【読書メモ】スピンはめぐる（朝永振一郎）

POINT

• 読書メモ（作成中）．
• ロジックや計算の行間を補完します．

一般向けの本に見せかけて，数式がかなり出てきます．内容も「場の量子論」など，少し進んだトピックを含んでいるため，量子力学を学んだことがないと挫折してしまうかもしれません．量子力学の教科書と並行して読めば，相当モチベーションが上がると思います．あまり計算で悩まず，全体像を追うことに集中すると良いと思います．

各章の印象に残ったフレーズを引用しておきます．なるべく，この本の面白さが伝わるような箇所を選んでいるつもりです．

スピンはめぐる―成熟期の量子力学 新版

場の理論のもう少し簡単な解説書としては以下があります：
【読書メモ】素粒子論はなぜわかりにくいのか（吉田伸夫） - Notes_JP

素粒子論はなぜわかりにくいのか (知の扉)

第1話：夜明け前

【キーワード】

• ゼーマン効果
• 光る電子，芯の電子
• ゾンマーフェルト，ランデ，パウリ
• 代用モデル
• $g$因子

第2話：電子スピンとトーマス因子

とにかく，トーマスは電子の自転に対して古典的な相対論と，さらに古典的なコマの理論とを用い，それに対応原理をプラスすることによって正しい準位間隔を導いたのです．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【キーワード】

• 微細構造公式
• パウリの排他原理
• トーマス因子
• スピン

第3話：パウリのスピン理論とディラック理論

このようにしてディラックは，相対論と変換理論との要請だけから出発し，何のad hocな仮定も用いずに，電子のスピン角運動量も，磁気能率も，またトーマス因子も正しく導くことができました．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

パウリ行列については，参考記事[1]で扱っています．

パウリの導いた定理の式

式(3-16')は

\begin{aligned}
s_x \psi(\pm 1/2)&= \frac{1}{2} \psi(\mp 1/2) \\
s_y \psi(\pm 1/2)&= \mp\frac{i}{2} \psi(\mp 1/2) \\
s_z \psi(\pm 1/2)&= \pm\frac{1}{2} \psi(\pm 1/2)
\end{aligned}

を意味しています．

$s_{1x_i}s_{2x_j}$という形の演算子が$\psi(s_{1z},s_{2z})$に作用するとき，$\psi(s_{1z},s_{2z})=\psi(s_{1z})\psi(s_{2z})$と書くことにすれば

\begin{aligned}
s_{1x_i}s_{2x_j} \psi(s_{1z},s_{2z})
&=[s_{1x_i}\psi(s_{1z})] [s_{2x_i}\psi(s_{2z})]
\end{aligned}

のように，「$1$の添字を持つ演算子を$1$の添字を持つ波動関数に」，「$2$の添字を持つ演算子を$2$の添字を持つ波動関数に」作用させれば良いことになります．そして，それぞれの添字に対する計算は，式(3-16')を用いれば実行できます．

以上を考慮した上で，

\begin{aligned}
\psi=\left(
\begin{array}{l}
\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)
\end{aligned}

に$\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2=s_{1x}s_{2x}+s_{1y}s_{2y}+s_{1z}s_{2z}$を作用させると，

\begin{aligned}
&(\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2)\psi \\
&=\left(
\begin{array}{l}
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)^2\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)\bigl(\frac{i}{2}\bigr)\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{i}{2}\bigr)\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{i}{2}\bigr)^2\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)\\
&=\left(
\begin{array}{l}
\frac{1}{4}\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{2} \psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
-\frac{1}{4}\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{2} \psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
-\frac{1}{4}\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{4}\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)\\
&=\frac{1}{4}\left(
\begin{array}{l}
\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
-\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) + 2\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)\\
-\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) + 2\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)\\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)
\end{aligned}

となります．

第4話：陽子のスピン

そもそも量子力学は，はじめから比熱の問題と切っても切れない関係をもっていたといえます．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【要旨】D. M. Dennisonは，$\mathrm{H}_2$の比熱から，陽子がスピン$1/2$のフェルミオンだと結論した．

波動関数の対称性

脚注35)：

\begin{aligned}
P^M_J(-z)
= (-1)^{J-M} P^M_J(z)
\end{aligned}

---

合成関数$g(z)=f(-z)$の導関数は

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}z} (z)
&=- f^{\prime} (-z)
\end{aligned}

