球に関係する積分

POINT

球が積分領域など，何らかの形で関わる積分計算のメモ．

分類の仕方は暫定です．増えてきたらまた考えます．
【関連記事】

曲面積の求め方 - Notes_JP：球の表面積

Helmholtz方程式関連

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LAMB, HYDRODYNAMICS, SIXTH EDITION, DOVER, Art. 290から．

公式

$S$を原点を中心とする半径$a$の球面とし，$S$上の点をパラメータ$(\theta,\phi)$を用いて$\boldsymbol{X}(\theta,\varphi)$と表す．点$\boldsymbol{x}$を考え，

$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{X}(\theta,\varphi)-\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$から$S$上の各点までの位置ベクトル）
$r=|\boldsymbol{r}|$
$R=|\boldsymbol{x}|$

とするとき，

\begin{aligned}
\phi(\boldsymbol{x})
&=\frac{k e^{ika}}{4\pi a}\int_S \frac{e^{-ikr}}{r} \,\mathrm{d}S \\
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \frac{\sin(kR)}{R} & (R < a) \\
\displaystyle \, \sin(ka) \frac{e^{-ik(R-a)}}{R} & (R > a)
\end{cases}
\end{aligned}

が成立する．

【証明】

$\boldsymbol{x}=(0,0,-R)$としても一般性を失わない．面$S$上の点は

\begin{aligned}
\boldsymbol{X}(\theta,\varphi)
=
\begin{pmatrix}
a\sin\theta \cos\varphi \\
a\sin\theta \sin\varphi \\
a\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{aligned}

と表せるから，

\begin{aligned}
\boldsymbol{r}
&=\boldsymbol{X}(\theta,\varphi)-\boldsymbol{x} \\
&=
\begin{pmatrix}
a\sin\theta \cos\varphi \\
a\sin\theta \sin\varphi \\
a\cos\theta + R
\end{pmatrix}
\end{aligned}

となる．従って

\begin{aligned}
&
\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \varphi}
\Biggr|
=
\Biggl|
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \theta}
\times
\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \varphi}
\Biggr| \\
=& a^2 |\sin\theta |
\end{aligned}

となる．したがって，積分の部分は

\begin{aligned}
&\int_S \frac{e^{-ikr}}{r} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}\varphi
\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-ikr}}{r} a^2 \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \\
&=2\pi a^2 \int_{0}^{\pi}\frac{e^{-ikr}}{r} \sin\theta \,\mathrm{d}\theta
\end{aligned}

と表すことができる．

ここで，積分変数を$\theta$から$r$に変換する．

\begin{aligned}
r^2 = a^2+ R^2 + 2aR\cos\theta
\end{aligned}

なので，

\begin{aligned}
2r\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}
&=-2aR \sin\theta
\end{aligned}

となる．したがって，

\begin{aligned}
\frac{1}{r}\sin\theta \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} r}
&=- \frac{1}{aR}
\end{aligned}

から

\begin{aligned}
&\int_S \frac{e^{-ikr}}{r} \,\mathrm{d}S \\
&=- \frac{2\pi a}{R} \int_{a+R}^{|a-R|} e^{-ikr} \,\mathrm{d}r \\
&=\frac{2\pi a}{R} \frac{1}{ik} \Bigl[e^{-ik|a-R|} - e^{-ik(a+R)} \Bigr] \\
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \frac{4 \pi a}{kR} e^{-ika}\frac{e^{ikR} - e^{-ikR}}{2 i} & (R < a) \\
\displaystyle \, \frac{4 \pi a}{kR} e^{-ikR}\frac{e^{ika} - e^{-ika}}{2 i} & (R > a)
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
\displaystyle \, \frac{4 \pi a}{kR} e^{-ika}\sin(kR) & (R < a) \\
\displaystyle \, \frac{4 \pi a}{kR} e^{-ikR}\sin(ka) & (R > a)
\end{cases}
\end{aligned}

となる．以上より，

となる．//