光のドップラー効果

波数ベクトルの変換則から求める
参考文献

波数ベクトルの変換則から求める

音のドップラー効果と同じように考える．
➡音のドップラー効果をガリレイ変換で考える - Notes_JP

波の伝播方向を向く単位ベクトルを$\hat{\bm{k}}$とし，波数ベクトル

\begin{aligned}
\bm{k} = \frac{\omega}{c} \hat{\bm{k}}
\end{aligned}

を定義する．このとき，

\begin{aligned}
k^{\mu} = (\omega/c, \bm{k})
\end{aligned}

を考えると，これは4元ベクトルとなる．実際，4元ベクトル$x^{\mu} = (ct, \bm{x})$との縮約で得られる

\begin{aligned}
k_{\mu} x^{\mu} = \omega t - \bm{k} \cdot \bm{x}
\end{aligned}

は「波の位相」でスカラーであるから，$k^{\mu} $は4元ベクトルである．

波数ベクトルの定義より，

\begin{aligned}
|\bm{k}|
= \frac{\omega_{\mathrm{o}}}{c}
=k^{0}
\end{aligned}

あるいは

\begin{aligned}
k_{\mu} k^{\mu} = 0
\end{aligned}

が成り立つ．

観測者の慣性系（$K_{\mathrm{o}}$）に対し，光源の慣性系（$K_{\mathrm{s}}$）が速度$v$で運動しているとする．4元ベクトルの変換則$k_{\mathrm{s}}^{~~\mu} = \Lambda^{\mu}_{~~\nu} k_{\mathrm{o}}^{~~\nu}$から，

\begin{aligned}
k_{\mathrm{s}}^{~~0}
&= \gamma \bigl(k_{\mathrm{o}}^{~~0} - \beta k_{\mathrm{o}}^{~~1} \bigr)
\end{aligned}

となる（$\beta = v/c$，$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}$）．

$K_{\mathrm{o}}$系でみた「光源の運動方向」と「光源から観測者へ向かう方向」のなす角を$\alpha$とすると

\begin{aligned}
k_{\mathrm{o}}^{~~1}
= |\bm{k}_{\mathrm{o}}|\cos\alpha
= k_{\mathrm{o}}^{~~0} \cos\alpha
\end{aligned}

であるから，

\begin{aligned}
\frac{\omega_{\mathrm{s}}}{c}
&= k_{\mathrm{o}}^{~~0} \gamma ( 1 - \beta \cos\alpha) \\
&= \frac{\omega_{\mathrm{o}}}{c} \gamma ( 1 - \beta \cos\alpha).
\end{aligned}

したがって，観測者にとっての角振動数は

\begin{aligned}
\omega_{\mathrm{o}}
&= \frac{1/\gamma}{1 - \beta \cos\alpha} \omega_{\mathrm{s}} \\
&= \frac{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}}{1 - (v/c) \cos\alpha} \omega_{\mathrm{s}}
\end{aligned}

である．