である．（ここで，

\begin{aligned}
f^{\prime} (-z)
=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}z} (-z)
=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}z} (z)\Biggl|_{z=-z}
\end{aligned}

というような書き方をすることもある．）繰り返せば

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^n g}{\mathrm{d}z^n} (z)
&=(-1)^n f^{(n)} (-z)
\end{aligned}

となる．つまり，

\begin{aligned}
f^{(n)} (-z)
&=(-1)^n g^{(n)} (z) \\
\Biggl(\frac{\mathrm{d}^n f(z)}{\mathrm{d}z^n} (-z)&=(-1)^n \frac{\mathrm{d}^n f(-z)}{\mathrm{d}z^n} (z)\Biggr)
\end{aligned}

である．

ここで，

\begin{aligned}
P^M_J(z)
&=(1-z^2)^{|M|/2} \frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J}{\mathrm{d}z^{|M|}} (z)\\
P_J(z)
&=\frac{1}{2^J J!}\frac{\mathrm{d}^J}{\mathrm{d}z^J} (z^2-1)^J
\end{aligned}

であるから，

\begin{aligned}
P^M_J(-z)
&=(1-z^2)^{|M|/2} \frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J}{\mathrm{d}z^{|M|}} (-z)\\
&=(1-z^2)^{|M|/2} \cdot (-1)^{|M|}\frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J(-z)}{\mathrm{d}z^{|M|}} (z)\\
P_J(-z)
&=\frac{1}{2^J J!}\cdot (-1)^J \frac{\mathrm{d}^J}{\mathrm{d}z^J} [(-z)^2-1]^J
\end{aligned}

となり結論を得る（$(-1)^{J+|M|}=(-1)^{J-|M|}$）．//

第5話：スピン同士の相互作用

そういうわけで，電子のスピンといった微妙な性質が，磁石が鉄を吸い付ける，といったような日常的なマクロの現象に直接あらわれているわけですが，そこにはシュレーディンガー関数の対称性とか，電子がフェルミオンであるとかいう，まったく高踏的な事柄が関与していたのです．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【要旨】
　多電子系では，電子のスピン同士の相互作用が（電子の磁気能率による相互作用よりも）はるかに強いとしないと説明できない現象がいくつかあった．この強い相互作用は，シュレーディンガー関数が対称性を持つこと（第1粒子の空間座標と第2粒子の空間座標の置換によって対称または反対称でなければならない）が起源である（反対称のシュレーディンガー関数で表される2電子は接近する確率が低いため，より低いクーロンエネルギーをもつ）．また，上記対称性を持つそれぞれのシュレーディンガー関数に対応する合成スピンの大きさは，電子がフェルミオンであることから決定される．
　「シュレーディンガー関数の座標の置換に対する対称性」から，2電子系で「第1電子がA状態にあり，第2電子がB状態にある」という表現はできない．必ず「状態(A,B)と状態(B,A)の重ね合わせの状態にある」という表現になる．

第6話：パウリ - ワイスコップとユカワ粒子

ディラックのアクロバットの解説が思わず長くなったが，結局，彼が示したかったのは，多ボソン系と3次元空間内の波動場が量子論では同等だということです．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【要旨】
　シュレーディンガー関数は抽象的な座標空間内の波（確率振幅）であり，3次元空間内の波として表すことはできなかった．しかし，量子化した波動場は3次元空間内の波動として表されることがわかった．
　ディラックはシュレーディンガー方程式（確率振幅の方程式）から出発して量子化された場の方程式を発見した．相対論的な場の方程式である「ディラック方程式」と「クライン-ゴルドン方程式」を量子化すると，それぞれフェルミオンとボソンが得られる．

$c-$数と$q-$数の波動関数

	$c-$数の波動関数$\psi$ （シュレーディンガー関数）	$q-$数の波動関数$\Psi$
変数	3次元空間の座標に限らない	3次元空間の座標
解釈	確率振幅	場（3次元空間に実在する波動）
満たすべき方程式	確率振幅の方程式（線形）	場の方程式（非線形でも良い）
電荷の粒子性	表せない：$e\psi^*(\boldsymbol{x})\psi(\boldsymbol{x})$は時間とともにぼやけてしまう．	表せる： \begin{aligned} \rho_V&=\int_V \rho(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \\ \Biggl( \rho(\boldsymbol{x})&=e\Psi^\dagger(\boldsymbol{x})\Psi(\boldsymbol{x}) \Biggr) \end{aligned} の固有値は非負整数を取る（※$ \rho(\boldsymbol{x})$の期待値は時間とともにぼやけ，$\langle\rho_V\rangle \to 0$となる．）．
相対論	適用不可（確率振幅の解釈ができない）	適用可

