- Helmholtz方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解.
- [A]シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP
- [B]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP
- [C]軸対称な波動方程式(ベクトルポテンシャル) - Notes_JP:ベクトルポテンシャルに関する議論をしています.
- [D]ラプラス方程式 - Notes_JP:$k=0$の場合は「ラプラス方程式」と呼ばれます.
変数分離
関連記事[A]で[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{aligned}
結果のみを示します:
$\varphi(\boldsymbol{r})=R(r)Y(\theta,\varphi)$と変数分離すると
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
&(\text{動径方程式}) \\
\,\displaystyle
\Delta_{S} Y + \lambda Y=0
&(\text{角度方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u \\
\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{aligned}
解
&\varphi(r,\theta,\varphi) \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{l=|m|}^{\infty}[A_{lm} j_{l}(kr) + B_{lm} n_{l}(kr)] \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \times P_{l}^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{aligned}
角度方程式
関連記事[B]で扱っています.ここでは,結果だけ示します:
\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{aligned}
- 固有値は$\lambda = l(l+1)$と表すことができ,
- その規格化された固有関数は
\begin{aligned}となる.
&Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
&=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
&\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{aligned}
動径方程式
$f(r)=k^2$のとき,$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式は\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR_l)+\biggl[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]R_l =0
\end{aligned}
\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\xi \bar{R}_l)+\biggl[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\biggr]\bar{R}_l =0
\end{aligned}
\bar{R}_l(\xi) = u_l(\xi)/\sqrt{\xi}
\end{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 u_l}{\mathrm{d}\xi^2}
+\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} u_l}{\mathrm{d}\xi}
+\biggl[1-\frac{(l+1/2)^2}{\xi^2} \biggr]u_l
=0
\end{aligned}
したがって,動径方程式は2つの独立な解として,
- 球Bessel関数($\xi=0$で正則な解)$j_l(\xi)$
- 球Neumann関数($\xi=0$で非正則な解)$n_l(\xi)$
j_l(\xi)
&=(\pi/2\xi)^{1/2} J_{l+1/2}(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\sin\xi}{\xi}\biggr)\\
n_l(\xi)
&=-(-1)^l (\pi/2\xi)^{1/2} J_{-l-1/2}(\xi) \\
&=-(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\cos\xi}{\xi}\biggr)
\end{aligned}
独立解としては,次の球Hankel関数
h_l^{(1)} (\xi)
&= j_l(\xi) + i n_l(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{i\xi}}{i\xi}\biggr)\\
h_l^{(2)} (\xi)
&= j_l(\xi) - i n_l(\xi) (=[h_l^{(1)} (\xi)]^* )\\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{-i\xi}}{-i\xi}\biggr)
\end{aligned}
参考文献
関連記事[A]と同じです.*1:簡単な計算ですが,念のため: