モンティ・ホール問題を条件付き確率なしで理解する


  • モンティ・ホール問題は,誤答しやすいことで知られる確率問題.
  • モンティ・ホール問題を簡単に解く方法を紹介する.


条件付き確率なしでモンティ・ホール問題を理解する方法を考察しました.

モンティ・ホール問題とは

Monty Hall problem (モンティ・ホール問題)とは,

モンティ・ホール問題
  • 1つの「当たり」のドアを含む,3つのドアがあります.
  • あなたは好きなドアを1つ選びました.
  • すると,出題者は「あなたが選ばなかった2つのドア」の中から「はずれのドア」を1つ教えた上で,あなたにドアを変更することを許しました.
  • さて,「当たり」を引くために,あなたはドアを変更すべきでしょうか?

というもの.

誤答されやすい問題として有名です.

誤答例

出題者がドアの変更を許した時点での確率を考えると,残っているのは当たりとハズレ1つずつだから
「どちらも 1/2の確率」

この解答は「新たに得られた情報がハズレのドア1つだけ」という前提に立っています.つまり,あなたがはじめにドアを選んでいない問題であれば,正しい回答です.

しかし,この問題では,あなたがドアを一つ選んでいた事で得られたのは「ハズレのドア1つ」という情報だけでは無いのです.

解説(条件付き確率を使わない方法)


上で言及した,「ハズレのドア1つ」以外の情報とは,「出題者が,もう一方のドアを選ばなかったこと」です.なぜこれが重要な情報なのか,考えてみましょう.


この問題では,

  1. あなたが最初に当たりを引く場合
  2. あなたが最初にハズレを引く場合

の2通りがあります.

それぞれの場合について整理すると,以下になります:

あなた 最初に当たりを引いた場合 最初にハズレれを引いた場合
出題者 どちらのドアを選んでも良い ハズレ(一方だけ)を選ばなければならない
残ったドア 確実にハズレ 確実に当たり

従って,この問題ではあなたが最初に当たりを引くか,ハズレを引くかだけ」で,出題者が選ばなかったドアの当たりハズレが決定してしまう (下図) のです!

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上の議論から,簡単に確率を求めることができます.

あなた 最初に当たりを引いた場合 (確率:$\dfrac{1}{3}$) 最初にハズレれを引いた場合 (確率:$\dfrac{2}{3}$)
出題者 どちらのドアを選んでも良い ハズレ(一方だけ)を選ばなければならない
残ったドア 確実にハズレ 確実に当たり

この表から,

  • 出題者が選ばなかったドアがハズレの確率 = 最初に当たりを引く確率 = $\dfrac{1}{3}$
  • 出題者が選ばなかったドアが当たりの確率 = 最初にハズレを引く確率 = $\dfrac{2}{3}$

となることがわかります.


これより,以下の結論が得られます:

結論
当たりを引く確率は,
  1. ドアを変えない人の場合,最初に当たりを選ぶ確率に等しいから $1/3$.
  2. ドアを変える人の場合は,最初にハズレを選ぶ確率に等しいから $2/3$.
よって,「ドアを変更すべき」.

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