【高校数学】三角不等式

三角不等式

以下の関係式を「三角不等式」と呼びます:
三角不等式
\begin{align}
|\vec{x}+\vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{align}


三角不等式を使うと,次の派生公式を導くことができます.
\begin{align}
|\vec{x}|
&= \bigl|(\vec{x} + \vec{y})- \vec{y}\bigr| \\
&\leq |\vec{x} + \vec{y}| + |-\vec{y}| \\
&=|\vec{x} + \vec{y}| + |\vec{y}|
\end{align}から
\begin{align}
|\vec{x}| - |\vec{y}|
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\end{align}

この証明は,$\vec{x}$と$\vec{y}$を入れ替えてもそのまま成り立つので
\begin{align}
-\bigl(|\vec{x}| - |\vec{y}|\bigr)
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\end{align}が示せます.

以上3式は以下の式でまとめて表せます:
\begin{align}
\biggl| |\vec{x}| - |\vec{y}| \biggr|
\leq |\vec{x} + \vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{align}

この式で$\vec{y}$を$-\vec{y}$で置き換えれば
\begin{align}
\biggl| |\vec{x}| - |\vec{y}| \biggr|
\leq |\vec{x} - \vec{y}|
\leq |\vec{x}| + |\vec{y}|
\end{align}が成り立つこともわかります.