ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツ分解）

POINT

• ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツ分解）に関するメモ

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ヘルムホルツの定理

ベクトル場$\bm{v}$は，スカラーポテンシャル$\phi $とベクトルポテンシャル$\bm{A}$を用いて

\begin{aligned}
\bm{v} = -\bm{\nabla} \phi + \bm{\nabla} \times \bm{A}
\end{aligned}

の形で表現できる．

性質

分解の仕方に自由度があるため，ポテンシャルにある条件を課すことができる．

div A = 0を満たすものが存在すること

$\bm{A}$にヘルムホルツの定理を適用して

\begin{aligned}
\bm{A}
= - \bm{\nabla} \psi + \bm{\nabla} \times \bm{B}
\end{aligned}

と表す．$\bm{A}^{\prime} = \bm{A} + \bm{\nabla} \psi = \bm{\nabla} \times \bm{B}$とすれば，

\begin{aligned}
\mathrm{div\,} \bm{A}^{\prime}
&= \bm{\nabla}\cdot (\bm{\nabla} \times \bm{B}) \\
&= 0
\end{aligned}

であり，

\begin{aligned}
\bm{v}
&= -\bm{\nabla} \phi + \bm{\nabla} \times \bm{A} \\
&= -\bm{\nabla} \phi + \bm{\nabla} \times (\bm{A} + \bm{\nabla} \psi) \\
&= -\bm{\nabla} \phi + \bm{\nabla} \times \bm{A}^{\prime}
\end{aligned}

を満たす．

参考文献

• Helmholtz decomposition - Wikipedia