【メモ】スピンはめぐる(朝永振一郎)

POINT

  • 読書メモ.
  • 今後読む人が,ロジックや計算で悩まずにすむように(できたらなぁ).

第1話が結構辛かったのですが,第2話以降からどんどん楽しくなってきました.あまり計算で悩まず,全体像を追うことに集中すると,楽しく読むことができそうです.

量子力学の教科書と合わせて本書を読めば,相当モチベーションが上がる内容です.せっかくなので,各章の印象に残ったフレーズを引用しておきます.

スピンはめぐる―成熟期の量子力学 新版

スピンはめぐる―成熟期の量子力学 新版

第1話:夜明け前

【キーワード】
  • ゼーマン効果
  • 光る電子,芯の電子
  • ゾンマーフェルト,ランデ,パウリ
  • 代用モデル
  • $g$因子

第2話:電子スピンとトーマス因子

とにかく,トーマスは電子の自転に対して古典的な相対論と,さらに古典的なコマの理論とを用い,それに対応原理をプラスすることによって正しい準位間隔を導いたのです.

出典:朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).
【キーワード】
  • 微細構造公式
  • パウリの排他原理
  • トーマス因子
  • スピン

第3話:パウリのスピン理論とディラック理論

このようにしてディラックは,相対論と変換理論との要請だけから出発し,何のad hocな仮定も用いずに,電子のスピン角運動量も,磁気能率も,またトーマス因子も正しく導くことができました.

出典:朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).

パウリ行列については,参考記事[1]で扱っています.

パウリの導いた定理の式

式(3-16')は
\begin{align}
s_x \psi(\pm 1/2)&= \frac{1}{2} \psi(\mp 1/2) \\
s_y \psi(\pm 1/2)&= \mp\frac{i}{2} \psi(\mp 1/2) \\
s_z \psi(\pm 1/2)&= \pm\frac{1}{2} \psi(\pm 1/2)
\end{align}を意味しています.

$s_{1x_i}s_{2x_j}$という形の演算子が$\psi(s_{1z},s_{2z})$に作用するとき,$\psi(s_{1z},s_{2z})=\psi(s_{1z})\psi(s_{2z})$と書くことにすれば
\begin{align}
s_{1x_i}s_{2x_j} \psi(s_{1z},s_{2z})
&=[s_{1x_i}\psi(s_{1z})] [s_{2x_i}\psi(s_{2z})]
\end{align}のように,「$1$の添字を持つ演算子を$1$の添字を持つ波動関数に」,「$2$の添字を持つ演算子を$2$の添字を持つ波動関数に」作用させれば良いことになります.そして,それぞれの添字に対する計算は,式(3-16')を用いれば実行できます.

以上を考慮した上で,
\begin{align}
\psi=\left(
\begin{array}{l}
\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)
\end{align}に$\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2=s_{1x}s_{2x}+s_{1y}s_{2y}+s_{1z}s_{2z}$を作用させると,
\begin{align}
&(\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2)\psi \\
&=\left(
\begin{array}{l}
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)^2\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)\bigl(\frac{i}{2}\bigr)\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{i}{2}\bigr)\bigl(-\frac{i}{2}\bigr)\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 \psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(\frac{i}{2}\bigr)^2\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
+\bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)\\
&=\left(
\begin{array}{l}
\frac{1}{4}\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{2} \psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)
-\frac{1}{4}\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{2} \psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
-\frac{1}{4}\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
\frac{1}{4}\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)\\
&=\frac{1}{4}\left(
\begin{array}{l}
\psi\bigl(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) \\
-\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr) + 2\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr)\\
-\psi\bigl(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\bigr) + 2\psi\bigl(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)\\
\psi\bigl(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\bigr)
\end{array}\right)
\end{align}となります.

第4話:陽子のスピン

そもそも量子力学は,はじめから比熱の問題と切っても切れない関係をもっていたといえます.

出典:朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).
【要旨】D. M. Dennisonは,$\mathrm{H}_2$の比熱から,陽子がスピン$1/2$のフェルミオンだと結論した.

