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【関連記事】
- 超関数である，ディラックのデルタ関数の公式とその導出．
定義
デルタ関数
関数$\varphi$に対し
正確には，写像$\delta: \varphi \mapsto \varphi(0)$を形式的にこのように表しています．ここで，$\varphi$は「テスト関数」と呼ばれる，いくつかの条件を満たす性質の良い関数です．\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
=\varphi(0)
\end{aligned}
を満たす$\delta$をDiracのデルタ関数と呼ぶ．\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
=\varphi(0)
\end{aligned}
デルタ関数は「超関数」と呼ばれるものの1つです．超関数
\begin{aligned}
& T_{1}: \varphi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} T_{1}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
& T_{2}: \varphi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} T_{2}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
が等しい（つまり，$T_{1} = T_{2}$）とは，任意のテスト関数$\varphi$に対して& T_{1}: \varphi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} T_{1}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
& T_{2}: \varphi \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} T_{2}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} T_{1}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
= \int_{-\infty}^{\infty} T_{2}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
が成り立つということです．\int_{-\infty}^{\infty} T_{1}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
= \int_{-\infty}^{\infty} T_{2}(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
公式
デルタ関数の公式
- 【1.】$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x=\varphi(a)$
- 【2.】$\displaystyle \delta(ax) =\frac{1}{|a|}\delta(x)$
- $a=-1$とすると$\delta(x) = \delta(-x)$（偶関数）．
- 【3.】フーリエ変換：$\displaystyle \mathcal{F}[\delta](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $\displaystyle \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} \,\mathrm{d}k$
- 【4.】$\displaystyle \delta \bigl[f(x)\bigr] = \sum_{a\in f^{-1}(0)}\frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta(x-a)$
（但し，$a\in f^{-1}(0)=\bigl\{x\,|\,f(x)=0\bigr\}$に対して$f^\prime(a)\neq 0$とする）．
- 【2.】の一般化．
- 特に$a\neq b$に対して
\begin{aligned}
&\delta\bigl[(x-a)(x-b)\bigr] \\
&= \frac{1}{|a-b|} \bigl[\delta(x-a)+\delta(x-b)\bigr]
\end{aligned}
- 【5.】ベクトル$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_0$, 正則行列$A$に対し
\begin{aligned}
\delta^n\bigl[A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0) \bigr]
&=\frac{1}{|\det A|}\delta^n(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)
\end{aligned}- 【2.】の一般化．
- 【6.】$\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$（注：$f^{-1}(0)$が1点に定まるとする）に対し
\begin{aligned}
&\delta^n(\boldsymbol{\xi})
=J\delta^n(\boldsymbol{x}-f^{-1}(0))\\
&\Biggl(J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\biggr)} \Biggr|=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial \xi_i}{\partial x_j}\biggr)} \Biggr|^{-1}\Biggr)
\end{aligned}- この公式の応用：曲線座標系のデルタ関数 - Notes_JP
- 【2.】の一般化．
- 【5.】の一般化．
変数変換$y=x-a$を行うと
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y+a) \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a)
\end{aligned}
となり，示された．//\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y+a) \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a)
\end{aligned}
【2. の証明】
積分の変数変換$x=\alpha y$において
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha >0)\\
\displaystyle \, \int_{\infty}^{-\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha <0)
\end{cases} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y)|\alpha| \,\mathrm{d}y
\end{aligned}
となることに注意すれば，\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha >0)\\
\displaystyle \, \int_{\infty}^{-\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha <0)
\end{cases} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y)|\alpha| \,\mathrm{d}y
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y/a) \,\frac{\mathrm{d}y}{|a|}
\quad(y=ax) \\
&=\frac{1}{|a|} \varphi(0) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\frac{1}{|a|}\delta(x)\Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
となる．したがって，$ \delta(ax)= \delta(x)/|a|$が示された．//&\int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y/a) \,\frac{\mathrm{d}y}{|a|}
\quad(y=ax) \\
&=\frac{1}{|a|} \varphi(0) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\frac{1}{|a|}\delta(x)\Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
【3. の証明】
フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JPを参照．//
【4. の証明(1)：イメージ重視】
$f(a)=0$となる$a$を一つ固定する．このとき，区間$[P_a,Q_a]$を十分小さく取れば，この区間で$f(x)=0$を満たすのが$x=a$だけとなるようにできる．この区間において
\begin{aligned}
&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&= \int_{P_a}^{Q_a} \delta \biggl[\cancel{f(a)}+f^\prime(a)(x-a)+O\Bigl( (x-a)^2\Bigr)\biggr]\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times\varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{P_a}^{Q_a} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
