三角不等式

以下の関係式を「三角不等式」と呼びます：

三角不等式

\begin{aligned}
|\vec{x}+\vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{aligned}

三角不等式を使うと，次の派生公式を導くことができます．

\begin{aligned}
|\vec{x}|
&= \bigl|(\vec{x} + \vec{y})- \vec{y}\bigr| \\
&\leq |\vec{x} + \vec{y}| + |-\vec{y}| \\
&=|\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{y}|
\end{aligned}

から

\begin{aligned}
|\vec{x}| - |\vec{y}|
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\end{aligned}

この証明は，$\vec{x}$と$\vec{y}$を入れ替えてもそのまま成り立つので

\begin{aligned}
-\bigl(|\vec{x}| - |\vec{y}|\bigr)
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\end{aligned}

が示せます．

以上3式は以下の式でまとめて表せます：

\begin{aligned}
\biggl| |\vec{x}| - |\vec{y}| \biggr|
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{aligned}

この式で$\vec{y}$を$-\vec{y}$で置き換えれば

\begin{aligned}
\biggl| |\vec{x}| - |\vec{y}| \biggr|
\leq |\vec{x} - \vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{aligned}

が成り立つこともわかります．