共変微分の計算法

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計算ルール

  1. 成分への作用:$\boldsymbol{\nabla}_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}=\partial_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}$
  2. 基底への作用:
    • $\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{e}_{\alpha}=\Gamma^{\beta}_{\:\alpha\mu}\boldsymbol{e}_{\beta}$
    • 高階のテンソルの基底には,それぞれに作用させたものを足し合わせる(後述).

【高階のテンソルの基底に対する作用】
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}_\mu (e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes f^{j_1}\otimes\cdots\otimes f^{j_q}) \\
&=\sum_{k=1}^{p} e_{i_1}\otimes\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu e_{i_k})\otimes \cdots \otimes f^{j_q} \\
&\quad +\sum_{k=1}^{q} e_{i_1}\cdots \otimes (\boldsymbol{\nabla}_\mu f^{j_k})\otimes \cdots\otimes f^{j_q}
\end{align}

計算例

反変ベクトル

$\boldsymbol{A}=A^\mu\boldsymbol{e}_{\mu}$に対して
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A}
&=\boldsymbol{\nabla}_\mu (A^\alpha \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\boldsymbol{\nabla}_\mu A^\alpha)\boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha (\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{e}_{\alpha}) \\
&=(\partial_\mu A^\alpha ) \boldsymbol{e}_{\alpha} + A^\alpha \Gamma^{\beta}_{\:\alpha\mu}\boldsymbol{e}_{\beta} \\
&=(\partial_\mu A^\alpha + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta)\boldsymbol{e}_{\alpha}
\end{align}

$(\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A})^\alpha$を$A^{\alpha}_{\: ;\mu}$と記し,$\partial_\mu A^\alpha$を$A^{\alpha}_{\: ,\mu}$と記すことにすれば,
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A} &= A^{\alpha}_{\: ;\mu} \boldsymbol{e}_{\alpha} \\
A^{\alpha}_{\: ;\mu} &= A^{\alpha}_{\: ,\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\mu} A^\beta
\end{align}と表せる.

【注意】
この記法において

  1. $A^{\alpha}_{\: ;\mu} = (\boldsymbol{\nabla}_\mu \boldsymbol{A})^\alpha \neq \boldsymbol{\nabla}_\mu A^\alpha = \partial_\mu A^\alpha$
  2. $A^{\alpha}_{\: ,\mu} = \partial_\mu A^\alpha \neq (\partial_\mu \boldsymbol{A})^{\alpha}$


リーマン曲率テンソル

リーマン曲率テンソル$R^{\mu}_{\:\:\nu\alpha\beta}$に対して
\begin{align}
R^{\mu}_{\:\:\nu\alpha\beta} A^{\nu}
=A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} - A^{\mu}_{\:\: ;\alpha \,;\beta}
\end{align}の関係式が成り立ちます.ここで,$A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}$が基底を顕にしたときにどのように計算されるか見てみましょう.

(計算結果は
\begin{align}
A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}
&=\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda}) \\
&\quad - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu}
\end{align}となります.)

【解説】
$A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha}$の計算を基底を用いて表すと
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu) \boldsymbol{f}^\beta] \\
&=\bigl\{ \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \bigr\} \boldsymbol{f}^\beta \\
&\quad + [\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta)
\end{align}となります(テンソル積の記号$\otimes$は省略しています).

第1項は
\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}_\alpha [ \boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] \\
&= \boldsymbol{\nabla}_\alpha [ (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\beta} A^{\nu} )\boldsymbol{e}_\mu] \\
&=[\partial_\alpha (\partial_\beta A^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) \\
&\quad +\Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} (\partial_\beta A^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} ) ]\boldsymbol{e}_\mu \\
&=[\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda})
] \boldsymbol{e}_\mu
\end{align}を用いて計算ができ,第2項は
\begin{align}
&[\boldsymbol{\nabla}_\beta (A^{\mu} \boldsymbol{e}_\mu)] (\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{f}^\beta) \\
&=(A^{\mu}_{\:\: ;\beta} \boldsymbol{e}_\mu) (-\Gamma^{\beta}_{\:\nu\alpha} \boldsymbol{f}^\nu) \\
&=- \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} A^{\mu}_{\:\: ;\nu} (\boldsymbol{e}_\mu\otimes \boldsymbol{f}^\beta)
\end{align}と計算することができます.

参考文献