【まとめ】ベクトル解析・行列の公式と導出

POINT

  • ベクトル解析の公式と,その導出方法の一覧.
  • 行列計算も統一的に理解できる.

ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.

力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です.計算練習をして,すぐに公式を導出できるようになりましょう!



ディアディック(ダイアド積)が絡む計算は以下で紹介しています:

前提知識と記法

微分演算子の略号を使って計算すると,負担を減らすことができます.

微分演算子

この記事では簡単のため,微分演算子を
$$\partial_i:=\dfrac{\partial}{\partial x^i}$$
と書くことにします($x_1=x$, $x_2=y$, $x_3=z$).

※ 一般的に使われる記法です.分数を使わず,一行で書くことが出来るので便利です.



例えば,

  • $\partial_i\phi$は,「$\boldsymbol{\nabla\,}\phi$の$i$成分」という意味
  • $\partial_2 f$は,$\dfrac{\partial f}{\partial y}$という意味 ($\partial_y f$とかくこともあります)

です.

ベクトル演算の成分表記

以下では,ダブっている添字については和を取ることにします(Einsteinの規約).すると,ベクトル演算の成分表記が次のように簡単に表せます.

名称 ベクトル表記 成分表記
内積 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$ $A_i B_i$
外積 $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}$ $\epsilon_{ijk}A_j B_k$
勾配 / Gradient $\mathrm{grad\,}\phi=\boldsymbol{\nabla}\phi$ $\partial_i\phi$
回転 / Rotation / Curl $\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$ $\epsilon_{ijk}\partial_jA_k$
発散 / Divergence $\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}$ $\partial_iA_i$
Lapracian \begin{align}\boldsymbol{\Delta\,}\phi&=\mathrm{div\,grad\,}\phi\\&=\boldsymbol{\nabla\,}\cdot\boldsymbol{\nabla\,}\phi\end{align} $\partial_i\partial_i \phi$

行列の成分表記

一般的には,ベクトル演算は行列やテンソルの演算に含まれます.そのような場合には,計算結果が行列式の形にまとめられる場合があります(例:積分の座標変換でヤコビアンを計算する場合).そこで,行列式がどのように表されるのか,知っておく必要があります:
$n\times n$行列$A=(a_{i,j})$の行列式は,
\begin{align}
\mathrm{det\,}A
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}\\
&=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn}
\end{align}
と書くことができます.

この式は,$\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n}$の反対称性から

行列式
\begin{align} \epsilon_{j_1j_2\cdots j_n}\mathrm{det\,}A &=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{j_1 i_1}a_{j_2 i_2}\cdots a_{j_n i_n}\\ &=\epsilon_{i_1i_2\cdots i_n} a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2}\cdots a_{i_n j_n} \end{align}

と一般化することができます.

公式の導出手順

ベクトル解析のどんな公式も,以下の手順で導けます!
手順

【一覧】公式と導出

上の手順に従い,公式を導出します.

積の微分:$\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right) $$= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A} +\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)$

積の微分のベクトル解析版です.成分表記すれば,通常の積の微分の公式が使えます.
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot \left( \psi \boldsymbol{A}\right)
&=\partial_i \left( \psi A_i\right) \\
&=\left(\partial_i \psi \right) A_i + \psi \left(\partial_i A_i \right) \\
&= \boldsymbol{\nabla}\psi \cdot \boldsymbol{A}
+\psi\left( \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)
\end{align}

スカラー三重積:$\boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})$$=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}$

ベクトルの外積が
$$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_i=\epsilon_{ijk}a_j b_k$$
で表わされることから,
\begin{align}
\boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})
&=a_i (\epsilon_{ijk} b_j c_k)\\
&=\color{red}{\epsilon_{ijk} a_i b_j c_k}\\
&=(\epsilon_{kij} a_i b_j ) c_k\\
&=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}
\end{align}

ベクトル三重積:$\boldsymbol{a}\times (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})$$=(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} -(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

縮約公式を使うと,
\begin{align}
[\boldsymbol{a}\times (\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{c})]_i
&=\epsilon_{ijk}a_j(\epsilon_{klm}b_l c_m) \\
&=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}) a_j b_l c_m \\
&= (\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})b_i -(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})c_i
\end{align}

