POINT
- モンティ・ホール問題は，誤答しやすいことで知られる確率問題．
- モンティ・ホール問題を簡単に解く方法を紹介する．
条件付き確率なしでモンティ・ホール問題を理解する方法を紹介します．
問題を知っている人向けに結論から．次の考察だけで済みます！
結論
当たりを引く確率は，
- ドアを変えない人の場合，最初に当たりを選ぶ確率に等しいから $1/3$.
- ドアを変える人の場合は，最初にハズレを選ぶ確率に等しいから $2/3$.
この記事では，この考え方を詳しく説明します．
モンティ・ホール問題とは
Monty Hall problem (モンティ・ホール問題) とは，次の問題です．誤答されやすい問題として有名です．モンティ・ホール問題
- 1つの「当たり」のドアを含む，3つのドアがあります．
- あなたは好きなドアを1つ選びました．
- すると，出題者は「あなたが選ばなかった2つのドア」の中から「はずれのドア」を1つ教えた上で，あなたにドアを変更することを許しました．
- さて，「当たり」を引くために，あなたはドアを変更すべきでしょうか？
誤答例
出題者がドアの変更を許した時点での確率を考えると，残っているのは当たりとハズレ1つずつだから
「どちらも 1/2の確率」
この解答は「新たに得られた情報がハズレのドア1つだけ」という前提に立っています．つまり，あなたがはじめにドアを選んでいない問題であれば，正しい回答です．
しかし，この問題では，あなたがドアを一つ選んでいた事で得られたのは「ハズレのドア1つ」という情報だけでは無いのです．
解説（条件付き確率を使わない方法）
上で言及した，「ハズレのドア1つ」以外の情報とは，「出題者が，もう一方のドアを選ばなかったこと」です．なぜこれが重要な情報なのか，考えてみましょう．この問題では，
- あなたが最初に当たりを引く場合
- あなたが最初にハズレを引く場合
の2通りがあります．
それぞれの場合について整理すると，以下になります：
| あなた | 最初に当たりを引いた場合 | 最初にハズレれを引いた場合 |
|---|---|---|
| 出題者 | どちらのドアを選んでも良い | ハズレ(一方だけ)を選ばなければならない |
| 残ったドア | 確実にハズレ | 確実に当たり |
従って，この問題ではあなたが最初に当たりを引くか，ハズレを引くかだけ」で，出題者が選ばなかったドアの当たりハズレが決定してしまう (下図) のです！
上の議論から，簡単に確率を求めることができます．
| あなた | 最初に当たりを引いた場合 (確率：$\dfrac{1}{3}$) | 最初にハズレれを引いた場合 (確率：$\dfrac{2}{3}$) |
|---|---|---|
| 出題者 | どちらのドアを選んでも良い | ハズレ(一方だけ)を選ばなければならない |
| 残ったドア | 確実にハズレ | 確実に当たり |
この表から，
- 出題者が選ばなかったドアがハズレの確率 ＝ 最初に当たりを引く確率 ＝ $1/3$
- 出題者が選ばなかったドアが当たりの確率 ＝ 最初にハズレを引く確率 ＝ $2/3$
となることがわかります．
これより，以下の結論が得られます：
結論
当たりを引く確率は，
- ドアを変えない人の場合，最初に当たりを選ぶ確率に等しいから $1/3$.
- ドアを変える人の場合は，最初にハズレを選ぶ確率に等しいから $2/3$.