電磁場の保存則

POINT

  • 電磁場のエネルギーについて

【メモ】
古典的なエネルギー保存則については完成.
あと,運動量保存則,エネルギー・運動量テンソル・Maxwellの応力テンソルについて触れたい.

エネルギー保存則

静止物体内のMaxwell方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\,\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0 \\
\,\displaystyle \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}_e + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \\
\,\displaystyle \mathrm{div\,}\boldsymbol{D}=\rho_e \\
\,\displaystyle \mathrm{div\,}\boldsymbol{B}=0
\end{cases}
\end{aligned}
(【参考】[1]第3章 式(2.9))

このとき,エネルギー保存則が成り立ちます:

エネルギー保存則
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_V w \,\mathrm{d}V \\
&\quad
=-\int_V\boldsymbol{i}_e \cdot \boldsymbol{E}\,\mathrm{d}V
-\int_{\partial V} \boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&\begin{cases}
\, \displaystyle
w=\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
\, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{aligned}
(【参考】[1]第2章 $\S 4$,第3章 $\S 4$,[2]$\S 31$)
【導出】
ベクトル解析の公式から,
\begin{aligned}
&\mathrm{div\,}(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}) \\
&=\boldsymbol{H}\cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{E}
- \boldsymbol{E}\cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{H} \\
&=\boldsymbol{H}\cdot\biggl(-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\biggr)
-\boldsymbol{E}\cdot\biggl(\boldsymbol{i}_e+\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \biggr) \\
&=-\frac{\partial}{\partial t}
\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
&\qquad -\boldsymbol{i}_e \cdot \boldsymbol{E}
\end{aligned}
となる.両辺を体積分してガウスの発散定理を用いれば示される.//

【補足】
ここで,関係式$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$,$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$が成り立つ場合は

\begin{aligned}
&\frac{\partial w}{\partial t}
=\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\
&=\frac{\partial }{\partial t}
\biggl[\frac{1}{2}( \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}+\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{H}) \biggr]
\end{aligned}
となります.



さらに,
\begin{aligned}
\boldsymbol{i}_e
=\sum_i e_i \dot{\boldsymbol{r}}_i \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)
\end{aligned}
であることから,各荷電粒子のエネルギーを用いて
エネルギー保存則
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \biggl(\int_V w \,\mathrm{d}V + \mathcal{E} \biggr)
=-\int_{\partial V} \boldsymbol{S}\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&\begin{cases}
\, \displaystyle
w=\int^t \biggl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t^\prime}
+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t^\prime} \biggr)
\,\mathrm{d}t^\prime \\
\, \displaystyle \mathcal{E}=\sum_i \mathcal{E}_i \\
\quad\quad \Bigl(\mathcal{E}_i=m_i c^2/\sqrt{1-(v_i/c)^2} \Bigr) \\
\, \boldsymbol{S}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}
\end{cases}
\end{aligned}
と表すこともできます(【参考】[1]第2章$\S 1$,[2]$\S 31$).ここで,エネルギー$\mathcal{E}_i$は上の相対論的な表式ではなく,非相対論的な運動エネルギー$\mathcal{E}_i=mv_i^2/2$を用いても成立します.

【導出】
1電子の運動方程式

\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}
=e\boldsymbol{E}+e\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}
\end{aligned}
から
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t}
=e\boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{E}
\end{aligned}
という関係が成り立つ.これを用いると
\begin{aligned}
\boldsymbol{i}_e\cdot \boldsymbol{E}
&=\sum_i e_i \dot{\boldsymbol{r}}_i \cdot \boldsymbol{E} \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i) \\
&=\sum_i \boldsymbol{v}_i\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}_i}{\mathrm{d} t}
\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i) \\
&=\sum_i \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_i}{\mathrm{d} t} \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)
\end{aligned}
となることから示される.最後の等号では$\displaystyle\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}$が成り立つことを用いた.この式は次のように導ける.

電子のエネルギーと運動量

\begin{aligned}
\mathcal{E}
=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(v/c)^2}},\quad
\boldsymbol{p}
=\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}
\end{aligned}
に対して
\begin{aligned}
1+\biggl(\frac{p}{mc}\biggr)^2
&=\frac{1}{1-(v/c)^2} \\
&=\biggl(\frac{\mathcal{E}}{mc^2}\biggr)^2
\end{aligned}
つまり$\mathcal{E}^2=c^2(m^2c^2+p^2)$が成り立つ.両辺を時間微分すれば
\begin{aligned}
2\mathcal{E}\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d} t}
&=c^2\cdot 2\boldsymbol{p}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \\
&=2\mathcal{E}\boldsymbol{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}
\end{aligned}
から
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d} t}
=\boldsymbol{v}\cdot\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t}
\end{aligned}
となる(【注】この関係式は$\mathcal{E}=mv^2/2$の場合も成り立つことが簡単な計算でわかる).//

参考文献

[1]理論電磁気学
[2]場の古典論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)