Lambのストークス近似の解(定常,非圧縮)

POINT

  • ストークス近似の解を,Lamb Hydrodynamics の方法で導出する.
  • この解を用いて,球の周りの流れ,球に働く力を計算できる.

関連記事[A]の問題の下準備にあたる記事です.
【関連記事】

斉次方程式

後で考える「$\boldsymbol{\nabla}p$が現れる方程式」を,非斉次方程式とみなします(参考文献[3] $\S 69.$ N. 1. ).
斉次方程式
方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \Delta \boldsymbol{u}=0 \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases} \tag{1}
\end{aligned}
の解は,任意の調和関数$\phi, \chi$($\Delta \phi = \Delta \chi = 0$)を用いて
\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&= \boldsymbol{\nabla} \phi (\boldsymbol{r})
+ \boldsymbol{\nabla} \chi (\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{r}
\tag{2}
\end{aligned}
で与えられる.
【導出】
まず,$(2)$の形で表される任意の$\boldsymbol{u}$が$(1)$を満たすことを示す.これは,
\begin{aligned}
\Delta u_{i}
&=\partial_{i} \Delta \phi
+\epsilon_{ijk}
\overbrace{\partial_{l}\partial_{l} (\partial_{j} \chi \cdot x_{k})}
^{\mathrlap{=\partial_{j}(\Delta \chi) + 2\partial_{j} \partial_{k} \chi}} \\
&=0 \\
\mathrm{div\,} \boldsymbol{u}
&=\Delta \phi
+ \epsilon_{ijk}
\overbrace{\partial_{i} (\partial_{j}\chi \cdot x_{k})}
^{\mathrlap{= (\partial_{i}\partial_{j}\chi) x_{k}
+ (\partial_{j}\chi) \delta_{ik}}} \\
&=0
\end{aligned}
と示される.



次に,$(1)$の解$\boldsymbol{u}$が$(2)$の形に表されることを示す.$\boldsymbol{\omega}=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{u}$とすると
\begin{aligned}
\mathrm{rot\,} \boldsymbol{\omega}
&=\mathrm{rot\,} \mathrm{rot\,} \boldsymbol{u} \\
&=\mathrm{grad\,} \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}
- \Delta \boldsymbol{u} \\
&=0
\end{aligned}
なので$\chi$が存在して
\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega}
=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{u}
&=\mathrm{grad\,} \chi
\end{aligned}
と表すことができる.ここで,$\chi$は
\begin{aligned}
\Delta \chi
&=\mathrm{div\,} \mathrm{grad\,} \chi \\
&=\mathrm{div\,} \mathrm{rot\,} \boldsymbol{u} \\
&=0
\end{aligned}
を満たす.

\begin{aligned}
\mathrm{grad\,} \chi \times \boldsymbol{r}
&=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{r} \\
&=[\epsilon_{ijk} (\epsilon_{jlm} \partial_{l} u_{m}) x_{k}]_{i} \\
&=[-(\delta_{il}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{kl}) (\partial_{l} u_{m}) x_{k}]_{i} \\
&=[-\underbrace{(\partial_{i} u_{k}) x_{k}}_{\partial_{i} (u_{k}x_{k}) - u_{i}}
+ (\partial_{k} u_{i}) x_{k}]_{i} \\
&=-\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}) + \boldsymbol{u}
+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{u}
\end{aligned}

ここで,$\phi=\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}$に対し

\begin{aligned}
\Delta\phi
&=\partial_{i} \partial_{i} (x_{j} u_{j}) \\
&=2(\partial_{i} x_{j}) (\partial_{i} u_{j}) + x_{j} (\partial_{i}\partial_{i} u_{j}) \\
&=2\mathrm{div\,} \boldsymbol{u} + \boldsymbol{x}\cdot (\Delta \boldsymbol{u}) \\
&=0
\end{aligned}
である.


