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ラプラス方程式

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POINT

  • Laplace方程式$\Delta\varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解．

【関連記事】

変数分離

関連記事[A]で
\begin{aligned}
[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{aligned}
の形の微分方程式の変数分離手順を解説しています．$f(r)$としてよく現れるものには次があります：
$f(r)$ 名称 記事
$f(r)=k^{2}$ ヘルムホルツ方程式 関連記事[B]
$f(r)=0$ ラプラス方程式 この記事


関連記事[A]の結果のみを示します：
$\varphi(\boldsymbol{r})=R(r)Y(\theta,\varphi)$と変数分離すると

\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
&(\text{動径方程式}) \\
\,\displaystyle
\Delta_{S} Y + \lambda Y=0
&(\text{角度方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
となります．但し，極座標のラプラシアンを
\begin{aligned}
\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u \\
\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{aligned}
と表しています．

極座標での解

ラプラス方程式の変数分離解解
ラプラス方程式$\Delta \varphi(\boldsymbol{r}) =0$を極座標で解くと
\begin{aligned}
&\varphi(r,\theta,\varphi) \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{l=|m|}^{\infty} (A_{lm} r^{l} + B_{lm} r^{-(l+1)}) \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \times P_{l}^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{aligned}
となる．ここで，
  • $\displaystyle P_{l}^{\:m}(x) = (1-x^{2})^{|m|/2} \frac{\mathrm{d}^{|m|} P_{l}}{\mathrm{d} x^{|m|}} (x)$：Legendre陪関数
  • $\displaystyle P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l} l!} \frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d} x^{l}} (x^{2} - 1)^{l}$：Legendreの多項式
である（関連記事[C]）．

特に，$z$軸に関して対称な解（$\varphi$に依存しない解）は，$m=0$の項だけが残るので

\begin{aligned}
\varphi(r,\theta)
&=\sum_{l=0}^{\infty} (A_{l} r^{l} + B_{l} r^{-(l+1)}) P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
となります．

\begin{aligned}
P_{0}(x)&=1 \\
P_{1}(x)&=x \\
P_{2}(x)&=\frac{1}{2} (3x^{2}-1) \\
&\vdots \\
P_{l}(x)&=\frac{1}{2^{l}l!}
\frac{\mathrm{d}^{l}}{\mathrm{d}x^{l}}
(x^{2}-1)^{l}
\end{aligned}

角度方程式

関連記事[C]で扱っています．

ここでは，結果だけ示します：

角度方程式
\begin{aligned}
\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{aligned}
を満たすとき，$|m|\leq l$を満たす整数$l,m$を用いて
  1. 固有値は$\lambda = l(l+1)$と表すことができ，
  2. その規格化された固有関数は
    \begin{aligned}
    &Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
    &=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
    &\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
    \end{aligned}
    となる．

動径方程式

$f(r)=0$のとき，$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式は
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR_l)
- \frac{l(l+1)}{r^2} (r R_l) =0
\end{aligned}
となります．

この微分方程式の解は

\begin{aligned}
rR_l
&=A_{l} r^{l+1} + B_{l} r^{-l}
\end{aligned}
となります．


【微分方程式の解き方】
参考文献[2]のように，
\begin{aligned}
\sum_{k=0}^{n} a_{n-k} \cdot
x^{n} \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} x^{n}}
=f(x)
\end{aligned}
の形の方程式（$a_{0},...,a_{n}$は定数）は，変数変換$x=e^{t}$により定数係数の線形方程式に帰着できます．

上の方程式で$y=r R_{l}$，$x=r= e^{t}$とすると

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}
&=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}
=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \frac{1}{\mathrm{d} x/\mathrm{d} t}
=\dot{y} x^{-1} \\
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}
&=\frac{\mathrm{d} \dot{y}}{\mathrm{d} x} x^{-1}
+\dot{y} \frac{\mathrm{d} x^{-1}}{\mathrm{d} x}
=\ddot{y}x^{-2} - \dot{y} x^{-2}
\end{aligned}
だから
\begin{aligned}
\ddot{y} - \dot{y} - l(l+1)y = 0
\end{aligned}
となります．ここで，$y=e^{\lambda t}$とすると
\begin{aligned}
[\lambda - (l+1)][\lambda - (-l)] = 0
\end{aligned}
だから，一般解は
\begin{aligned}
y&=Ae^{(l+1)t} + Be^{-lt} \\
&=A x^{l+1} + Bx^{-l}
\end{aligned}
であることがわかりました．//

参考文献