$\langle H\rangle$が時間に依存しないこと

シュレーディンガー方程式から波動関数の時間微分を計算することができ，

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} \langle H\rangle}{\mathrm{d} t}
&=\int \biggl(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} H \psi
+\psi^* H \frac{\partial \psi}{\partial t} \biggr) \,\mathrm{d}v \\
&=\int \Biggl[\biggl(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* H^\dagger \biggr)H \psi
+\psi^* H \biggl(\frac{1}{i\hbar}H\psi \biggr) \Biggr] \,\mathrm{d}v \\
&=0
\end{aligned}

となる（$H^\dagger = H$）．//

$\mathrm{d}a_n/\mathrm{d}t$

固有関数で展開した波動関数

\begin{aligned}
\psi(\boldsymbol{x},t)=\sum_n a_n(t) \phi(\boldsymbol{x})
\end{aligned}

をシュレーディンガー方程式に代入すると

\begin{aligned}
\sum_{n^\prime} a_{n^\prime}(t) H\phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x})
- i\hbar \sum_{n^\prime} \frac{\mathrm{d}a_{n^\prime}}{\mathrm{d}t}(t) \phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x}) =0.
\end{aligned}

左から$\phi_n^*$をかけて積分すると

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}a_n}{\mathrm{d}t}(t)
&=\frac{1}{i\hbar } \sum_{n^\prime} H_{nn^\prime} a_{n^\prime}(t) \\
\Biggl( H_{nn^\prime}&=\int \phi_n^*(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v \Biggr)
\end{aligned}

を得る．//

【注】定義から$(H_{n\textcolor{red}{n^\prime}})^*=H_{\textcolor{red}{n^\prime}n}$がすぐわかるので，上の式の複素共役をとれば

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}a_n^*}{\mathrm{d}t}(t)
&=- \frac{1}{i\hbar } \sum_{\textcolor{red}{n^\prime}} a_{\textcolor{red}{n^\prime}}^*(t) H_{\textcolor{red}{n^\prime} n}
\end{aligned}

を得る．

第2量子化の解釈

量子力学において，$q-$数はオブザーバブルを表す．

$G$がvirtual ensembleでオブザーバブルでない量であるとする．このとき，このvirtual ensembleに対応すると考えられるreal ensembleにおいて，$G$はオブザーバブルになり得る．

そこで，$G$がreal ensembleでオブザーバブルであるとき，

• virtual ensemble＋$G$が$c-$数の理論
• real ensemble＋$G$が$q-$数の理論

が同等の理論になるのではないか，というアイディアが第2量子化の背景にある．

この「virtual ensemble」と「real ensemble」の考え方で導けるのは相互作用がない場合だけだが，相互作用がある場合にも「$\psi$が$c-$数の理論」と同等の「$\Psi$が$q-$数の理論」を作ることができる．但し，これは$\psi$を第2量子化しただけの理論にはならず，$\Psi$の満たす方程式は$\psi$の満たす方程式とは異なるものになる．

$q-$数の波動関数の関係式

【交換関係】
$\{\phi_n\}_n$は完全直交系をなすため

\begin{aligned}
\sum_n \phi_n(\boldsymbol{x}) \phi_n^*(\boldsymbol{x}^\prime)
=\delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime)
\end{aligned}

が成り立つ．よって，

\begin{aligned}
[\Psi(\boldsymbol{x}),\Pi(\boldsymbol{x}^\prime)]
&=\sum_{m,n} \underbrace{[A_m,\Pi_n]}_{=i\hbar\delta_{mn}} \phi_m(\boldsymbol{x}) \phi^*_n(\boldsymbol{x}^\prime) \\
&=i\hbar \delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime) \\
[\Psi(\boldsymbol{x}),\Psi(\boldsymbol{x}^\prime)]
&=\sum_{m,n} \underbrace{[A_m,A_n]}_{=0} \phi_m(\boldsymbol{x}) \phi_n(\boldsymbol{x}^\prime) \\
&=0 \\
[\Pi(\boldsymbol{x}),\Pi(\boldsymbol{x}^\prime)]
&=\sum_{m,n} \underbrace{[\Pi_m,\Pi_n]}_{=0} \phi^*_m(\boldsymbol{x}) \phi^*_n(\boldsymbol{x}^\prime) \\
&=0
\end{aligned}