が成立するから，&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&= \int_{P_a}^{Q_a} \delta \biggl[\cancel{f(a)}+f^\prime(a)(x-a)+O\Bigl( (x-a)^2\Bigr)\biggr]\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times\varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{P_a}^{Q_a} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^{\infty} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\sum_{a\in f^{-1}(0)} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
となる．//&\int_{-\infty}^{\infty} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\sum_{a\in f^{-1}(0)} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
【4. の証明(2)：ロジック重視】
$f(a)=0$となる$a$を一つ固定する．
2変数関数$F(x,y)=f(x)-y$において，
- $F(a,0)=f(a)=0$
- $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(a,0)=f^\prime(a)\neq 0$
\begin{aligned}
x=g(y)
\end{aligned}
という逆関数（つまり$g(0)=a$）が存在し，x=g(y)
\end{aligned}
\begin{aligned}
g^\prime(0)
&=-\frac{\partial F}{\partial y}(a,0)\biggl/
\frac{\partial F}{\partial x}(a,0)\\
&=1/f^\prime (a)
\end{aligned}
を満たす．よって，g^\prime(0)
&=-\frac{\partial F}{\partial y}(a,0)\biggl/
\frac{\partial F}{\partial x}(a,0)\\
&=1/f^\prime (a)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{g([P_a,Q_a])} \delta(y) \varphi\bigl[g(y)\bigr] \bigl| g^\prime(y)\bigr| \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a) \bigl| g^\prime(0)\bigr| \\
&=\varphi(a) /\bigl| f^\prime(a)\bigr| \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \biggl[ \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \biggr]
\varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
となる．以降の証明は(1)と同じ．//&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{g([P_a,Q_a])} \delta(y) \varphi\bigl[g(y)\bigr] \bigl| g^\prime(y)\bigr| \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a) \bigl| g^\prime(0)\bigr| \\
&=\varphi(a) /\bigl| f^\prime(a)\bigr| \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \biggl[ \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \biggr]
\varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
【5. の証明】
$\boldsymbol{y}=A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0)$と変数変換すれば，
\begin{aligned}
&\int \delta^n\bigl[A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0) \bigr] \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{y}) \varphi(A^{-1}\boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}_0) \frac{\mathrm{d}^n y}{|\det A|} \\
&=\frac{1}{|\det A|} \varphi(\boldsymbol{x}_0) \\
&=\int \frac{\delta^n (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0)}{|\det A|}
\varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x
\end{aligned}
となる．//&\int \delta^n\bigl[A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0) \bigr] \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{y}) \varphi(A^{-1}\boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}_0) \frac{\mathrm{d}^n y}{|\det A|} \\
&=\frac{1}{|\det A|} \varphi(\boldsymbol{x}_0) \\
&=\int \frac{\delta^n (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0)}{|\det A|}
\varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x
\end{aligned}
【6. の証明】
$\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$に対し
\begin{aligned}
&\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(f^{-1}(\boldsymbol{\xi}))J\,\mathrm{d}^n\xi ,\quad \Biggl(J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\biggr)} \Biggr|\Biggr)\\
&=J\varphi(f^{-1}(0)) \\
&=\int J \delta^n(\boldsymbol{x}-f^{-1}(0)) \varphi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}^n x
\end{aligned}
から示された．//&\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(f^{-1}(\boldsymbol{\xi}))J\,\mathrm{d}^n\xi ,\quad \Biggl(J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\biggr)} \Biggr|\Biggr)\\
&=J\varphi(f^{-1}(0)) \\
&=\int J \delta^n(\boldsymbol{x}-f^{-1}(0)) \varphi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}^n x
\end{aligned}
その他の計算例
その他
\begin{aligned}
&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^\prime) + \delta(x-x^\prime)
\end{aligned}
（出典：物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4), $\text{\sect} 1.2$）&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^\prime) + \delta(x-x^\prime)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ikx}\pm e^{-ikx}}{2} \frac{e^{ikx^{\prime}}\pm e^{-ikx^{\prime}}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ik(x+x^{\prime})} + e^{-ik(x+x^{\prime})}}{2} \\
&\qquad\qquad\qquad
+\frac{e^{ik(x-x^{\prime})} + e^{-ik(x-x^{\prime})}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^{\prime}) + \delta(x-x^{\prime})
\end{aligned}
となる．但し，最後の等号では上で紹介している「フーリエ変換の表式」を使用した．//&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ikx}\pm e^{-ikx}}{2} \frac{e^{ikx^{\prime}}\pm e^{-ikx^{\prime}}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ik(x+x^{\prime})} + e^{-ik(x+x^{\prime})}}{2} \\
&\qquad\qquad\qquad
+\frac{e^{ik(x-x^{\prime})} + e^{-ik(x-x^{\prime})}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^{\prime}) + \delta(x-x^{\prime})
\end{aligned}
参考文献
- 詳解物理応用数学演習：6章$\text{\sect} 4.$「$\delta$関数」．
- 熱・波動と微分方程式：第5章「超関数と広義解」．
- Delta Function -- from Wolfram MathWorld
- [1607.02871v2] Dirac Delta Function of Matrix Argument