$\Delta f=0$を満たす関数は.$r$の次数ごとの和

\begin{aligned}
&f(\boldsymbol{r})
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{n}(\boldsymbol{r}) \\
&(f_{n}(\boldsymbol{r})
= r^{n} \times (\theta,\varphi\text{の関数}),\;
\Delta f_{n}=0)
\end{aligned}
で表せる(文献[1] $\S 81$や,関連記事[B]).$f_{n}$は「$n$次の体球調和関数 (solid harmonic) 」と呼ばれる(関連記事[C]).


$\Delta\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})=0$は$\Delta u_{x}=\Delta u_{y}=\Delta u_{z}=0$を意味するから,$r$の次数ごとの和

\begin{aligned}
&\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
=\sum_{n} \boldsymbol{u}_{n} (\boldsymbol{r}) \\
&(\boldsymbol{u}_{n}(\boldsymbol{r})
= r^{n} \times (\theta,\varphi\text{の関数}),\;
\Delta \boldsymbol{u}_{n}=0)
\end{aligned}
で表せる.

$\boldsymbol{u}_{n}$は$\boldsymbol{u}$と同じ方程式を満たすため,

\begin{aligned}
& \boldsymbol{u}_{n}
+(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{u}_{n}
=\boldsymbol{\nabla}\phi_{n+1}
+ \mathrm{grad\,} \chi_{n} \times \boldsymbol{r} \\
&
\begin{cases}
\, \phi_{n+1} = \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}_{n}
,\; \Delta \phi_{n+1}=0 \\
\, \mathrm{grad\,} \chi_{n} = \mathrm{rot\,} \boldsymbol{u}_{n}
,\; \Delta \chi_{n}=0
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つ.ここで,$\boldsymbol{u}_{n} (\boldsymbol{r})=r^{n} \boldsymbol{u}_{n} (\theta,\varphi)$という形なので
\begin{aligned}
(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{u}_{n}
&=r \frac{\partial r^{n}}{\partial r} \boldsymbol{u}_{n} (\theta,\varphi) \\
&=n \boldsymbol{u}_{n} (\boldsymbol{r})
\end{aligned}
だから,
\begin{aligned}
\boldsymbol{u}_{n} (\boldsymbol{r})
&=\frac{1}{n+1}
[\boldsymbol{\nabla} \phi_{n+1}
+ \boldsymbol{\nabla} \chi_{n} \times \boldsymbol{r} ]
\end{aligned}
となる.

ここで,$\boldsymbol{u}_{n}$を

\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&=\sum_{n} (n+1) \boldsymbol{u}_{n} (\boldsymbol{r})
\end{aligned}
で定義しなおせば$1/(n+1)$は消えるから
\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&=\sum_{n} [ \boldsymbol{\nabla} \phi_{n+1}
+ \boldsymbol{\nabla} \chi_{n} \times \boldsymbol{r} ] \\
&=\boldsymbol{\nabla} \phi
+ \boldsymbol{\nabla} \chi \times \boldsymbol{r}
\end{aligned}
となる($\displaystyle \phi=\sum_{n}\phi_{n}, \chi=\sum_{n}\chi_{n}$).//

ストークス近似の解(定常,非圧縮)

「$\boldsymbol{\nabla}p$が現れる方程式」を,非斉次方程式とみなします(参考文献[3] $\S 69.$ N. 1. ).