となる．

【運動方程式】

\begin{aligned}
&i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=i\hbar\sum_m \underbrace{\frac{\mathrm{d} A_m}{\mathrm{d}t}}
_{\mathrlap{=\frac{\partial \bar{H}}{\partial \Pi_m}=\frac{1}{i\hbar}\sum_n H_{mn}A_n}}
\phi_m(\boldsymbol{x}) \\
&=\sum_{m,n} A_n \phi_m(\boldsymbol{x})
\int \phi_m^*(\boldsymbol{x}^\prime) H(\boldsymbol{x}^\prime,\boldsymbol{p}) \phi_{n}(\boldsymbol{x}^\prime)
\,\mathrm{d}v^\prime \\
&=\sum_{n} A_n
\int \underbrace{\Bigl[\sum_{m} \phi_m(\boldsymbol{x})\phi_m^*(\boldsymbol{x}^\prime) \Bigr]}_{=\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\prime)}
H(\boldsymbol{x}^\prime,\boldsymbol{p}) \phi_n(\boldsymbol{x}^\prime)
\,\mathrm{d}v^\prime \\
&=H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \sum_{n} A_n \phi_{n}(\boldsymbol{x}) \\
&=H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \Psi(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}

【共役運動量関数】

\begin{aligned}
\Pi(\boldsymbol{x})
&=\sum_n \underbrace{\Pi_n}_{=i\hbar A_n^\dagger} \phi^*_n(\boldsymbol{x}) \\
&=i\hbar \biggl[\sum_n A_n \phi_n(\boldsymbol{x}) \biggr]^\dagger \\
&=i\hbar \Psi^\dagger(\boldsymbol{x})
\end{aligned}

【ハミルトニアン】

\begin{aligned}
\bar{H}
&=\frac{1}{i\hbar}\sum_{m,n}\Pi_m
\underbrace{H_{mn}}
_{\mathrlap{=\int \phi_m^*(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \phi_n(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v}}
A_{n^\prime} \\
&=\frac{1}{i\hbar}
\int \Bigl[\sum_{m}\Pi_m\phi_m^*(\boldsymbol{x})\Bigr]
H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p})
\Bigl[\sum_{n} A_{n} \phi_{n}(\boldsymbol{x}) \Bigr]
\,\mathrm{d}v \\
&=\frac{1}{i\hbar}
\int \Pi (\boldsymbol{x})H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \Psi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v \\
&=\int \Psi^\dagger(\boldsymbol{x})H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \Psi(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v
\end{aligned}

【粒子数】
粒子数は$\Psi$の振幅に関係する：

\begin{aligned}
&\int \Psi^\dagger(\boldsymbol{x},t) \Psi(\boldsymbol{x},t) \,\mathrm{d}v \\
&=\sum_{m,n} A^*_m A_n \underbrace{\int \phi^*_m(\boldsymbol{x})\phi_n(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v}_{=\delta_{mn}} \\
&=N \sum_{m} |a_m|^2 \\
&=N
\end{aligned}

第7話：ベクトルでもテンソルでもない量

注目すべきことは，偶数階のスピノルは二価性を持たないことで，そのあらわれとして，偶数階のスピノルを用いてベクトルやテンソルが構成されることです．そういう意味で$\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\end{pmatrix}$や$\begin{pmatrix}\psi^{\dot{1}}\\ \psi^{\dot{2}}\end{pmatrix}$を「半ベクトル」と呼ぶこともありますが，結局この半ベクトルこそ，それの変換を用いてすべての共変量の変換が構成されるところの，もっとも基本的な共変量であったのです．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【要旨】
　「方程式が共変形である」とは方程式の各成分がどの座標系でも同じ形になることをいう．物理法則は座標系のとり方に依存しないので，物理の方程式は共変形でなければならない．
　スピンが現れるまでは，共変量は「テンソル」で表された．ところが，スピンを含む方程式が共変形であるためには，新たに「スピノル」いう共変量が必要となる．スピノルはテンソルを構成することができるため，最も基本的な共変量である．スピノルは座標変換に対する「二価性」をもつ．これが，これまで知られてきた共変量（テンソル）との大きな違いである．