波動関数の対称性

脚注35):
\begin{align}
P^M_J(-z)
= (-1)^{J-M} P^M_J(z)
\end{align}

合成関数$g(z)=f(-z)$の導関数は
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}z} (z)
&=- f^{\prime} (-z)
\end{align}である.(ここで,
\begin{align}
f^{\prime} (-z)
=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}z} (-z)
=\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}z} (z)\Biggl|_{z=-z}
\end{align}というような書き方をすることもある.)繰り返せば
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^n g}{\mathrm{d}z^n} (z)
&=(-1)^n f^{(n)} (-z)
\end{align}となる.つまり,
\begin{align}
f^{(n)} (-z)
&=(-1)^n g^{(n)} (z) \\
\Biggl(\frac{\mathrm{d}^n f(z)}{\mathrm{d}z^n} (-z)&=(-1)^n \frac{\mathrm{d}^n f(-z)}{\mathrm{d}z^n} (z)\Biggr)
\end{align}である.

ここで,
\begin{align}
P^M_J(z)
&=(1-z^2)^{|M|/2} \frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J}{\mathrm{d}z^{|M|}} (z)\\
P_J(z)
&=\frac{1}{2^J J!}\frac{\mathrm{d}^J}{\mathrm{d}z^J} (z^2-1)^J
\end{align}であるから,
\begin{align}
P^M_J(-z)
&=(1-z^2)^{|M|/2} \frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J}{\mathrm{d}z^{|M|}} (-z)\\
&=(1-z^2)^{|M|/2} \cdot (-1)^{|M|}\frac{\mathrm{d}^{|M|}P_J(-z)}{\mathrm{d}z^{|M|}} (z)\\
P_J(-z)
&=\frac{1}{2^J J!}\cdot (-1)^J \frac{\mathrm{d}^J}{\mathrm{d}z^J} [(-z)^2-1]^J
\end{align}となり結論を得る($(-1)^{J+|M|}=(-1)^{J-|M|}$).//

第5話:スピン同士の相互作用

そういうわけで,電子のスピンといった微妙な性質が,磁石が鉄を吸い付ける,といったような日常的なマクロの現象に直接あらわれているわけですが,そこにはシュレーディンガー関数の対称性とか,電子がフェルミオンであるとかいう,まったく高踏的な事柄が関与していたのです.

出典:朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).
【要旨】
 多電子系では,電子のスピン同士の相互作用が(電子の磁気能率による相互作用よりも)はるかに強いとしないと説明できない現象がいくつかあった.この強い相互作用は,シュレーディンガー関数が対称性を持つこと(第1粒子の空間座標と第2粒子の空間座標の置換によって対称または反対称でなければならない)が起源である(反対称のシュレーディンガー関数で表される2電子は接近する確率が低いため,より低いクーロンエネルギーをもつ).また,上記対称性を持つそれぞれのシュレーディンガー関数に対応する合成スピンの大きさは,電子がフェルミオンであることから決定される.
 「シュレーディンガー関数の座標の置換に対する対称性」から,2電子系で「第1電子がA状態にあり,第2電子がB状態にある」という表現はできない.必ず「状態(A,B)と状態(B,A)の重ね合わせの状態にある」という表現になる.

第6話:パウリ - ワイスコップとユカワ粒子

出典:朝永振一郎「スピンはめぐる」, みすず書房 (2008).
【要旨】

$c-$数の波動関数$\psi$
(シュレーディンガー関数)
$q-$数の波動関数$\Psi$
変数 3次元空間の座標に限らない 3次元空間の座標
解釈 確率振幅 3次元空間に実在する波動
満たすべき方程式 確率振幅の方程式(線形) 場の方程式(非線形でも良い)
電荷の粒子性 表せない:$e\psi^*(\boldsymbol{x})\psi(\boldsymbol{x})$は時間とともにぼやけてしまう. 表せる:
\begin{align}
\rho_V&=\int_V \rho(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
\Biggl( \rho(\boldsymbol{x})&=e\Psi^\dagger(\boldsymbol{x})\Psi(\boldsymbol{x}) \Biggr)
\end{align}の固有値は非負整数を取る(※$ \rho(\boldsymbol{x})$の期待値は時間とともにぼやけ,$\langle\rho_V\rangle \to 0$となる.).

