POINT
昇降演算子が現れる問題を比較してみます．生成・消滅演算子と角運動量演算子で，同じように議論を行います．- 生成・消滅演算子と角運動量演算子の議論を比較する．
- どちらも「昇降演算子」がカギ．
【関連記事】
- [A]角運動量演算子についての記事を作成予定．
- [B]生成・消滅演算子の記事も作成するかもしれません．
この記事では，ある演算子$A$に着目しているとき，$A$の固有値$\lambda$に対する固有状態を$|\lambda\rangle$と表すことにします（つまり，$A|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle$）．
昇降演算子
演算子$N$の固有値問題において，演算子$X$との交換関係\begin{aligned}
[N,X]=cX
\tag{1}
\end{aligned}
が与えられている場合を考える．[N,X]=cX
\tag{1}
\end{aligned}
これは$NX=X(N + c)$と変形できるから
\begin{aligned}
& N |\lambda \rangle = \lambda |\lambda\rangle \\
&\Rightarrow N(X|\lambda\rangle) = (\lambda+c) (X|\lambda\rangle)
\end{aligned}
となる．つまり，$X$が$N$の固有状態に作用し，それがゼロベクトルにならないなら（*1），固有値が$+c$された$N$の固有状態になる．このため，演算子$X$を「昇降演算子」と呼ぶ．& N |\lambda \rangle = \lambda |\lambda\rangle \\
&\Rightarrow N(X|\lambda\rangle) = (\lambda+c) (X|\lambda\rangle)
\end{aligned}
さらに，$N$がエルミート演算子（$N^{\dagger}=N$）であるとき，$c=(\lambda+c)-\lambda\in\mathbb{R}$であり，式$(1)$のエルミート共役を取ることで
\begin{aligned}
[N,X^{\dagger}]=(-c)X^{\dagger}
\end{aligned}
が導ける．[N,X^{\dagger}]=(-c)X^{\dagger}
\end{aligned}
以下で具体例として扱う「生成消滅演算子」と「角運動量演算子」は，以上の関係式を満たしている（下表）．
| 演算子 | $N$ | $X$ | $c$ | 交換関係 |
|---|---|---|---|---|
| 生成消滅 | $n=a^{\dagger} a$ | $a$ | $-1$ | $[n,a]=-a$ |
| $a^{\dagger}$ | $+1$ | $[n,a^{\dagger}]=a^{\dagger}$ | ||
| 角運動量 | $J_{3}=\frac{1}{2} [J_{+}, J_{-}]$ | $J_{-}$ | $-1$ | $[J_{3},J_{-}]=-J_{-}$ |
| $J_{+}=(J_{-})^{\dagger}$ | $+1$ | $[J_{3},J_{+}]=J_{+}$ |
以下では，$c=+1, -1$である昇降演算子を，それぞれ$N_{+}, N_{-}$で表すことにする．つまり
| 演算子 | $N_{+}$ | $N_{-}$ | $[N_{-},N_{+}]$ |
|---|---|---|---|
| 生成消滅 | $a^{\dagger}$ | $a$ | $[a, a^{\dagger}]=1$ |
| 角運動量 | $J_{+}=(J_{-})^{\dagger}$ | $J_{-}$ | $[J_{-}, J_{+}]=-2J_{3}$ |
\begin{aligned}
& N |\lambda\rangle = \lambda |\lambda\rangle \\
&\Rightarrow N(N_{\pm}|\lambda\rangle) = (\lambda\pm 1) (N_{\pm}|\lambda\rangle)
\end{aligned}
が成り立つ．& N |\lambda\rangle = \lambda |\lambda\rangle \\
&\Rightarrow N(N_{\pm}|\lambda\rangle) = (\lambda\pm 1) (N_{\pm}|\lambda\rangle)
\end{aligned}
固有値の取り得る値
任意の演算子$A$に対して\begin{aligned}
& A^{\dagger} A |\psi \rangle = \lambda |\psi \rangle \\
&\Rightarrow \lambda
= \frac{\langle \psi | A^{\dagger} A | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}
= \frac{\|A \psi \|^{2}}{\|\psi \|^{2}}
\geq 0
\end{aligned}
であるから，$A^{\dagger} A$の固有値は非負の実数となる．& A^{\dagger} A |\psi \rangle = \lambda |\psi \rangle \\