一般論
方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases} \tag{3}
\end{aligned}
の解は,任意の調和関数$\phi, \chi$($\Delta \phi = \Delta \chi = 0$)を用いて
\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&= \bigl[ \boldsymbol{\nabla} \phi
+ \boldsymbol{\nabla} \chi \times \boldsymbol{r} \bigr] \\
&\quad
+\frac{1}{\mu} \sum_{n}
\biggl[ \alpha_{n} r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+\beta_{n} r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr) \biggr] \\
&\begin{cases}
\displaystyle \, \alpha_{n}=\frac{1}{2(2n+1)} \\
\displaystyle \, \beta_{n}=\frac{n}{(n+1)(2n+1)(2n+3)}
\end{cases}
\end{aligned}
で与えられる.ここで,$p_{n}$は$n$次の体球調和関数である(【補足】参照).
【補足】
考えている2つの方程式から
\begin{aligned}
\Delta p
&=\mu\Delta (\mathrm{div\,}\boldsymbol{u})
=0
\end{aligned}
がわかる.よって,$p$は$r$の次数ごとの和
\begin{aligned}
&p (\boldsymbol{r})
=\sum_{n} p_{n} (\boldsymbol{r}) \\
&(p_{n}(\boldsymbol{r})
= r^{n} \times (\theta,\varphi\text{の関数}),\;
\Delta p_{n}=0)
\end{aligned}
で表せる.つまり,$p_{n}$は$n$次の体球調和関数であり,$\Delta (r^{-(2n+1)}p_{n} )=0$も成立する(関連記事[C]).以下では,「$\theta,\varphi$の関数($n$次の球面調和関数)」を$Y_{n}(\theta,\varphi)$と書く.

【導出】
解を

\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&=\frac{1}{\mu}
\biggl[ A r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+B r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr) \biggr]
\end{aligned}
の形で仮定し,方程式$(3)$を満たすような係数$A,B$を見つけることを考える.

ここで,$n$次の体球調和関数$f_{n}(\boldsymbol{r})=r^{n} Y_{n}(\theta,\varphi)$に対して

\begin{aligned}
& \Delta f_{n}(\boldsymbol{r}) = 0\\
&(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{\nabla}) f_{n}(\boldsymbol{r})
= r \frac{\partial f_{n}}{\partial r}(\boldsymbol{r})
=n f_{n}(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
が成り立つことに注意すれば,見通しよく計算できる.そこで,体球調和関数となる表式を整理しておく.
【体球調和関数の一覧】
関数 次数 理由
$p_{n}$ $n$ 展開時の前提から
\begin{aligned} &p_{n}(\boldsymbol{r})=r^{n} Y_{n}(\theta,\varphi)\\ & \Delta p_{n} = 0\end{aligned}
$\boldsymbol{\nabla} p_{n}$ $n-1$
\begin{aligned} \frac{\partial p_{n}}{\partial x_{i}}&=\frac{\partial p_{n}}{\partial r} \overbrace{\frac{\partial r}{\partial x_{i}}}^{\mathrlap{\text{($\theta,\varphi$の関数)}}} \\ &=r^{n-1} \cdot \text{($\theta,\varphi$の関数)} \\ \Delta (\boldsymbol{\nabla} p_{n}) &= \boldsymbol{\nabla} (\Delta p_{n})=0\end{aligned}
$r^{-(2n+1)} p_{n}$ $-(n+1)$
\begin{aligned} &r^{-(2n+1)} p_{n} = r^{-(n+1)} Y_{n}(\theta,\varphi) \\ &\Delta p_{n} = 0 \Rightarrow \Delta (r^{-(2n+1)}p_{n} )=0 \;\text{(関連記事[C])} \end{aligned}
$\boldsymbol{\nabla}( r^{-(2n+1)} p_{n}) $ $-(n+2)$ 以下と同じロジック:
$p_{n}$が$n$次の体球調和関数
$\Rightarrow \boldsymbol{\nabla} p_{n}$が$n-1$次の体球調和関数
$r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla}( r^{-(2n+1)} p_{n}) $ $n+1$ 以下と同じロジック ($n\to -(n+2)$):
$p_{n}$が$n$次の体球調和関数
$\Rightarrow r^{-(2n+1)} p_{n}$が$-(n+1)$次の体球調和関数

また,計算の際

\begin{aligned}
&\boldsymbol{\nabla} r^{k}
=\frac{\partial r^{k}}{\partial r}
\overbrace{\boldsymbol{\nabla} r}^{=\boldsymbol{r}/r}
=kr^{k-2} \boldsymbol{r} \\
&(\Delta r^{k})
=\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r\cdot r^{k})
=k(k+1) r^{k-2}
\end{aligned}
を用いる.