$\langle H\rangle$が時間に依存しないこと

シュレーディンガー方程式から波動関数の時間微分を計算することができ,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \langle H\rangle}{\mathrm{d} t}
&=\int \biggl(\frac{\partial \psi^*}{\partial t} H \psi
+\psi^* H \frac{\partial \psi}{\partial t} \biggr) \,\mathrm{d}v \\
&=\int \Biggl[\biggl(-\frac{1}{i\hbar}\psi^* H^\dagger \biggr)H \psi
+\psi^* H \biggl(\frac{1}{i\hbar}H\psi \biggr) \Biggr] \,\mathrm{d}v \\
&=0
\end{align}となる($H^\dagger = H$).//

$\mathrm{d}a_n/\mathrm{d}t$

固有関数で展開した波動関数
\begin{align}
\psi(\boldsymbol{x},t)=\sum_n a_n(t) \phi(\boldsymbol{x})
\end{align}をシュレーディンガー方程式に代入すると
\begin{align}
\sum_{n^\prime} a_{n^\prime}(t) H\phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x})
- i\hbar \sum_{n^\prime} \frac{\mathrm{d}a_{n^\prime}}{\mathrm{d}t}(t) \phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x}) =0.
\end{align}左から$\phi_n^*$をかけて積分すると
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}a_n}{\mathrm{d}t}(t)
&=\frac{1}{i\hbar } \sum_{n^\prime} H_{nn^\prime} a_{n^\prime}(t) \\
\Biggl( H_{nn^\prime}&=\int \phi_n^*(\boldsymbol{x}) H(\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}) \phi_{n^\prime}(\boldsymbol{x}) \,\mathrm{d}v \Biggr)
\end{align}を得る.//

【注】定義から$(H_{n\color{red}{n^\prime}})^*=H_{\color{red}{n^\prime}n}$がすぐわかるので,上の式の複素共役をとれば
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}a_n^*}{\mathrm{d}t}(t)
&=- \frac{1}{i\hbar } \sum_{\color{red}{n^\prime}} a_{\color{red}{n^\prime}}^*(t) H_{\color{red}{n^\prime} n}
\end{align}を得る.

付録A

1 アブラハムの電子の模型

もっとうまい方法がありそうな気がするが...

$r > a > 0$の場合に
\begin{align}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{r^2-2ra\cos\theta+a^2}}\,\mathrm{d}\theta
\end{align}を計算する.



$\tilde{r}=r/a > 1$とおき,$X=\cos\theta$と変数変換すれば
\begin{align}
&=\frac{1}{a}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}\cos\theta+1}}\,\mathrm{d}\theta \\
&=-\frac{1}{a}\int_{1}^{-1} \frac{X}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}}\,\mathrm{d}X
\end{align}

$\xi=\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}$とすると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}
&=\frac{1}{(\mathrm{d} \xi/\mathrm{d} X)}
=-\frac{\xi}{\tilde{r}}
\end{align}すなわち$\displaystyle -\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}=\frac{1}{\tilde{r}}$なので,
\begin{align}
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2}\int_{\tilde{r}-1}^{\tilde{r}+1} [(\tilde{r}^2+1) - \xi^2] \,\mathrm{d}\xi \\
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2} \biggl[2(\require{cancel}\cancel{\tilde{r}^2}+1) - \frac{2}{3} (\cancel{3\tilde{r}^2} + 1)\biggr]
\end{align}ただし,第2項は$\alpha^3-\beta^3=(\alpha - \beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)$から
\begin{align}
(\tilde{r}+1)^3-(\tilde{r}-1)^3
&=2[2(\tilde{r}^2+1) +(\tilde{r}^2-1) ] \\
&=2(3\tilde{r}^2 + 1)
\end{align}となることを用いた.

以上より,
\begin{align}
&=\frac{2}{3} \frac{1}{a\tilde{r}^2} \\
&=\frac{2}{3}\frac{a}{r^2}
\end{align}となる.//


参考記事/文献