&\Rightarrow \lambda
= \frac{\langle \psi | A^{\dagger} A | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}
= \frac{\|A \psi \|^{2}}{\|\psi \|^{2}}
\geq 0
\end{aligned}
具体的な問題では，演算子$A$として次を考える．
| 演算子 | $A$ | $A^{\dagger} A$ | 言えること |
|---|---|---|---|
| 生成消滅 | $a$ | $n=a^{\dagger} a$ | $n$の固有値$\geq 0$ |
| 角運動量 | $J_{i}$ $(i=1,2,3)$ |
$(J_{i})^{2}$ $(i=1,2,3)$ |
$J_{3}$と$J^{2}$の同時固有状態に対して \begin{aligned}&(J_{3})^{2} \text{の固有値} \\ & \leq J^{2} \text{の固有値}\end{aligned} (注：$[J^{2}, J_{3}] = 0$より，$J_{3}$と$J^{2}$は同次対角化可能) |
| $J_{-}$ | $J_{+}J_{-}$ | ||
| $J_{+}$ | $J_{-}J_{+}$ |
- 関係式\begin{aligned}
J^{2}
&=(J_{1})^{2} +(J_{2})^{2} +(J_{3})^{2} \\
&= (J_{3})^{2} + \frac{1}{2} \{J_{+}, J_{-}\}
\end{aligned} - $[J^{2}, J_{\pm}]=0$より$J^{2}$の固有状態に$J_{\pm}$を作用させても同じ固有値の固有ベクトルになる（同じ固有空間に属する）こと
つまり，式$(1)$の$N$の固有値が制限される．上の表の「言えること」を整理すると以下になる．
| 演算子 | 制限 | |
|---|---|---|
| 対象の空間 | $N$の固有値の制限 (←の空間内で言える) |
|
| 生成消滅 | 全空間 | $N=n$の固有値に下限あり ($0\leq N$の固有値) |
| 角運動量 | $J^{2}$の固有値$\alpha$に関する固有空間(※) | $N=J_{3}$の固有値に下限/上限あり ($-\sqrt{\alpha}\leq N$の固有値$\leq \sqrt{\alpha}$) |
昇降演算子$N_{\pm}$が$N$の固有状態に作用すると，固有値を$\pm 1$した状態ベクトルになるかゼロベクトルになるかのいずれかであった．
よって，上表の「対象の空間」に属する，任意の$N$の固有ベクトル$|\lambda\rangle$（$N|\lambda\rangle= \lambda |\lambda\rangle$）に対して
- 下限がある場合：$(N_{-})^{k} |\lambda\rangle\neq 0, (N_{-})^{k+1}|\lambda\rangle=0$を満たす$k$が存在する
- 上限がある場合：$(N_{+})^{l} |\lambda\rangle\neq 0, (N_{+})^{l+1}|\lambda\rangle=0$を満たす$l$が存在する
ここで，
\begin{aligned}
|\lambda - i \rangle
&=(N_{-})^{i} |\lambda\rangle
\quad (i=0,1,...,k) \\
|\lambda + i \rangle
&=(N_{+})^{i} |\lambda\rangle
\quad (i=0,1,...,l)
\end{aligned}
と書くことにする．これらは全て$N$の固有ベクトルである．|\lambda - i \rangle
&=(N_{-})^{i} |\lambda\rangle
\quad (i=0,1,...,k) \\
|\lambda + i \rangle
&=(N_{+})^{i} |\lambda\rangle
\quad (i=0,1,...,l)
\end{aligned}
以下では，関係式
\begin{aligned}
\text{i})\quad &
N |\alpha \rangle
= \alpha |\alpha \rangle \\
\text{ii})\quad &
N_{+} N_{-} |\lambda - k \rangle = 0 \\
\text{iii})\quad &
N_{-} N_{+} |\lambda + l \rangle = 0
\end{aligned}
をもとに考察をすすめる．\text{i})\quad &
N |\alpha \rangle
= \alpha |\alpha \rangle \\
\text{ii})\quad &
N_{+} N_{-} |\lambda - k \rangle = 0 \\
\text{iii})\quad &
N_{-} N_{+} |\lambda + l \rangle = 0
\end{aligned}
生成消滅演算子
生成消滅演算子の場合は$n=a^{\dagger} a$（$N=N_{+} N_{-}$）に対して\begin{aligned}
\text{i})\quad &
n |\lambda - k \rangle
