デルタ関数と公式

デルタ関数
POINT

  • 超関数である,ディラックのデルタ関数の公式とその導出.

【追記予定】

  • 超関数とは.特に,等号の意味.

定義

デルタ関数
関数$\varphi$に対し
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
=\varphi(0)
\end{align}を満たす$\delta$をDiracのデルタ関数と呼ぶ.

公式

デルタ関数の公式
  • 【1.】$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x=\varphi(a)$
  • 【2.】$\displaystyle \delta(ax) =\frac{1}{|a|}\delta(x)$
    • $a=-1$とすると$\delta(x) = \delta(-x)$(偶関数).
  • 【3.】フーリエ変換:$\displaystyle \mathcal{F}[\delta](k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, $\displaystyle \delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} \,\mathrm{d}k$
  • 【4.】$\displaystyle \delta \bigl[f(x)\bigr] = \sum_{a\in f^{-1}(0)}\frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta(x-a)$
    (但し,$a\in f^{-1}(0)=\bigl\{x\,|\,f(x)=0\bigr\}$に対して$f^\prime(a)\neq 0$とする).
    • 【2.】の一般化.
    • 特に$a\neq b$に対して
      \begin{align}
      &\delta\bigl[(x-a)(x-b)\bigr] \\
      &= \frac{1}{|a-b|} \bigl[\delta(x-a)+\delta(x-b)\bigr]
      \end{align}
  • 【5.】ベクトル$\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}_0$, 正則行列$A$に対し
    \begin{align}
    \delta^n\bigl[A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0) \bigr]
    &=\frac{1}{|\det A|}\delta^n(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)
    \end{align}
    • 【2.】の一般化.
  • 【6.】$\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$(注:$f^{-1}(0)$が1点に定まるとする)に対し
    \begin{align}
    &\delta^n(\boldsymbol{\xi})
    =J\delta^n(\boldsymbol{x}-f^{-1}(0))\\
    &\Biggl(J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\biggr)} \Biggr|=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial \xi_i}{\partial x_j}\biggr)} \Biggr|^{-1}\Biggr)
    \end{align}
【1. の証明】
変数変換$y=x-a$を行うと
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y+a) \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a)
\end{align}となり,示された.//

【2. の証明】
積分の変数変換$x=\alpha y$において
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha >0)\\
\displaystyle \, \int_{\infty}^{-\infty} f(\alpha y) \alpha\,\mathrm{d}y & (\alpha <0)
\end{cases} \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha y)|\alpha| \,\mathrm{d}y
\end{align}となることに注意すれば,
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) \varphi(y/a) \,\frac{\mathrm{d}y}{|a|}
\quad(y=ax) \\
&=\frac{1}{|a|} \varphi(0) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\frac{1}{|a|}\delta(x)\Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{align}となる.したがって,$ \delta(ax)= \delta(x)/|a|$が示された.//

【3. の証明】
フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JPを参照.//

【4. の証明(1):イメージ重視】
$f(a)=0$となる$a$を一つ固定する.このとき,区間$[P_a,Q_a]$を十分小さく取れば,この区間で$f(x)=0$を満たすのが$x=a$だけとなるようにできる.この区間において
\begin{align}
&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&= \int_{P_a}^{Q_a} \delta \biggl[\require{cancel}\cancel{f(a)}+f^\prime(a)(x-a)+O\Bigl( (x-a)^2\Bigr)\biggr]\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times\varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{P_a}^{Q_a} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{align}が成立するから,
\begin{align}
&\int_{-\infty}^{\infty} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\sum_{a\in f^{-1}(0)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \Biggl[\sum_{a\in f^{-1}(0)} \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \Biggr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{align}となる.//

【4. の証明(2):ロジック重視】
$f(a)=0$となる$a$を一つ固定する.

2変数関数$F(x,y)=f(x)-y$において,

  • $F(a,0)=f(a)=0$
  • $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(a,0)=f^\prime(a)\neq 0$
が成り立つので,陰関数定理により$a$を含む十分小さい区間$[P_a,Q_a]$で
\begin{align}
x=g(y)
\end{align}という逆関数(つまり$g(0)=a$)が存在し,
\begin{align}
g^\prime(0)
&=-\frac{\partial F}{\partial y}(a,0)\biggl/
\frac{\partial F}{\partial x}(a,0)\\
&=1/f^\prime (a)
\end{align}を満たす.よって,
\begin{align}
&\int_{P_a}^{Q_a} \delta \bigl[f(x)\bigr] \varphi(x) \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{g([P_a,Q_a])} \delta(y) \varphi\bigl[g(y)\bigr] \bigl| g^\prime(y)\bigr| \,\mathrm{d}y \\
&=\varphi(a) \bigl| g^\prime(0)\bigr| \\
&=\varphi(a) /\bigl| f^\prime(a)\bigr| \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \biggl[ \frac{1}{|f^\prime(a)|}\delta (x-a) \biggr]
\varphi(x) \,\mathrm{d}x
\end{align}となる.以降の証明は(1)と同じ.//

【5. の証明】
$\boldsymbol{y}=A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0)$と変数変換すれば,
\begin{align}
&\int \delta^n\bigl[A (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0) \bigr] \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{y}) \varphi(A^{-1}\boldsymbol{y} + \boldsymbol{x}_0) \frac{\mathrm{d}^n y}{|\det A|} \\
&=\frac{1}{|\det A|} \varphi(\boldsymbol{x}_0) \\
&=\int \frac{\delta^n (\boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0)}{|\det A|}
\varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x
\end{align}となる.//

【6. の証明】
$\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$に対し
\begin{align}
&\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(\boldsymbol{x})\,\mathrm{d}^n x \\
&=\int \delta^n(\boldsymbol{\xi}) \varphi(f^{-1}(\boldsymbol{\xi}))J\,\mathrm{d}^n\xi ,\quad \Biggl(J=\Biggl| \det{ \biggl(\frac{\partial x_i}{\partial \xi_j}\biggr)} \Biggr|\Biggr)\\
&=J\varphi(f^{-1}(0)) \\
&=\int J \delta^n(\boldsymbol{x}-f^{-1}(0)) \varphi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}^n x
\end{align}から示された.//

その他の計算例

その他
\begin{align}
&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^\prime) + \delta(x-x^\prime)
\end{align}(出典:物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4), $\S 1.2$)
【証明】
\begin{align}
&\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\begin{array}{c}
\cos(kx) \cos(kx^{\prime}) \\
\sin(kx) \sin(kx^{\prime})
\end{array}
\,\mathrm{d}k\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ikx}\pm e^{-ikx}}{2} \frac{e^{ikx^{\prime}}\pm e^{-ikx^{\prime}}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\pm\frac{e^{ik(x+x^{\prime})} + e^{-ik(x+x^{\prime})}}{2} \\
&\qquad\qquad\qquad
+\frac{e^{ik(x-x^{\prime})} + e^{-ik(x-x^{\prime})}}{2}
\,\mathrm{d}k \\
&=\pm\delta(x+x^{\prime}) + \delta(x-x^{\prime})
\end{align}となる.但し,最後の等号では上で紹介している「フーリエ変換の表式」を使用した.//

参考文献