ヘルムホルツ方程式

POINT

  • Helmholtz方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解.

【関連記事】

変数分離

関連記事[A]で
\begin{aligned}
[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{aligned}
の形の微分方程式の変数分離を解説しています.$f(r)=k^2$の場合が「ヘルムホルツ方程式」です.

結果のみを示します:
$\varphi(\boldsymbol{r})=R(r)Y(\theta,\varphi)$と変数分離すると

\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
&(\text{動径方程式}) \\
\,\displaystyle
\Delta_{S} Y + \lambda Y=0
&(\text{角度方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
となります.但し,極座標のラプラシアンを
\begin{aligned}
\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u \\
\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{aligned}
と表しています.

ヘルムホルツ方程式の変数分離解
ヘルムホルツ方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$を極座標で解くと
\begin{aligned}
&\varphi(r,\theta,\varphi) \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{l=|m|}^{\infty}[A_{lm} j_{l}(kr) + B_{lm} n_{l}(kr)] \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \times P_{l}^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{aligned}
となる($j_l$は球Bessel関数,$n_l$は球Neumann関数,$P_{l}^{\:m}$はLegendre陪関数).

角度方程式

関連記事[B]で扱っています.

ここでは,結果だけ示します:

角度方程式
\begin{aligned}
\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{aligned}
を満たすとき,$|m|\leq l$を満たす整数$l,m$を用いて
  1. 固有値は$\lambda = l(l+1)$と表すことができ,
  2. その規格化された固有関数は
    \begin{aligned}
    &Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
    &=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
    &\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
    \end{aligned}
    となる.

動径方程式

$f(r)=k^2$のとき,$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式は
\begin{aligned}
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR_l)+\biggl[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]R_l =0
\end{aligned}
なので,無次元変数$\xi = kr$に変数変換すれば,
\begin{aligned}
\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\xi \bar{R}_l)+\biggl[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\biggr]\bar{R}_l =0
\end{aligned}
となります(但し,$\bar{R}_l(\xi)=R_l(\xi/k)=R_l(r)$).さらに,
\begin{aligned}
\bar{R}_l(\xi) = u_l(\xi)/\sqrt{\xi}
\end{aligned}
とすると,Besselの微分方程式
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 u_l}{\mathrm{d}\xi^2}
+\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} u_l}{\mathrm{d}\xi}
+\biggl[1-\frac{(l+1/2)^2}{\xi^2} \biggr]u_l
=0
\end{aligned}
に帰着できます(*1).

したがって,動径方程式は2つの独立な解として,

  1. 球Bessel関数($\xi=0$で正則な解)$j_l(\xi)$
  2. 球Neumann関数($\xi=0$で非正則な解)$n_l(\xi)$
をもち,それぞれの表式は
\begin{aligned}
j_l(\xi)
&=(\pi/2\xi)^{1/2} J_{l+1/2}(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\sin\xi}{\xi}\biggr)\\
n_l(\xi)
&=-(-1)^l (\pi/2\xi)^{1/2} J_{-l-1/2}(\xi) \\
&=-(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\cos\xi}{\xi}\biggr)
\end{aligned}
で与えられます.但し,$J_{\nu}$はBessel関数を表します(関連記事:ベッセル関数の関係式 - Notes_JP).

独立解としては,次の球Hankel関数

\begin{aligned}
h_l^{(1)} (\xi)
&= j_l(\xi) + i n_l(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{i\xi}}{i\xi}\biggr)\\
h_l^{(2)} (\xi)
&= j_l(\xi) - i n_l(\xi) (=[h_l^{(1)} (\xi)]^* )\\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{-i\xi}}{-i\xi}\biggr)
\end{aligned}
を用いることもあります.

参考文献

関連記事[A]と同じです.

*1:簡単な計算ですが,念のため:

\begin{aligned} \frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\sqrt{\xi} u_l)+\biggl[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\biggr]u_l/\sqrt{\xi} =0 \end{aligned}
で,第2項はライプニッツ則から
\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\sqrt{\xi} u_l) \\ &=-\frac{1}{4}\xi^{-3/2}u+2\cdot\frac{1}{2}\xi^{-1/2}\frac{\mathrm{d}u_l}{\mathrm{d}\xi} + \xi^{1/2}\frac{\mathrm{d}^2u_l}{\mathrm{d}\xi^2} \\ &=\sqrt{\xi} \biggl(-\frac{1/4}{\xi^2}u+\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}u_l}{\mathrm{d}\xi} + \frac{\mathrm{d}^2u_l}{\mathrm{d}\xi^2}\biggr) \end{aligned}
となります.