=(\lambda - k) |\lambda - k \rangle \\
\text{ii})\quad &
0=a^{\dagger} a |\lambda - k \rangle
=n |\lambda - k \rangle
\end{aligned}
なので，$(\lambda - k) |\lambda - k \rangle=0\Leftrightarrow k=\lambda$である．よって，\text{i})\quad &
n |\lambda - k \rangle
=(\lambda - k) |\lambda - k \rangle \\
\text{ii})\quad &
0=a^{\dagger} a |\lambda - k \rangle
=n |\lambda - k \rangle
\end{aligned}
- 固有値$\lambda(=k)$は$0$以上の整数である
- 固有値がゼロの固有ベクトル$|0 \rangle=|\lambda - k \rangle$が存在する
以上の結果と，$(N_{+})^{i}|0 \rangle$が固有値$i$の固有状態となることを合わせて
$n=a^{\dagger} a$の固有値は，$0$以上のあらゆる整数をとる
ことが示された．角運動量演算子
関係式\begin{aligned}
J^{2}
&=(J_{1})^{2} +(J_{2})^{2} +(J_{3})^{2} \\
&= (J_{3})^{2} + \frac{1}{2} \{J_{+}, J_{-}\} \\
&= (J_{3})^{2}
+ \frac{1}{2}
\Bigl(\underset{=2J_{3}}{\pm \underline{[J_{+}, J_{-}]}}
+ 2J_{\mp} J_{\pm} \Bigr) \\
&=J_{3}(J_{3} \pm 1) + J_{\mp} J_{\pm}
\end{aligned}
からJ^{2}
&=(J_{1})^{2} +(J_{2})^{2} +(J_{3})^{2} \\
&= (J_{3})^{2} + \frac{1}{2} \{J_{+}, J_{-}\} \\
&= (J_{3})^{2}
+ \frac{1}{2}
\Bigl(\underset{=2J_{3}}{\pm \underline{[J_{+}, J_{-}]}}
+ 2J_{\mp} J_{\pm} \Bigr) \\
&=J_{3}(J_{3} \pm 1) + J_{\mp} J_{\pm}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
J^{2} |\lambda -k\rangle
=(\lambda - k)(\lambda - k - 1) |\lambda -k\rangle \\
J^{2} |\lambda + l\rangle
=(\lambda + l)(\lambda + l + 1) |\lambda +l\rangle
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つ．\begin{cases}
J^{2} |\lambda -k\rangle
=(\lambda - k)(\lambda - k - 1) |\lambda -k\rangle \\
J^{2} |\lambda + l\rangle
=(\lambda + l)(\lambda + l + 1) |\lambda +l\rangle
\end{cases}
\end{aligned}
一方で，$J^{2}$の固有状態に$J_{\pm}$を作用させても，固有値は変わらないことから
\begin{aligned}
&(\lambda - k)(\lambda - k - 1)
=(\lambda + l)(\lambda + l + 1) \\
\Leftrightarrow &
(\lambda + l)^{2} + (\lambda + l)
-(\lambda - k)^{2} + (\lambda - k)
=0 \\
\Leftrightarrow &
[(\lambda - k) + (\lambda + l)]
(k+l+1)
=0
\end{aligned}
である．$k+l+1 > 0$であるから，&(\lambda - k)(\lambda - k - 1)
=(\lambda + l)(\lambda + l + 1) \\
\Leftrightarrow &
(\lambda + l)^{2} + (\lambda + l)
-(\lambda - k)^{2} + (\lambda - k)
=0 \\
\Leftrightarrow &
[(\lambda - k) + (\lambda + l)]
(k+l+1)
=0
\end{aligned}
\begin{aligned}
&(\lambda - k)
= - (\lambda + l) \\
&\Leftrightarrow
2\lambda = k+l
\end{aligned}
となる．$k,l$は非負整数だから，$\lambda$は非負の整数か，非負の半整数（整数/2）である．&(\lambda - k)
= - (\lambda + l) \\
&\Leftrightarrow
2\lambda = k+l
