波動現象のエネルギー保存則

POINT

  • 作成中(編集上の都合により公開)
  • 波動現象という観点でエネルギー保存則を整理する.
  • 音波,電磁気学,量子力学

波動方程式を満たす関数には,エネルギー保存則が成り立ちます.

音波や真空中の電磁波は波動方程式を満たすことから,これらのエネルギー保存則を統一的に理解することを試みました.

電磁気で,Maxwell方程式をもとにエネルギー保存則を論じる方法:
電磁場の保存則 - Notes_JP

波動方程式とエネルギー保存則

波動方程式
\begin{align}
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}
-\Delta \phi
=0
\end{align}に対して,エネルギーを
\begin{align}
E(t)=\frac{1}{2}\int_V
\biggl[ \biggl(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)\biggr)^2
+|\boldsymbol{\nabla} \phi(\boldsymbol{x},t)|^2 \biggr]
\,\mathrm{d}V
\end{align}で定めると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d}t}(t)
&=\int_V
\biggl[ \frac{\partial \phi}{\partial t} \underbrace{\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}}_{\rlap{=\Delta\phi}}
+\boldsymbol{\nabla}\phi \cdot \boldsymbol{\nabla}\biggl(\frac{\partial \phi}{\partial t}\biggr) \biggr]
\,\mathrm{d}V\\
&=\int_{\partial V}
\frac{\partial \phi}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial n}
\,\mathrm{d}S
\end{align}となる.但し,グリーンの定理
\begin{align}
&\int_V u\Delta v \,\mathrm{d}V
=\int_V \underbrace{u[\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\nabla}v)]}
_{\rlap{=\boldsymbol{\nabla}\cdot [u (\boldsymbol{\nabla}v)]
- (\boldsymbol{\nabla}u)\cdot(\boldsymbol{\nabla}v)}}
\,\mathrm{d}V \\
&=\int_{\partial V} [u (\boldsymbol{\nabla}v)] \cdot\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S
-\int_V (\boldsymbol{\nabla}u)\cdot(\boldsymbol{\nabla}v) \,\mathrm{d}V \\
&=\int_{\partial V} u \frac{\partial v}{\partial n} \,\mathrm{d}S
-\int_V (\boldsymbol{\nabla}u)\cdot(\boldsymbol{\nabla}v) \,\mathrm{d}V \\
&\quad\Biggl(\frac{\partial v}{\partial n} =(\boldsymbol{\nabla}v) \cdot\boldsymbol{n} \Biggr)
\end{align}を用いた.【参考】$u$と$v$を入れ替えた式を使えば,
\begin{align}
\int_V (u\Delta v - v\Delta u) \,\mathrm{d}V
&=\int_{\partial V} \biggl(u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \biggr)\,\mathrm{d}S
\end{align}であることもわかる.

電磁気学

\begin{align}
&\boldsymbol{E}
=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}-\mathrm{grad\,}\phi \\
&\boldsymbol{B}
=\mathrm{rot\,} \boldsymbol{A} \\
&\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} -\Delta \biggr)\boldsymbol{A}
=0\\
&\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} -\Delta \biggr)\phi
=0\\
&\mathrm{div\,} \boldsymbol{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} = 0
\end{align}

\begin{align}
&\frac{1}{2}
\biggl[
\biggl(\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)\biggr)^2
+|\boldsymbol{\nabla} \phi(\boldsymbol{x},t)|^2
\biggr] \\
&=
\end{align}

音波



量子力学

参考文献 / 記事

【波動方程式】
[1]現代数学への入門 熱・波動と微分方程式 (岩波オンデマンドブックス)

【電磁波】
[2]理論電磁気学:付録Aには,Greenの定理を始めとしてベクトル解析についての解説がある.
[3]場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

【流体・音波】
[4]Hydrodynamics (Dover Books on Physics)
[5]流体力学 (前編) (物理学選書 (14))