仮定した解を方程式$(3)$に代入し計算すると,

\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}p_{n}
&=\mu\Delta \boldsymbol{u} \\
&=A \Delta(r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n})
+B \cancel{\Delta \bigl[r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} (r^{-(2n+1)} p_{n}) \bigr] }\\
&=A
\Bigl[ \underbrace{\Delta r^{2}}_{=6} \cdot \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+ 2 (\underbrace{\boldsymbol{\nabla} r^{2}}_{=2\boldsymbol{r}}
\cdot \boldsymbol{\nabla}) (\boldsymbol{\nabla}p_{n})
+r^{2}\cancel{\Delta p_{n}}
\Bigr] \\
&=A[6+4(n-1)] \boldsymbol{\nabla}p_{n} \\
&= 2(2n+1)A \boldsymbol{\nabla}p_{n}\\
0&=\mu \mathrm{div\,} \boldsymbol{u} \\
&=A [\underbrace{\boldsymbol{\nabla}r^{2}}_{=2\boldsymbol{r}}
\cdot \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+ r^{2} \cancel{\Delta p_{n}} ] \\
&\quad
+B \biggl[\underbrace{\overbrace{\boldsymbol{\nabla}r^{2n+3}}
^{\mathrlap{=(2n+3)r^{2n+1}\boldsymbol{r}}}
\cdot \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr)}
_{\mathrlap{=(2n+3)r^{2n+1} \cdot [-(n+1)(p_{n}/r^{2n+1}) ]}}
+r^{2n+3} \cancel{\Delta \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr)} \biggr] \\
&=[2nA - (n+1)(2n+3)B]p_{n}
\end{aligned}
である.よって,
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, 2(2n+1)A =1 \\
\, 2nA - (n+1)(2n+3)B =0
\end{cases}
\end{aligned}
だから,
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle A = \frac{1}{2(2n+1)} \\
\,\displaystyle B = \frac{n}{(n+1)(2n+1)(2n+3)}
\end{cases}
\end{aligned}
となる.//

解の性質

境界条件を考える際に便利な表式を導きます.

ただし,$f=\phi, \chi$が$\Delta f=0$を満たすことから,体球調和関数の和

\begin{aligned}
&f(\boldsymbol{r})
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{n}(\boldsymbol{r}) \\
&(f_{n}(\boldsymbol{r})= r^{n} Y_{n}(\theta,\varphi) )
\end{aligned}
で表し($f_{n}=\phi_{n}, \chi_{n}$,$\Delta f_{n}=0$),上で導いた解を
\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&=\sum_{n}
\biggl\{
\bigl[ \boldsymbol{\nabla} \phi_{n}(\boldsymbol{r})
+ \boldsymbol{\nabla} \chi_{n}(\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{r} \bigr] \\
&\qquad
+ \frac{1}{\mu}\biggl[\alpha_{n} r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+\beta_{n} r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr) \biggr] \biggr\}
\end{aligned}
の形にしています.

解の性質
上の解$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$は
\begin{aligned}
&\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n} \biggl[n\phi_{n}(\boldsymbol{r})
+\frac{1}{\mu} \frac{n}{2(2n+3)} r^{2} p_{n} (\boldsymbol{r})
\biggr] \\
&\boldsymbol{r} \cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n} n(n+1) \chi_{n}(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
を満たす.
【導出】
解の導出の際に説明したように,$n$次の体球調和関数$f_{n}$に対し$(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{\nabla}) f_{n}(\boldsymbol{r})=n f_{n}(\boldsymbol{r})$が成り立つ.よって,
\begin{aligned}
(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \phi_{n}(\boldsymbol{r})
&=n \phi_{n}(\boldsymbol{r}) \\
(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}) p_{n} (\boldsymbol{r})
&=n p_{n} (\boldsymbol{r}) \\
(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \frac{p_{n} (\boldsymbol{r})}{r^{2n+1}}
&=-(n+1) \frac{p_{n} (\boldsymbol{r})}{r^{2n+1}}
\end{aligned}
なので,$\boldsymbol{r} \cdot (\boldsymbol{\nabla} \chi_{n} \times \boldsymbol{r})=0$と合わせて
\begin{aligned}
&\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n}
\biggl[n\phi_{n}(\boldsymbol{r})
+\frac{1}{\mu} \frac{(2n+3) - 2}{2(2n+1)(2n+3)} nr^{2} p_{n} (\boldsymbol{r}) \biggr] \\
&=\sum_{n}
\biggl[n\phi_{n}(\boldsymbol{r})
+ \frac{1}{\mu} \frac{nr^{2}}{2(2n+3)} p_{n} (\boldsymbol{r}) \biggr]
\end{aligned}
がわかる.

