POINT
- 座標軸を回転させるとき，「基底は同じ方向に回転」し，「ベクトルは逆方向に回転」する．
- 基底の変換則，ベクトルの変換則を導く．
結果をまとめておきます（$R(\theta)$は回転行列）．
| 変換則 (ベクトル表記) |
変換則 (成分表記) |
|
|---|---|---|
| 基底 | $\boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = R(\theta) \boldsymbol{e}_{i}$ | $\displaystyle \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = \sum_{j} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j}$ |
| ベクトル | $\boldsymbol{v}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{v}$ | $\displaystyle v_{i}^{\prime} = \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}$ |
| ベクトル場 | $\boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$ $(\boldsymbol{x}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$ |
$\displaystyle v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})$ $(\boldsymbol{x}^{\prime} = R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$ |
【関連記事】
- [A]回転行列の表式と導出（2次元・3次元） - Notes_JP：ベクトルを回転させる議論はこちら．
- [B]反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する - Notes_JP：この記事の議論を一般化すると，テンソルの座標変換になります．
基底の変換則
基底の変換則
座標軸を反時計回りにベクトルを$\theta$回転させたときに基底$\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\}$が$\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}\}$に変換されるとする．
【説明】反時計回りにベクトルを$\theta$回転させる回転行列を$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}$で表すと，基底の間の関係は
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j} \\
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)^{-1}]_{ji}
\boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
となる．\begin{cases}
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j} \\
\, \displaystyle
\boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)^{-1}]_{ji}
\boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
基底は$\theta$回転しているので
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{e}_{1}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{1} \\
\, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{2}
\end{cases}
\end{aligned}
と変換する．これはまとめて\begin{cases}
\, \boldsymbol{e}_{1}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{1} \\
\, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}=R(\theta) \boldsymbol{e}_{2}
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=R(\theta) \boldsymbol{e}_{i} \\
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
と表わせる（*1）．\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=R(\theta) \boldsymbol{e}_{i} \\
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)]_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
この式に$[R(\theta)^{-1}]_{ik}$を掛けて$i$についての和を取ると
\begin{aligned}
\sum_{i=1,2}[R(\theta)^{-1}]_{ik} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ji}[R(\theta)^{-1}]_{ik}}^{=\delta_{jk}}
\boldsymbol{e}_{j} \\
&=\boldsymbol{e}_{k}
\end{aligned}
がわかる．//\sum_{i=1,2}[R(\theta)^{-1}]_{ik} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ji}[R(\theta)^{-1}]_{ik}}^{=\delta_{jk}}
\boldsymbol{e}_{j} \\
&=\boldsymbol{e}_{k}
\end{aligned}
ベクトルの回転
ベクトルの成分の変換則
座標軸を反時計回りにベクトルを$\theta$回転させたときに基底$\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\}$が$\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}\}$に変換され，
【説明1】\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}^{\prime} \boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{aligned}
となるとする（上図【右】）．\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}^{\prime} \boldsymbol{e}_{j}^{\prime}
\end{aligned}
反時計回りにベクトルを$\theta$回転させる回転行列を$R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}$で表すと，ベクトルの成分の間の関係式は
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}\\
\, \displaystyle
v_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)]_{ij}
v_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
となる．\begin{cases}
\, \displaystyle
v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}\\
\, \displaystyle
v_{i}
=\sum_{j=1,2}
[R(\theta)]_{ij}
v_{j}^{\prime}
\end{cases}
\end{aligned}
上で得られた基底の変換則から
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}
\Biggl(\sum_{i=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} \Biggr) \\
&=\sum_{i=1,2}
\Biggl(\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j} \Biggr)
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
\end{aligned}
だから，$\displaystyle \boldsymbol{v}=\sum_{j=1,2} v_{j}^{\prime} \boldsymbol{e}_{j}^{\prime}$と比較して\boldsymbol{v}
&=\sum_{j=1,2} v_{j} \boldsymbol{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1,2} v_{j}
\Biggl(\sum_{i=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} \Biggr) \\
&=\sum_{i=1,2}
\Biggl(\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j} \Biggr)
\boldsymbol{e}_{i}^{\prime}
\end{aligned}
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
であることがわかる．v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
