無限小回転と軌道角運動量演算子

スカラー場

座標回転$\bm{x} \mapsto \bm{x}^{\prime} = R\bm{x}$に対して，$f\mapsto f^{\prime}$が以下のように変換するとき，$f$をスカラー場という．

\begin{aligned}
f: & \bm{x} \mapsto f(\bm{x}) \\
f^{\prime}: & \bm{x}^{\prime} = R\bm{x} \mapsto f(\bm{x})
\end{aligned}

つまり，$\bm{x}$と同一の点$\bm{x}^{\prime} = R\bm{x}$に対し，同じ値$f(\bm{x})$が対応するように変換する場である．

スカラー場の無限小回転

スカラー場の無限小回転を考える．回転後の座標$\bm{x}$におけるスカラー場の値$f^{\prime}(\bm{x})$を，座標回転前に同じ座標の名前がついていた点における座標回転前のスカラー場の値$f(\bm{x})$で表してみる（※座標回転前後で$\bm{x}$と$R\bm{x}$が同一地点の点を表すから，座標回転前後で$\bm{x}$は空間の異なる点を表している）．

この記事（➡無限小回転から任意の回転へ - Notes_JP）の無限小回転の記法を使えば，

\begin{aligned}
f^{\prime} (\bm{x})
&= f(R^{-1}\bm{x}) \\
&\simeq f(\bm{x} - \bm{\omega}\Delta t \times\bm{x}) \\
&\simeq f(\bm{x}) - \partial_{i}f(\bm{x}) \cdot \epsilon_{ijk} \omega_{j} x_{k} \Delta t \\
&= \biggl[1 + (\bm{\omega} \Delta t) \cdot (\bm{x}\times \bm{\nabla}) \biggr] f(\bm{x}) \tag{1}
\end{aligned}

したがって，座標の無限小回転を行った際に，$f$から$f^{\prime}$を得る演算子

\begin{aligned}
U = 1 + (\bm{\omega} \Delta t) \cdot (\bm{x}\times \bm{\nabla})
\end{aligned}

を得る．この式は，量子力学の軌道角運動量演算子

\begin{aligned}
\bm{L} = \bm{x}\times \frac{\hbar}{i}\bm{\nabla}
\end{aligned}

を使えば，

\begin{aligned}
U = 1 + \frac{i}{\hbar}(\bm{\omega} \Delta t) \cdot \bm{L}
\end{aligned}

と表すこともできる．

式(1)を変形すると

\begin{aligned}
\lim_{\Delta t\to 0} \frac{f^{\prime} (\bm{x}) - f(\bm{x})}{\Delta t}
&= \bm{\omega} \cdot (\bm{x}\times \bm{\nabla}) f(\bm{x}) \\
&= \frac{i}{\hbar} \bm{\omega} \cdot \bm{L} f(\bm{x})
\end{aligned}

となる．

回転行列は$R = \exp(tA)$と表せる（➡無限小回転から任意の回転へ - Notes_JP）から$f^{\prime} (\bm{x})= f(R^{-1}\bm{x})=f(\exp(-tA) \bm{x})$となるので，上式は

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(\exp(-tA) \bm{x}) \biggl |_{t=0}
&= \bm{\omega} \cdot (\bm{x}\times \bm{\nabla}) f(\bm{x}) \\
&= \frac{i}{\hbar} \bm{\omega} \cdot \bm{L} f(\bm{x})
\end{aligned}

を表している．

参考文献

物理数学シリーズ 1　 物理と行列：$\text{\sect}4.2$
岩波講座 物理の世界 物の理 数の理〈5〉数学から見た量子力学：$\text{\sect}2.4$