電気回路とMaxwell方程式の関係

POINT

• 電気回路の基礎知識を整理する．
• Maxwell方程式から電気回路の公式を導出する．

高校で習う程度の回路の知識が，電磁気学の理論（Maxwell方程式）と回路がどうつながっているの？という疑問を解消する内容にしていく予定です．

Kirchhoffの法則

第一法則

回路の任意の結合点において

\begin{aligned}
\sum_k I_k =0
\end{aligned}

が成立する．

第二法則

回路における任意の閉経路において

\begin{aligned}
\sum_k R_k I_k =\sum_l E_l
\end{aligned}

が成立する．

インピーダンス

交流

\begin{aligned}
V=V_0 e^{i(\omega t+\delta)}
\end{aligned}

を考える．

\begin{aligned}
V=ZI
\end{aligned}

の関係が成り立つとき，$Z$をインピーダンスと呼ぶ．

	インピーダンス	理由
抵抗	$Z=R$	Ohmの法則：$V=RI$から従う．
コンデンサー (静電容量$C$)	$Z=\dfrac{1}{i\omega C}$	静電容量$C$の定義$Q=CV$と，$I=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$(※1)から， $I=i\omega C V$.
コイル (自己誘導係数$L$)	$Z=i\omega L$	起電力は$V=\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$である(※2)から， 両辺を時間積分して$\dfrac{1}{i\omega}V=LI$.

【Maxwell方程式との関係】

※1

結合部分(図を追加予定)において，電荷保存則$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{j} =0$を考える．この式を体積分することで，求める式が得られる．

※2

コイルを貫く磁束$\Phi$は

\begin{aligned}
\Phi
&=\int_{\mathrm{S}} \boldsymbol{B}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S} \\
&=\int_{\mathrm{S}} \,\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{S} \\
&=\oint_{\mathrm{C}} \boldsymbol{A}\cdot \,\mathrm{d}\boldsymbol{x}
\end{aligned}

と表される．ここで，ベクトルポテンシャルは

\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
=\frac{\mu}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{i}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y
\end{aligned}

であるが，導線が十分細く$\boldsymbol{i}$が断面について一様であるとみなせるとき（i.e. $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$が断面内で一定），断面方向の積分が

\begin{aligned}
\int\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}^3y
&=\int\,\mathrm{d}y
\int_{\mathrm{S(y)}}\frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}S \\
&\simeq \int\,\mathrm{d}y \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}
\int_{\mathrm{S(y)}}\,\boldsymbol{i}(\boldsymbol{y})\,\mathrm{d}S \\
&=I\int\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y
\end{aligned}

と実行でき，

\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})
=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{\boldsymbol{i}}}(y)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y
\end{aligned}

となる．よって，

\begin{aligned}
\Phi
&=LI
,\quad \Biggl(L= \frac{\mu}{4\pi} \oint_{\mathrm{C}}\oint_{\mathrm{C}}\frac{\hat{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,\mathrm{d}y\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{x} \Biggr)
\end{aligned}

と表すことができる．

直列回路と並列回路

直列回路

合成インピーダンス
直列回路では，各要素に流れる電流が一定なので

\begin{aligned}
V_i=Z_i I
\end{aligned}

である．したがって，

\begin{aligned}
V=\sum_i V_i =\sum_i Z_i I
\end{aligned}

が成り立つ．よって，合成インピーダンスは

\begin{aligned}
Z=\sum_i Z_i.
\end{aligned}

並列回路

合成インピーダンス
直列回路では，各要素かかる電圧が一定なので

\begin{aligned}
V=Z_i I_i
\end{aligned}

である．したがって，

\begin{aligned}
I=\sum_i I_i=V\left(\sum_i \frac{1}{Z_i}\right)
\end{aligned}

が成り立つ．よって，合成インピーダンスは

\begin{aligned}
Z&=\frac{1}{\displaystyle\sum_i \frac{1}{Z_i}}.
\end{aligned}

参考文献

• 理論電磁気学