POINT
- 作成中．．．
計算ルール
- 成分への作用：$\boldsymbol{\nabla}_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}=\partial_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}$
- 基底への作用：
- $\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{e}_{\alpha}=\Gamma^{\beta}_{\:\alpha\mu}\boldsymbol{e}_{\beta}$
- 高階のテンソルの基底には，それぞれに作用させたものを足し合わせる（後述）．
【高階のテンソルの基底に対する作用】
\begin{aligned}
&\boldsymbol{\nabla}_\mu (e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}) \\
&=\sum_{k=1}^{p} e_{i_1}\otimes\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu e_{i_k})\otimes \cdots \otimes f^{j_q} \\
&\quad +\sum_{k=1}^{q} e_{i_1}\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu f^{j_k})\otimes \cdots\otimes f^{j_q}
\end{aligned}
&\boldsymbol{\nabla}_\mu (e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}) \\
&=\sum_{k=1}^{p} e_{i_1}\otimes\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu e_{i_k})\otimes \cdots \otimes f^{j_q} \\
&\quad +\sum_{k=1}^{q} e_{i_1}\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu f^{j_k})\otimes \cdots\otimes f^{j_q}
\end{aligned}
計算例
反変ベクトル
$\boldsymbol{A}=A^\mu\boldsymbol{e}_{\mu}$に対して\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A}
&=\boldsymbol{\nabla}_\mu (A^\alpha \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\alpha)\boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha (\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\partial_\mu A^\alpha ) \boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha \Gamma^{\beta}_{\:\alpha\mu}\boldsymbol{e}_{\beta} \\
&=(\partial_\mu A^\alpha + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta)\boldsymbol{e}_{\alpha}
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A}
&=\boldsymbol{\nabla}_\mu (A^\alpha \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\alpha)\boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha (\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\partial_\mu A^\alpha ) \boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha \Gamma^{\beta}_{\:\alpha\mu}\boldsymbol{e}_{\beta} \\
&=(\partial_\mu A^\alpha + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta)\boldsymbol{e}_{\alpha}
\end{aligned}
$(\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A})^\alpha$を$A^{\alpha}_{\: ;\mu}$と記し，$\partial_\mu A^\alpha$を$A^{\alpha}_{\: ,\mu}$と記すことにすれば，
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A} &= A^{\alpha}_{\: ;\mu} \boldsymbol{e}_{\alpha} \\
A^{\alpha}_{\: ;\mu} &= A^{\alpha}_{\: ,\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta
\end{aligned}
と表せる．\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A} &= A^{\alpha}_{\: ;\mu} \boldsymbol{e}_{\alpha} \\
A^{\alpha}_{\: ;\mu} &= A^{\alpha}_{\: ,\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta
\end{aligned}
【注意】
この記法において
- $A^{\alpha}_{\: ;\mu} = (\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A})^\alpha \neq \boldsymbol{\nabla}_\mu A^\alpha = \partial_\mu A^\alpha$
- $A^{\alpha}_{\: ,\mu} = \partial_\mu A^\alpha \neq (\partial_\mu \boldsymbol{A})^{\alpha}$
リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソル$R^{\mu}_{\:\:\nu\alpha\beta}$に対して\begin{aligned}
R^{\mu}_{\:\:\nu\alpha\beta} A^{\nu}
=A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} - A^{\mu}_{\:\: ;\alpha \,;\beta}
\end{aligned}
の関係式が成り立ちます．ここで，$A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}$が基底を顕にしたときにどのように計算されるか見てみましょう．R^{\mu}_{\:\:\nu\alpha\beta} A^{\nu}
=A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} - A^{\mu}_{\:\: ;\alpha \,;\beta}
\end{aligned}
（計算結果は
\begin{aligned}
A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}
&=\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda}) \\
&\quad - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu}
\end{aligned}
となります．）A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}
&=\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda}) \\
&\quad - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu}
\end{aligned}
【解説】
$A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}$の計算を基底を用いて表すと
\begin{aligned}
&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu) \boldsymbol{f}^\beta] \\
&=\bigl\{ \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \bigr\} \boldsymbol{f}^\beta \\
&\quad + [\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta)
\end{aligned}
となります（テンソル積の記号$\otimes$は省略しています）．&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu) \boldsymbol{f}^\beta] \\
&=\bigl\{ \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \bigr\} \boldsymbol{f}^\beta \\
&\quad + [\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta)
\end{aligned}
第1項は
\begin{aligned}
&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \\
&= \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\beta} A^{\nu} )\boldsymbol{e}_\mu] \\
&=[\partial_\alpha (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) \\
&\quad +\Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} (\partial_\beta A^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) ]\boldsymbol{e}_\mu \\
&=[\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda})
] \boldsymbol{e}_\mu
\end{aligned}
を用いて計算ができ，第2項は&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \\
&= \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\beta} A^{\nu} )\boldsymbol{e}_\mu] \\
&=[\partial_\alpha (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) \\
&\quad +\Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} (\partial_\beta A^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) ]\boldsymbol{e}_\mu \\
&=[\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda})
] \boldsymbol{e}_\mu
\end{aligned}
\begin{aligned}
&[\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta) \\
&=(A^{\mu}_{\:\: ;\beta} \boldsymbol{e}_\mu) (-\Gamma^{\beta}_{\:\nu\alpha} \boldsymbol{f}^\nu) \\
&=- \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu} (\boldsymbol{e}_\mu\otimes \boldsymbol{f}^\beta)
\end{aligned}
と計算することができます．&[\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta) \\
&=(A^{\mu}_{\:\: ;\beta} \boldsymbol{e}_\mu) (-\Gamma^{\beta}_{\:\nu\alpha} \boldsymbol{f}^\nu) \\
&=- \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu} (\boldsymbol{e}_\mu\otimes \boldsymbol{f}^\beta)
\end{aligned}
参考文献
- テンソルの基底を顕にした計算方法の解説があります．計算で混乱したときには，テンソルの成分だけでなく基底を考えると解決できることが多いです．
