POINT
- サイコロ1個の超極端な例で，条件付き確率の理解を深めましょう．
- ベン図を使って図解します．
何事も，理解のコツは「極端な例」を考えることです．例えば，
- 数学なら，すごく数が小さい場合/大きい場合を考える．
- 物理なら，物理量が$0$あるいは$\infty$の極限を考える．
といったことは常套手段です．
ここでは条件付き確率を理解するために，サイコロ1個を用いた簡単な例を考えてみましょう．この「極端な例」はきっと理解の助けになるはずです．
条件付き確率について，もっと詳しく知りたい方は次の記事を参照してください：
問題1.：サイコロを振ったとき，2の目が出る確率は？
簡単な問題から順に考えてみましょう．問題1.：サイコロを振ったとき，2の目が出る確率は？
もちろん，確率は$\dfrac{1}{6}$ですね
問題2.：偶数がでたとき，2の目が出る確率は？
それでは，次の問題はどうでしょうか？- 問題2.：サイコロを振った．その後出目が偶数であることを教えてもらった．このとき，2の目が出た確率は？
この問題に関して，以下は正しい解答でしょうか？
すでにサイコロを振った後に"出目の情報"を教えてもらっても確率は変わらないので，$\dfrac{1}{6}$
実は，出目の情報を教えてもらったことで確率は変わるため，この解答は誤りです．まず，偶数が出たと知ったあとでは
- $2,4,6$のいずれかの目が出る確率は$1$
- $1,3,5$のいずれかの目が出る確率は$0$
となっていることに注意しましょう（下のベン図を参照）．問題1の状況とは完全に異なりますね．
この事実から，問題2は次のように言い換えることができます：
2条件
- 出目は2,4,6のいずれかである
- 2,4,6は当確率で出る
のもとで，2が出る確率は？
この問題なら，簡単に答えがわかるでしょう．2の目が出る確率は$\dfrac{1}{3}$となりますね．
（※ 問題1. の確率は事前確率 (Prior probability)，問題2. の確率は事後確率 (Posterior probability) と呼ばれます．）
これくらい簡単な問題だと，通常の条件付き確率の解き方を用いることなく，直感的に理解できたのではないでしょうか？
通常の条件付き確率の解き方も見ておきましょう．ベン図を書いてみればわかるように，結局やっていることは同じです．
$A=\{2,4,6\}, B=\{2\}$とすると，
\begin{aligned}
P(A\cap B)=1/6,\quad P(A)=1/2
\end{aligned}
なので，求める確率はP(A\cap B)=1/6,\quad P(A)=1/2
\end{aligned}
\begin{aligned}
P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=1/3.
\end{aligned}
P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=1/3.
\end{aligned}
問題3：奇数がでたとき，2の目が出る確率，問題4：2がでたとき，2の出る確率
もっと極端な例も考えてみましょう．- 問題3：サイコロを振った．その後出目を見ずに，奇数であることを教えてもらった．このとき，2の目が出た確率は？
- 問題4：サイコロを振った．その後出目を見ずに，2が出たことを教えてもらった．このとき，2の目が出た確率は？
問題3. は，サイコロを振った時点では2の目が出る確率は$\dfrac{1}{6}$ですが，奇数であることを教えてもらった後は2の目が出る確率は0になりますね．
同様に問題4. は，サイコロを振った時点では2の目が出る確率は$\dfrac{1}{6}$ですが，2が出たことを教えてもらった後は2の目が出る確率は1になりますね．
天気予報でも極端な例が作れます．上の例問題3，4に相当する極端な例を作ってみましょう：
- 問題3'：今日は一日中晴れていました．今日の降水確率は？
- 問題4'：今日は雨が振りました．今日の降水確率は？
イメージが掴めましたか？