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座標軸の回転と変換則

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POINT

  • 座標軸を回転させるとき，「基底は同じ方向に回転」し，「ベクトルは逆方向に回転」する．
  • 基底の変換則，ベクトルの変換則を導く．

結果をまとめておきます（$R(\theta)$は回転行列）．

変換則
(ベクトル表記)		 変換則
(成分表記)
基底 $\boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = R(\theta) \boldsymbol{e}_{i}$ $\displaystyle \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = \sum_{j} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j}$
ベクトル $\boldsymbol{v}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{v}$ $\displaystyle v_{i}^{\prime} = \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}$
ベクトル場 $\boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$
$(\boldsymbol{x}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$		 $\displaystyle v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})$
$(\boldsymbol{x}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$
【注】この記事で，$R(\theta)$が回転行列であることは（図以外では）使っていません．「$\boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = R(\theta) \boldsymbol{e}_{i}$」が成り立つのは，$\{\boldsymbol{e}_{i}\}_{i}$が$i$軸方向の単位ベクトルのときだけですが，その他の式は一般の座標変換，基底でもそのまま成立します．

【関連記事】

基底の変換則

座標軸の回転
座標軸の回転．【左】座標軸を$\theta$回転させると，ベクトルは$-\theta$回転する．【右】座標軸を$\theta$回転させると，基底ベクトルは$\theta$回転する．

基底の変換則
座標軸を反時計回りにベクトルを$\theta$回転させたときに基底$\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\}$が$\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}\}$に変換されるとする．

反時計回りにベクトルを$\theta$回転させる回転行列を$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}$で表すと，基底の間の関係は

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j} \\
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)^{-1}]_{ji}
\boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
となる．
【説明】
基底は$\theta$回転しているので
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{e}_{1}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{1} \\
\, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{2}
\end{cases}
\end{aligned}
と変換する．これはまとめて
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=R(\theta) \boldsymbol{e}_{i} \\
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
と表わせる（*1）．

この式に$[R(\theta)^{-1}]_{ik}$を掛けて$i$についての和を取ると

\begin{aligned}
\sum_{i=1,2}[R(\theta)^{-1}]_{ik} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ji}[R(\theta)^{-1}]_{ik}}^{=\delta_{jk}}
\boldsymbol{e}_{j} \\
&=\boldsymbol{e}_{k}
\end{aligned}
がわかる．//

ベクトルの回転

ベクトルの回転
座標軸の回転．【左】座標軸を$\theta$回転させると，ベクトルは$-\theta$回転する．【右】ベクトルの成分$\begin{pmatrix} v_{1}^{\prime} \\ v_{2}^{\prime}\end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2}\end{pmatrix}$を「座標軸を固定して」$-\theta$回転させたものだと見ることができる（【説明2】の方法）．

ベクトルの成分の変換則
座標軸を反時計回りにベクトルを$\theta$回転させたときに基底$\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\}$が$\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}\}$に変換され，
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}^{\prime} \boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{aligned}
となるとする（上図【右】）．

反時計回りにベクトルを$\theta$回転させる回転行列を$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}$で表すと，ベクトルの成分の間の関係式は

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}\\
\, \displaystyle
v_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)]_{ij}
v_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
となる．
【説明1】
上で得られた基底の変換則から
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}
\Biggl(\sum_{i=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} \Biggr) \\
&=\sum_{i=1,2}
\Biggl(\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j} \Biggr)
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
\end{aligned}
だから，$\displaystyle \boldsymbol{v}=\sum_{j=1,2} v_{j}^{\prime} \boldsymbol{e}_{j}^{\prime}$と比較して
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
であることがわかる．

この両辺に$[R(\theta)]_{ki}$を掛けて$i$についての和を取ると

\begin{aligned}
\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} [R(\theta)^{-1}]_{ij}}^{=\delta_{kj}}
v_{j} \\
&=v_{k}
\end{aligned}
となる．//

【説明2】
座標軸を反時計回りに$\theta$回転させると，ベクトル$\boldsymbol{v}$は反時計回りに$-\theta$回転することになる．これは，式で表せば

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
v_{1}^{\prime} \\
v_{2}^{\prime}
\end{pmatrix}
&=R(-\theta)
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}\\
&=R(\theta)^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
である．この各成分は
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
である．逆変換の式も同じように求めることができる．//

ベクトル場の回転

上の結果から，ベクトル場$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$（各点$\boldsymbol{x}$にベクトル$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$を対応させる関数）の変換則がわかります．

点$\boldsymbol{x}$にあるベクトルは，新しい座標系では点$\boldsymbol{x}^{\prime}= R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$のベクトルになることに注意しましょう．

ベクトル場の変換則
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})
&= \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}

一般化

上の議論を$R(\theta)$ではなく，一般の座標変換$M=(m_{ij})$に置き換えれば，そのまま成り立ちます．つまり，
変換則
基底 $\displaystyle \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = \sum_{j} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}$
ベクトル $\boldsymbol{v}^{\prime} = M^{-1} \boldsymbol{v}$
$\displaystyle v_{i}^{\prime} = \sum_{j} [M^{-1}]_{ij} v_{j}$
ベクトル場 $\boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = M^{-1} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$
$\displaystyle v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = \sum_{j} [M^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})$
$(\boldsymbol{x}^{\prime} = M^{-1} \boldsymbol{x})$

これまでの$R(\theta)$を$M$で置き換えただけですが，もう一度整理してみます．
【説明】
基底$\{\boldsymbol{e}_{1},...,\boldsymbol{e}_{n}\}$から基底$\{\boldsymbol{e}^{\prime}_{1},...,\boldsymbol{e}^{\prime}_{n}\}$への変換を$M=(m_{ij})$を用いて

\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
&=\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
とすると，ベクトル
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i} \boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
\end{aligned}
の成分を縦に並べたベクトル
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}^{\prime}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i}^{\prime} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
に対して
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
=M^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
が成り立ちます．これは，
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \\
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i}
\underset
{\substack{|| \\ \\ \!\!\!\! \mathrlap{\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}}}}
{\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}}
= \sum_{j=1}^{n} \biggl(\sum_{i=1}^{n} m_{ji}v^{\prime}_{i}\biggr) \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
から簡単にわかります．また，参考文献[1] 命題2.3.7に対応する内容があります．//

参考文献

*1:単位ベクトル

\begin{aligned} e_i= \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) (i~~~ \end{aligned}
を使うと，行列$M=(m_{ij})$が
\begin{aligned} M=(Me_1,...,Me_n) \end{aligned}
と表せることを使っています（関連記事[A]を参照）．これは，$\displaystyle Me_{i}=\sum_{j} m_{ji} e_{j}$を意味しています．

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