無限小回転から任意の回転へ

無限小回転と任意の回転の関係について見ていきます．

ベクトルの無限小回転

ベクトル$\bm{\omega}$を回転軸とする回転を考える．

ベクトル$\bm{\omega}$の大きさは，時間$\Delta t$の間に回転軸の周りを$|\bm{\omega}| \Delta t$ radの角度だけ回転するように定め，$\bm{\omega}$の方向は回転に対し右ねじの進む方向とする．

このとき，ベクトル$\bm{r}(t)$は，微小時間$\Delta t$の後には

\begin{aligned}
\bm{r}(t+\Delta t) - \bm{r}(t)
= (\bm{\omega}\Delta t) \times \bm{r}(t)
\end{aligned}

だけ回転する．これは，変化の方向は$\bm{\omega} \times \bm{r}(t)$であり，変化量は$|\bm{r}(t)| \sin\theta \cdot |\bm{\omega}\Delta t| $であることからわかる（$\theta$は$\bm{\omega}$と$\bm{r}(t)$のなす角）．

無限小回転

任意の回転

上で得られた式から，任意の時間における回転（したがって，任意の角度の回転）は

\begin{aligned}
\dot{\bm{r}}(t)
&= \lim_{t\to 0} \frac{\bm{r}(t+\Delta t) - \bm{r}(t)}{\Delta t} \\
&= \bm{\omega} \times \bm{r}(t)
\end{aligned}

を解けば得られる．

ここで，右辺の変換

\begin{aligned}
\bm{x} \mapsto \bm{\omega} \times \bm{x}
\end{aligned}

は線形変換であるから，行列$A$で

\begin{aligned}
A \bm{x}
= \bm{\omega} \times \bm{x}
\end{aligned}

を満たすものが存在する（具体的な表式は後で求める）．

この行列$A$を使って微分方程式を書き直すと

\begin{aligned}
\dot{\bm{r}}(t)
&= A \bm{r}(t)
\end{aligned}

となり，その解は

\begin{aligned}
\bm{r}(t)
&= \exp (tA) \bm{r}(0)
\end{aligned}

である．したがって，$\exp (tA)$は，$\bm{\omega}$を回転軸とする，角度$t\| \bm{\omega} \|$の回転行列を表す．

外積の行列表現

それでは，具体的に行列$A$で

\begin{aligned}
A\bm{x} = \bm{\omega} \times \bm{x}
\end{aligned}

を満たすものを求める．これは，行列$A$の要素を$\bm{\omega} = (\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3})$で表すということである．

行列$A$は，

\begin{aligned}
A
&= (A\bm{e}_{1}, A\bm{e}_{2}, A\bm{e}_{3}) \\
&= (\bm{\omega}\times\bm{e}_{1}, \bm{\omega}\times\bm{e}_{2}, \bm{\omega}\times\bm{e}_{3})
\end{aligned}

と求めることができる（➡回転行列（2次元） - Notes_JP）．$\bm{\omega} = \omega_{1}\bm{e}_{1} + \omega_{2}\bm{e}_{2} + \omega_{3}\bm{e}_{3}$として各列を計算すれば（*1）

\begin{aligned}
A
&=
\begin{pmatrix}
0 &-\omega_{3} & \omega_{2} \\
\omega_{3} &0 & -\omega_{1} \\
-\omega_{2} &\omega_{1} &0
\end{pmatrix} \\
& =
\omega_{1} L_{1}
+\omega_{2} L_{2}
+\omega_{3} L_{3}
\end{aligned}

であることがわかる．ただし，$L_{1} = \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 &0 & -1 \\ 0 &1 & 0 \end{pmatrix}$，$L_{2} = \begin{pmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0 &0 & 0 \\ -1 &0 &0 \end{pmatrix}$，$L_{3} = \begin{pmatrix} 0 &-1 & 0 \\ 1 &0& 0 \\ 0 &0&0 \end{pmatrix} $とおいた．

ここで，${}^{t}\!A = - A$であるから，$A$は交代行列である．逆に，任意の3次の交代行列$A$を上のように基底$L_{1}, L_{2}, L_{3}$で分解すれば，$A\bm{x} = \bm{\omega}\times x$を満たす$\bm{\omega}$が得られる．

回転行列と交代行列の関係

上の結果より，回転行列と交代行列が1対1に対応することがわかった．これを，指数関数の性質を使って示す（3次元という制約がなくなる）．

▶行列$A$が交代行列（${}^{t}\!A = - A$）であれば，$R = \exp(tA)$は回転行列となる（$R \in \mathrm{SO}(n)$）．
[証明]

• ${}^{t}\!R = \exp(t{}^{t}\!A) = \exp(-tA) = R^{-1}$
• $\det R = \exp(-t\cdot \mathrm{tr\,}A) = 1$

▶$R = \exp(tA)$が直交行列（${}^{t}\!R = R^{-1}$）であれば，行列$A$は交代行列（${}^{t}\!A = - A$）となる．（上の結果より，$R$は回転行列となる．）
[証明]
${}^{t}\!R R = I$の両辺を$t$で微分すれば，${}^{t}\!A + A = 0$が得られる．

▶任意の回転行列$R$は，交代行列$A$を使って$R = \exp(tA)$と表せる．
[証明]
例えば，リー群入門 (松木 敏彦) 定理1.9．

参考文献

• 力学（増訂第３版） (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)
• 岩波講座 物理の世界　物の理 数の理 1 数学から見た物体と運動 (岩波オンデマンドブックス)
• 岩波講座 物理の世界 物の理 数の理〈5〉数学から見た量子力学
• Angular velocity tensor - Wikipedia

*1:あるいは

\begin{aligned} (\bm{\omega}\times\bm{x})_{i} &= \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} \omega_{j}x_{k} \end{aligned}

から計算できる．