

【関連記事】

内分点と外分点
重心

内分点と外分点

2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，

\begin{aligned}
\overrightarrow{\rm{OP}}
&=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\
&=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\bigl(\overrightarrow{\rm{OB}} - \overrightarrow{\rm{OA}} \bigr) \\
&=(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{OB}}
\end{aligned}

が成立します（$\rm{O}$は平面上の任意の1点）．

下図から，点$\rm{P}$の性質は「$t$の値が取る範囲」によって分類できることがわかります：

$0\leq t\leq 1$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する．
$t < 0$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$|t|:(1+|t|)$に外分する．
$1 < t$なら点$\rm{P}$は線分$\rm{AB}$を$(1+t):t$に外分する．

重心

$\triangle{\rm{ABC}}$の重心を$\rm{G}$，平面上の1点を$\rm{O}$とするとき

三角形の重心の位置ベクトル

\begin{aligned}
\overrightarrow{\rm{OG}}
=\frac{1}{3}\Bigl(\overrightarrow{\rm{OA}} + \overrightarrow{\rm{OB}} + \overrightarrow{\rm{OC}} \Bigr)
\end{aligned}

が成り立ちます．

【証明】
点$\rm{G}$を，2直線

頂点$\rm{B}$から対辺$\rm{AC}$の中点を結んだ直線（中線）
頂点$\rm{C}$から対辺$\rm{AB}$の中点を結んだ直線（中線）

の交点とします．

このとき，ベクトル$\overrightarrow{\rm{AG}}$は2通りの方法

\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\overrightarrow{\rm{AG}}
=(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} + t\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AC}} \\
\,\overrightarrow{\rm{AG}}
=(1-s)\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm{AB}} + s\cdot\overrightarrow{\rm{AC}}
\end{cases}
\end{aligned}

で表すことができます．2式の係数を比較すると

\begin{aligned}
\begin{cases}
\,1-t=\dfrac{1}{2}(1-s) \\
\,\dfrac{1}{2}t=s
\end{cases}
\end{aligned}

です．これは簡単に解くことができ，$t=2/3,s=1/3$であることがわかるので，

\begin{aligned}
\overrightarrow{\rm{AG}}
=\frac{1}{3}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\end{aligned}

となります．

このベクトル$ \overrightarrow{\rm{AG}}$は（点$\rm{A}$を通り）線分$\rm{BC}$をに等分するベクトル

\begin{aligned}
\frac{1}{2}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\end{aligned}

と平行なので，「各頂点と対辺の中点を結んだ直線（中線）」は点$\rm{G}$で交わることがわかりました．したがって，点$\rm{G}$は「$\triangle{\rm{ABC}}$の重心」です（注：また，これらのベクトルの長さの比が$2:3$であることから，重心が中線を$2:1$に内分することもわかります）．

後は，上で求めた$\overrightarrow{\rm{AG}}$を点$\rm{O}$に関する位置ベクトルに直せばよく，

\begin{aligned}
\overrightarrow{\rm{OG}}
&=\overrightarrow{\rm{OA}}+\overrightarrow{\rm{AG}} \\
&=\overrightarrow{\rm{OA}}+\frac{1}{3}( \overrightarrow{\rm{AB}} + \overrightarrow{\rm{AC}} ) \\
&=\frac{1}{3}
\Bigl[
\textcolor{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} }
+ ( \textcolor{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} } + \overrightarrow{\rm{AB}} )
+ ( \textcolor{red}{ \overrightarrow{\rm{OA}} } + \overrightarrow{\rm{AC}} )
\Bigr] \\
&=\frac{1}{3}\Bigl(\overrightarrow{\rm{OA}} + \overrightarrow{\rm{OB}} + \overrightarrow{\rm{OC}} \Bigr)
\end{aligned}

となります．//