$\mathrm{rot\,}\mathrm{grad\,}=0$, $\mathrm{div\,}\mathrm{rot\,}=0$

微分の順序を交換できるとき*1 以下の重要な性質が成り立ちます:

\begin{align} \epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k=0 \end{align}

この式は,反対称性から簡単に導けます:
(証明)
$$\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k=\epsilon_{ijk}\partial_k\partial_j.$$
ここで$j\leftrightarrow k$とし,$\epsilon_{ijk}$の反対称性を用いると
$$\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k
=\epsilon_{ikj}\partial_j\partial_k
=-\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k.$$
であるから,上の式が導かれた.//


これを利用すると,以下の公式が導けます:
\begin{align}
&(\mathrm{rot\,}\mathrm{grad\,}\phi)_i
=\epsilon_{ijk}\partial_j\partial_k\phi
=0\\
&\mathrm{div\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}
=\partial_i\epsilon_{ijk}\partial_j A_k
=0
\end{align}


$\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}$$=\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\Delta\,A}$

\begin{align}
(\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A})_i
&=\epsilon_{ijk}\partial_j(\epsilon_{klm}\partial_l A_m) \\
&=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})\partial_j\partial_l A_m \\
&=\partial_i\partial_j A_j-\partial_j\partial_jA_i \\
&=[\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\Delta\,A}]_i
\end{align}


$\mathrm{div\,}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$$=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}$

\begin{align}
\mathrm{div\,}(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})
&=\partial_i(\epsilon_{ijk}A_jB_k) \\
&=\epsilon_{ijk}(\partial_iA_j)B_k+\epsilon_{ijk}A_j(\partial_iB_k) \\
&=B_k\epsilon_{kij}\partial_iA_j - A_j\epsilon_{jik}\partial_iB_k \\
&=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}
\end{align}

$\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})$$=(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B}+(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}$$+\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}$

\begin{align}
(\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B})_i
&=\epsilon_{ijk} A_j (\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B})_k \\
&=\epsilon_{ijk} A_j \cdot \epsilon_{klm}\partial_l B_m \\
&=\epsilon_{kij}\epsilon_{klm} A_j \partial_l B_m \\
&=(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) A_j \partial_l B_m \\
&=A_j \partial_i B_j - A_j \partial_j B_i
\end{align}に着目する.$\boldsymbol{A}$と$\boldsymbol{B}$を入れ替えたものを足し合わせると
\begin{align}
&(\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A})_i \\
&=(A_j \partial_i B_j+B_j \partial_i A_j) - (A_j \partial_j B_i+B_j \partial_j A_i) \\
&=\partial_i(A_j B_j) - (A_j \partial_j B_i) - (B_j \partial_j A_i) \\
&=[\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B} - (\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A} ]_i
\end{align}

逆行列:クラメルの公式

正方行列$A$の$(i,j)$成分を$a_{i,j}$と表します.このとき,$i$成分が$1$で他の成分が$0$の単位ベクトル$e_i$,$A$の余因子行列$\Delta$を$(i,j)$成分が
\begin{align}
\Delta_{ij}
&:=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{e_j}},...,Ae_n\right)}
\end{align}
の行列として定義します.すると,
\begin{align}
&\sum_{i}\Delta_{ik}a_{kj}\\
&=\sum_{k}\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{e_k}},...,Ae_n\right)}a_{kj}\\
&=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{\sum_{k}e_ka_{kj}}},...,Ae_n\right)}\\
&=\det{\left(Ae_1,...,\overset{i\text{番目}}{\breve{Ae_j}},...,Ae_n\right)}\\
&=
\begin{cases}
\,\det{A} &(i=j)\\
\,0&(i\neq j)
\end{cases}
\end{align}

以上より,$\det{A}\neq 0$のとき
\begin{align}
\frac{1}{\det{A}} \Delta A
=I
\end{align}
となります.したがって

クラメルの公式(Cramer's rule)
\begin{align} A^{-1}=\frac{1}{\det{A}} \Delta \end{align}

*1:フツーできるときしか考えないので,あまり気にしないように.