この両辺に$[R(\theta)]_{ki}$を掛けて$i$についての和を取ると
\begin{aligned}
\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} [R(\theta)^{-1}]_{ij}}^{=\delta_{kj}}
v_{j} \\
&=v_{k}
\end{aligned}
となる．//\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} v_{i}^{\prime}
&=\sum_{j=1,2}
\overbrace{\sum_{i=1,2} [R(\theta)]_{ki} [R(\theta)^{-1}]_{ij}}^{=\delta_{kj}}
v_{j} \\
&=v_{k}
\end{aligned}
【説明2】
座標軸を反時計回りに$\theta$回転させると，ベクトル$\boldsymbol{v}$は反時計回りに$-\theta$回転することになる．これは，式で表せば
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
v_{1}^{\prime} \\
v_{2}^{\prime}
\end{pmatrix}
&=R(-\theta)
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}\\
&=R(\theta)^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
である．この各成分は\begin{pmatrix}
v_{1}^{\prime} \\
v_{2}^{\prime}
\end{pmatrix}
&=R(-\theta)
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}\\
&=R(\theta)^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1} \\
v_{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
である．逆変換の式も同じように求めることができる．//v_{i}^{\prime}
=\sum_{j=1,2} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}
\end{aligned}
ベクトル場の回転
上の結果から，ベクトル場$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$（各点$\boldsymbol{x}$にベクトル$\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$を対応させる関数）の変換則がわかります．点$\boldsymbol{x}$にあるベクトルは，新しい座標系では点$\boldsymbol{x}^{\prime}= R(\theta)^{-1} \boldsymbol{x})$のベクトルになることに注意しましょう．
ベクトル場の変換則
\begin{aligned}
v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})
&= \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})
&= \sum_{j} [R(\theta)^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
一般化
上の議論を$R(\theta)$ではなく，一般の座標変換$M=(m_{ij})$に置き換えれば，そのまま成り立ちます．つまり，| 変換則 | |
|---|---|
| 基底 | $\displaystyle \boldsymbol{e}_{i}^{\prime} = \sum_{j} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}$ |
| ベクトル | $\boldsymbol{v}^{\prime} = M^{-1} \boldsymbol{v}$ $\displaystyle v_{i}^{\prime} = \sum_{j} [M^{-1}]_{ij} v_{j}$ |
| ベクトル場 | $\boldsymbol{v}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = M^{-1} \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x})$ $\displaystyle v_{i}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime}) = \sum_{j} [M^{-1}]_{ij} v_{j}(\boldsymbol{x})$ $(\boldsymbol{x}^{\prime} = M^{-1} \boldsymbol{x})$ |
これまでの$R(\theta)$を$M$で置き換えただけですが，もう一度整理してみます．
【説明】
基底$\{\boldsymbol{e}_{1},...,\boldsymbol{e}_{n}\}$から基底$\{\boldsymbol{e}^{\prime}_{1},...,\boldsymbol{e}^{\prime}_{n}\}$への変換を$M=(m_{ij})$を用いて
\begin{aligned}
\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
&=\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
とすると，ベクトル\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
&=\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i} \boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
\end{aligned}
の成分を縦に並べたベクトル\boldsymbol{v}
=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i} \boldsymbol{e}^{\prime}_{i}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}^{\prime}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i}^{\prime} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
に対して\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix} \\
\boldsymbol{v}^{\prime}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i}^{\prime} \boldsymbol{e}_{i}
=
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
=M^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
が成り立ちます．これは，\begin{pmatrix}
v^{\prime}_{1}\\
\vdots \\
v^{\prime}_{n}
\end{pmatrix}
=M^{-1}
\begin{pmatrix}
v_{1}\\
\vdots \\
v_{n}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \\
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i}
\underset
{\substack{|| \\ \\ \!\!\!\! \mathrlap{\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}}}}
{\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}}
= \sum_{j=1}^{n} \biggl(\sum_{i=1}^{n} m_{ji}v^{\prime}_{i}\biggr) \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
から簡単にわかります．また，参考文献[1] 命題2.3.7に対応する内容があります．//\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v_{i} \boldsymbol{e}_{i} \\
\boldsymbol{v}
&=\sum_{i=1}^{n}v^{\prime}_{i}
\underset
{\substack{|| \\ \\ \!\!\!\! \mathrlap{\sum_{j=1}^{n} m_{ji} \boldsymbol{e}_{j}}}}
{\boldsymbol{e}^{\prime}_{i}}
= \sum_{j=1}^{n} \biggl(\sum_{i=1}^{n} m_{ji}v^{\prime}_{i}\biggr) \boldsymbol{e}_{j}
\end{aligned}
参考文献
- [1]線形代数の世界―抽象数学の入り口 (斎藤 毅)：$\S 2.3$ 行列表示
*1:単位ベクトル
\begin{aligned}
e_i=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\\
\vdots \\
0
\end{array}
\right)
(i~~~
\end{aligned}を使うと，行列$M=(m_{ij})$が
\begin{aligned}
M=(Me_1,...,Me_n)
\end{aligned}と表せることを使っています（関連記事[A]を参照）．これは，$\displaystyle Me_{i}=\sum_{j} m_{ji} e_{j}$を意味しています．
