【高校数学】平方完成

POINT

• 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける．

「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます．

単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう．
【関連記事】

平方完成とは

2次式

\begin{aligned}
ax^2+b x+c
\end{aligned}

を

\begin{aligned}
\alpha (x+\beta)^2+\gamma
\end{aligned}

の形に変形することを平方完成と呼びます．

手順

以下のように，$x^2$の係数を括りだすことはいつでもできます：

\begin{aligned}
ax^2+b x+c=a \biggl(\textcolor{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{c}{a}\biggr).
\end{aligned}

つまり，どんな2次式も

\begin{aligned}
x^2+ax+b
\end{aligned}

の形（$x^2$の係数が1の式）に変形できるので，この形が平方完成できれば良いことになります．

そして，この式は$(x+a/2)^2=\textcolor{red}{x^2+ax}+(a/2)^2$に注目することで

\begin{aligned}
& \textcolor{red}{x^2+ax}+b \\
&=\textcolor{red}{\biggl(x+\frac{a}{2}\biggr)^2-\frac{a^2}{4}}+b
\end{aligned}

と平方完成することができます．

2次方程式の解の公式

平方完成を使って，2次方程式

\begin{aligned}
ax^2+bx+c=0 \quad(a\neq0)
\end{aligned}

の解の公式

2次方程式（$ax^2+bx+c=0 \quad(a\neq0)$）の解

$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

を導出します．
【証明】
両辺を$a(\neq0)$で割ることにより

\begin{aligned}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{aligned}

とできるので，$x^2$の係数が1の2次方程式

\begin{aligned}
x^2+2\alpha x+\beta=0
\end{aligned}

の解が求められれば十分です（最後に$\alpha=b/(2a)$，$\beta=c/a$を代入すれば良い）．
（注：ここで$x$の係数を（$\alpha$ではなく）$2\alpha$としたのは，平方完成の際に$1/2$がでると面倒だからです．）

平方完成を行うと，

\begin{aligned}
& \quad (x+\alpha)^2 - \alpha^2+\beta=0 \\
\Leftrightarrow& \quad (x+\alpha)^2=\alpha^2-\beta \\
\Leftrightarrow& \quad x+\alpha = \pm\sqrt{\alpha^2-\beta} \\
\Leftrightarrow& \quad x=-\alpha\pm \sqrt{\alpha^2-\beta}
\end{aligned}

と解くことができます．

最後に$\alpha=b/(2a)$，$\beta=c/a$を代入すれば，

\begin{aligned}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{aligned}

となります（$\alpha^2-\beta=(b^2-4ac)/(2a)^2$）．//