次に,

\begin{aligned}
&\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} \phi_{n}(\boldsymbol{r})
=0 \\
&\boldsymbol{\nabla} \times \bigl[\boldsymbol{\nabla} \chi_{n}(\boldsymbol{r}) \times \boldsymbol{r} \bigr] \\
&=\{\underbrace{\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}}
_{\mathrlap{=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}}}
\overbrace{\partial_{j} [(\partial_{l} \chi_{n}) x_{m}]}
^{\mathrlap{=(\partial_{j}\partial_{l} \chi_{n}) x_{m} + (\partial_{l} \chi_{n}) \delta_{jm}}} \}_{i} \\
&=[ \underbrace{(\partial_{j} \partial_{i} \chi_{n}) x_{j}}
_{\mathrlap{=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\nabla})\partial_{i} \chi_{n}
=(n-1) \partial_{i} \chi_{n} }}
-(\cancel{\Delta \chi_{n}} ) x_{i}
+ 2\partial_{i} \chi_{n} ]_{i} \\
&=(n+1) \boldsymbol{\nabla} \chi_{n}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\alpha_{n} r^{2} \boldsymbol{\nabla} p_{n}
+ \beta_{n} r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}} \biggr) \\
&=(\alpha_{n}+\beta_{n}) r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+\beta_{n} r^{2n+3}
\underbrace{\boldsymbol{\nabla} r^{-(2n+1)}}
_{\mathrlap{=-(2n+1)r^{-(2n+3)}\boldsymbol{r}}}
\cdot p_{n} \\
&=(\alpha_{n}+\beta_{n})r^{2} \boldsymbol{\nabla} p_{n}
- (2n+1) \beta_{n} p_{n} \boldsymbol{r} \\
&
\begin{cases}
\boldsymbol{\nabla} \times r^{2} \boldsymbol{\nabla} p_{n}
=\boldsymbol{\nabla}r^{2} \times \boldsymbol{\nabla} p_{n}
=2\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\nabla} p_{n} \\
\boldsymbol{\nabla} \times p_{n} \boldsymbol{r}
=\boldsymbol{\nabla} p_{n} \times \boldsymbol{r}
=- \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\nabla} p_{n}
\end{cases}
\end{aligned}
より,
\begin{aligned}
&\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n}
\biggl\{ (n+1) \boldsymbol{\nabla} \chi_{n} \\
& \qquad\qquad
+\frac{1}{\mu}
\underbrace{[2\alpha_{n} + (2n+3)\beta_{n} ]}
_{=\frac{(n+1) + n}{(n+1)(2n+1)}=\frac{1}{n+1}}
(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\nabla} p_{n})
\biggr\} \\
&=\sum_{n} \biggl[(n+1) \boldsymbol{\nabla} \chi_{n}
+\frac{1}{\mu} \frac{1}{n+1} (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\nabla} p_{n})
\biggr]
\end{aligned}
である.これより
\begin{aligned}
\boldsymbol{r} \cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&=\sum_{n} (n+1)
\overbrace{\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{\nabla} \chi_{n}(\boldsymbol{r})}
^{=n \chi_{n}} \\
&=\sum_{n} n(n+1) \chi_{n}(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
がわかる.//

参考文献