第8話：素粒子のスピンと統計

しかし，とにかく，ローレンツ変換に対する共変性が成り立たねばならぬとか，ドゥブロイ-アインシュタイン関係が成立せねばならぬ，とかいうもっとも基本的な要請だけから，スピンと統計との関係といった重要なことがらが導かれることは，じつに興味あることです．

出典：朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

【要旨】
パウリは

1. ボソンは整数値のスピンを持ち，フェルミオンは半整数のスピンを持つこと
2. テンソル場で記述できる粒子がボソンであり，スピノル場で記述できる粒子がフェルミオンであること

を示した（1940）．

	テンソル場	スピノル場
エネルギー	正（※）	正にも負にもなる（エネルギー密度）
電荷	正にも負にもなる（電気密度）	正$\times (-e)$（※）

（※）スピン$0,1/2,1$の場合（M. Fierz）

$[\Psi(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)]$$=\dfrac{i}{\hbar}\Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)$

(I) $\Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)$がクライン-ゴルドン方程式を満たすこと：
$\boldsymbol{x}$, $t$に作用する微分演算子を考えれば

\begin{aligned}
&\Box \Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime) \\
&=\frac{\hbar}{i} \Box[\Psi(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)] \\
&=\frac{\hbar}{i}
[\underbrace{\Box \Psi(\boldsymbol{x},t)}
_{=\mathrlap{-(mc/\hbar)^{2} \Psi(\boldsymbol{x},t)}}
, \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)] \\
&=-(mc/\hbar)^2 \frac{\hbar}{i} \underbrace{[\Psi(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)]}_{=\frac{i}{\hbar}\Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)} \\
&=-(mc/\hbar)^2 \Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)
\end{aligned}

により，$ [\Box+(mc/\hbar)^2] \Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)=0$が成り立つ．//

(III) $\displaystyle \frac{\partial \Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^{\prime}, t-t^{\prime})}{\partial t} \Biggl|_{t^{\prime} = t} =-\delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^{\prime})$：

\begin{aligned}
&\frac{\partial \Delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime,t-t^\prime)}{\partial t} \\
&=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} [\Psi(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)] \\
&=\frac{\hbar}{i} \biggl[\frac{\partial \Psi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x}^\prime,t^\prime)\biggr] \\
\end{aligned}

において$t^\prime = t$とすれば，既知の関係式

\begin{aligned}
\biggl[\frac{\partial \Psi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t), \Psi^\dagger (\boldsymbol{x},t)\biggr]
=-\frac{i}{\hbar}\delta(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\prime)
\end{aligned}

から示される．//

付録A

1 アブラハムの電子の模型

もっとうまい方法がありそうな気がするが．．．

$r > a > 0$の場合に

\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{r^2-2ra\cos\theta+a^2}}\,\mathrm{d}\theta
\end{aligned}

を計算する．

---

$\tilde{r}=r/a > 1$とおき，$X=\cos\theta$と変数変換すれば

\begin{aligned}
&=\frac{1}{a}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}\cos\theta+1}}\,\mathrm{d}\theta \\
&=-\frac{1}{a}\int_{1}^{-1} \frac{X}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}}\,\mathrm{d}X
\end{aligned}

$\xi=\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}$とすると，

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}
&=\frac{1}{(\mathrm{d} \xi/\mathrm{d} X)}
=-\frac{\xi}{\tilde{r}}
\end{aligned}

すなわち$\displaystyle -\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}=\frac{1}{\tilde{r}}$なので，

\begin{aligned}
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2}\int_{\tilde{r}-1}^{\tilde{r}+1} [(\tilde{r}^2+1) - \xi^2] \,\mathrm{d}\xi \\
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2} \biggl[2(\cancel{\tilde{r}^2}+1) - \frac{2}{3} (\cancel{3\tilde{r}^2} + 1)\biggr]
\end{aligned}

ただし，第2項は$\alpha^3-\beta^3=(\alpha - \beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)$から

\begin{aligned}
(\tilde{r}+1)^3-(\tilde{r}-1)^3
&=2[2(\tilde{r}^2+1) +(\tilde{r}^2-1) ] \\
&=2(3\tilde{r}^2 + 1)
\end{aligned}

となることを用いた．

以上より，

\begin{aligned}
&=\frac{2}{3} \frac{1}{a\tilde{r}^2} \\
&=\frac{2}{3}\frac{a}{r^2}
\end{aligned}

となる．//

参考記事/文献

• [1] 【行列表示】複素数・四元数・Pauli行列 - Notes_JP