\end{aligned}
以上より，$j_{\lambda}=\lambda + l=-(\lambda -k) \geq 0$とおくとき
- $j_{\lambda}$は$0$以上の整数または半整数（整数の1/2）である
- $J^{2}$の固有値は$j_{\lambda}(j_{\lambda}+1)$である
- $J_{3}$の固有値は$-j_{\lambda},-j_{\lambda}+1,...,j_{\lambda}-1,j_{\lambda}$である
いま，固有状態$|\lambda \rangle$は$J^{2}$の固有値を変えない範囲で任意に選んでいた．一方で$J^{2}$の固有値$(\geq 0)$は$j_{\lambda}$と一対一対応する（*3）．よって，$j_{\lambda}$は$\lambda$に依存しない．したがって，$j_{\lambda}$は単に$j$と表してよい．
$J^{2}$の固有値は$j$を指定すれば決まるから，$J_{3}$と$J^{2}$の同次固有状態は
\begin{aligned}
&|\underset{\mathrlap{\substack{ \\[-0.5ex] \!\! \uparrow J^{2}\text{の固有値} j(j+1) \text{を指定}}}}{j}
,\overset{\mathrlap{\substack{\! \downarrow J_{3}\text{の固有値} \\[0.75ex]}}}{m} \rangle \\
&(m=-j,-j+1,...,j-1,j)
\end{aligned}
&|\underset{\mathrlap{\substack{ \\[-0.5ex] \!\! \uparrow J^{2}\text{の固有値} j(j+1) \text{を指定}}}}{j}
,\overset{\mathrlap{\substack{\! \downarrow J_{3}\text{の固有値} \\[0.75ex]}}}{m} \rangle \\
&(m=-j,-j+1,...,j-1,j)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, J^{2} |j,m\rangle = j(j+1) |j,m\rangle \\
\, J_{3} |j,m\rangle = m |j,m\rangle
\end{cases}
\end{aligned}
である．\begin{cases}
\, J^{2} |j,m\rangle = j(j+1) |j,m\rangle \\
\, J_{3} |j,m\rangle = m |j,m\rangle
\end{cases}
\end{aligned}
状態空間
演算子の作用
演算子の作用
上で得られた$N$の固有状態$S_{|\lambda\rangle}=\{|\lambda+i\rangle\}_{i=-k}^{l}$で張られる空間
角運動量演算子の場合，$J_{1}=(J_{+}+J_{-})/2, J_{2}=(J_{+}-J_{-})/2i$であるから，$V_{|\lambda\rangle}$が$J_{1},J_{2},J_{3}$の作用で閉じていることと同値である．\begin{aligned}
V_{|\lambda\rangle}
&=\mathrm{span\,}(S_{|\lambda\rangle}) \\
&=\Biggl\{
\sum_{i=-k}^{l} c_{i} |\lambda+i\rangle
\,\Biggl|\, c_{i} \in\mathbb{C}
\Biggr\}
\end{aligned}
は，$N,N_{\pm}$の作用で閉じている．V_{|\lambda\rangle}
&=\mathrm{span\,}(S_{|\lambda\rangle}) \\
&=\Biggl\{
\sum_{i=-k}^{l} c_{i} |\lambda+i\rangle
\,\Biggl|\, c_{i} \in\mathbb{C}
\Biggr\}
\end{aligned}
また，通常，生成消滅演算子の場合は$|\lambda\rangle=|0\rangle$（つまり$k=0,l=\infty$）とする．角運動量演算子の場合，例えば参考文献[1]では$|\lambda\rangle=|j\rangle$（つまり$k=2j, l=0$）としている．
【解説】
$N|\lambda+i\rangle=(\lambda+i)|\lambda+i\rangle$であるから，$N$の作用で閉じている．
$N_{\pm}$の作用で閉じていることは
\begin{aligned}
&N_{+}|\lambda+i\rangle \\
&=
\begin{cases}
\, N_{+}(N_{-})^{|i|} |\lambda\rangle
& (-k \leq i < 0)\\
\, (N_{+})^{i+1} |\lambda\rangle
&(0\leq i < l) \\
\, 0 & (i=l)
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
\,N_{+}N_{-} |\lambda + (i+1)\rangle
& (-k \leq i < 0)\\
\, |\lambda+(i+1)\rangle
