ラメ定数

POINT

  • ラメ定数とヤング率,剛性率,ポアソン比について.
  • ラメ定数と音速の関係について.

ラメ定数

密度$\rho$,ヤング率$E$,体積弾性率$K$,剛性率$G$,ポアソン比$\nu$を用いる.

物質に固有のLamé定数は
\begin{align}
\lambda &= \frac{E \nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \\
\mu &= G =\frac{E}{2(1+\nu)}
\end{align}と表せる.

$E$を消去すると$(1-2\nu) \lambda = 2\nu \mu$より
\begin{align}
\nu = \frac{\lambda}{2(\lambda + \mu)}
\end{align}と表すことができる.

弾性体中の音速

等方性の弾性体では,波動方程式
\begin{align}
&\biggl(\frac{1}{c_1^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\Delta \biggr) \mathrm{div\,}\boldsymbol{d}
=0 ,\quad
\Biggl(c_1=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}}\Biggr) \\
&\biggl(\frac{1}{c_2^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\Delta \biggr) \boldsymbol{\omega}
=0 ,\quad
\Biggl(c_2=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}\Biggr)
\end{align}が成り立つ(文献[1]).ここで,「変形していない弾性体内において$\boldsymbol{x}$で表される点」の時刻$t$における変位を
\begin{align}
\boldsymbol{d}(\boldsymbol{x},t)
=\begin{pmatrix}
\xi (\boldsymbol{x},t) \\
\eta (\boldsymbol{x},t) \\
\zeta (\boldsymbol{x},t)
\end{pmatrix}
\end{align}で表しており,
\begin{align}
2\boldsymbol{\omega}
=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{d}
\end{align}である.

疎密波の音速

疎密波 (compressional wave)(あるいは,P波 (P-wave),体積変化の波 (dilatational wave))の音速は
\begin{align}
c_1
&=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}}
=\sqrt{\frac{K+4G/3}{\rho}} \\
&=\sqrt{\frac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}} \sqrt{\frac{E}{\rho}}
\end{align}

せん断波の音速

せん断波(すべりの波 (shear wave))(あるいは,S波 (S-wave),変形の波 (distortional wave))の音速は
\begin{align}
c_2
&=\sqrt{\frac{\mu}{\rho}}
=\sqrt{\frac{G}{\rho}} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2(1+\nu)}} \sqrt{\frac{E}{\rho}}
\end{align}

ポアソン比と音速

上の音速の表式から,
\begin{align}
\frac{c_2}{c_1}
=\sqrt{\frac{1-2\nu}{2(1-\nu)}} \quad (< 1)
\end{align}だから,$c_2 < c_1$である.表面波の速度は$c_2$よりもさらに遅い.また,$2(1-\nu) (c_2/c_1)^2 = (1-2\nu)$より,ポアソン比は
\begin{align}
\nu = \frac{1-2(c_2/c_1)^2}{2\bigl[1-(c_2/c_1)^2 \bigr]}
\end{align}と表すことができる.

参考文献/記事

[1]振動・波動 (基礎物理学選書 (8)):$\S 6.7$弾性波
[2]音と音波 (基礎物理学選書 (4)):$\S 4.6$ 音の伝搬速度(音速)
[3]P波 [pは]|JOGMEC石油・天然ガス資源情報ウェブサイト
[4]S波 [sは]|JOGMEC石油・天然ガス資源情報ウェブサイト