&(0\leq i < l) \\
\, 0 & (i=l)
\end{cases}\\
&N_{-}|\lambda+i\rangle \\
&=
\begin{cases}
\, 0 & (i=-k) \\
\, N_{-}(N_{-})^{|i|} |\lambda\rangle
& (-k < i \leq 0)\\
\, N_{-}(N_{+})^{i} |\lambda\rangle
&(0 < i \leq l)
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
\, 0 & (i=-k) \\
\, |\lambda + (i-1)\rangle
& (-k < i \leq 0)\\
\, N_{-}N_{+} |\lambda+(i-1)\rangle
&(0 < i \leq l)
\end{cases}
\end{aligned}
であることと，&N_{+}|\lambda+i\rangle \\
&=
\begin{cases}
\, N_{+}(N_{-})^{|i|} |\lambda\rangle
& (-k \leq i < 0)\\
\, (N_{+})^{i+1} |\lambda\rangle
&(0\leq i < l) \\
\, 0 & (i=l)
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
\,N_{+}N_{-} |\lambda + (i+1)\rangle
& (-k \leq i < 0)\\
\, |\lambda+(i+1)\rangle
&(0\leq i < l) \\
\, 0 & (i=l)
\end{cases}\\
&N_{-}|\lambda+i\rangle \\
&=
\begin{cases}
\, 0 & (i=-k) \\
\, N_{-}(N_{-})^{|i|} |\lambda\rangle
& (-k < i \leq 0)\\
\, N_{-}(N_{+})^{i} |\lambda\rangle
&(0 < i \leq l)
\end{cases} \\
&=
\begin{cases}
\, 0 & (i=-k) \\
\, |\lambda + (i-1)\rangle
& (-k < i \leq 0)\\
\, N_{-}N_{+} |\lambda+(i-1)\rangle
&(0 < i \leq l)
\end{cases}
\end{aligned}
| 演算子 | $N_{+}N_{-}$ | $N_{-}N_{+}$ |
|---|---|---|
| 生成消滅 | $n$ | $n+1$ |
| 角運動量 | $J^{2}-J_{3}(J_{3}-1)$ | $J^{2}-J_{3}(J_{3}+1)$ |
一意性
こうして構成した固有状態で張られる空間が一意とは限らない．しかし，演算子の作用では区別できない．よって，構成した状態空間のうち1つを用いるという立場を取る（参考文献[1] $\text{\sect} 6.7$ 調和振動子と生成・消滅演算子）．参考文献
- [1]量子力学1 (KS物理専門書)：$\text{\sect} 6.7$ 調和振動子と生成・消滅演算子，$\text{\sect} 7.4$ 角運動量の固有状態．
【コメント】「($(J_{3})^{2}$の固有値) $ \leq$ ($J^{2}$の固有値)」から「$J_{3}$の固有値の最大値が存在する」としていますが，ロジックとしては不正確です（生成消滅演算子の場合も同じロジックを用いています）．例えば，$[0,1)$という集合の元$\leq 1$ですが，この集合には最大値が存在しません（$1$は$[0,1)$に含まれない）．つまり，何らかの方法で最大値の存在を示す必要があります．一方で，この記事の方法では，「$J_{3}$の固有値の最大値が存在する」ことを仮定していません． - [2]ファインマン統計力学 (Richard P. Feynman)：第６章 生成消滅演算子．[1]とは異なり，「$n$の最小の固有値」の存在を仮定せずに議論しています．
- [3]物理と行列 (今村勤)：$\text{\sect} 4.2$ 回転と角運動量．[1]とは異なる論法です．
- [4]Ladder operator - Wikipedia
*1:ゼロベクトルは固有状態ではない．
*2:$k,l$の代わりに$k_{\mp}$と書けば式をまとめて書ける．しかし，あとの計算が見にくくなるので$k,l$を用いた．
*3:$j_{\lambda}(j_{\lambda}+1)=\alpha \geq 0$とする．$j_{\lambda}$を決めると$\alpha$は一意に決まる．逆に，$\alpha$を与えると\begin{aligned} &(j_{\lambda})^{2}+j_{\lambda}-\alpha=0 \\ &\Leftrightarrow j_{\lambda}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\alpha}}{2} \end{aligned}であるが，$j_{\lambda}\geq 0$より$j_{\lambda}=\dfrac{-1+\sqrt{1+4\alpha}}{2}$に決まる．