球を過ぎる流れ

POINT

  • 定常な一様流の中に球を固定したときの流れと圧力を求める(但し,非圧縮流体でReynolds数が小さい場合).
  • 得られた結果から,球に働く力を求めることができる.

有名な問題ですが,文献によって導出方法が異なります.Lamb(文献[1])は,調べたのもの中では,最も機械的な計算で導出が可能です.他の問題にも応用が効くという点から,個人的にはこの方法が好みです.

Landau(文献[2])は物理的な考察でバッサリ計算を省いています(ロジックが追えていません...).納得がいく説明ができるようになれば,追記するかもしれません.

文献[3]では,解の形を仮定して導いています.特に解説は不要かと思います.
【関連記事】

概要

Reynolds数が小さい場合には
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}
\simeq \frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}
\end{aligned}
となることから,Navier-Stokes方程式は
\begin{aligned}
\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}
=\boldsymbol{K} -\frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p + \nu \Delta\boldsymbol{u}
\end{aligned}
となる(Stokes近似).

したがって,外力がない場合に非圧縮流体の定常流を考えると

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p & (\text{Navier-Stokes方程式}) \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0 & (\text{連続の方程式})
\end{cases}
\end{aligned}
が成り立つ.

Stokesの抵抗の法則
定常な流れの場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$が方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases}
\end{aligned}
で定まる場合を考える.

一様な流れの場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})=U\boldsymbol{e}_{z}$の中に,半径$a$の球を静止させると,球に働く力は

\begin{aligned}
\boldsymbol{F}
=6\pi\mu a U \boldsymbol{e}_{z}
\end{aligned}
となる.
【導出】
関連記事[B]を参照.//

LAMBの方法

文献[1]の方法です.文献に記載されている内容から,以下を修正しています.
  • ベクトルの成分表記で議論しているのがわかりにくいので,見やすい形に修正.
  • 記載されている方法だと解の係数が決まらないので,議論の方法を修正.

一般論

以下で,$f=\phi, \chi, p$は$\Delta f=0$を満たすので.$r$の次数ごとの和
\begin{aligned}
&f(\boldsymbol{r})
=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{n}(\boldsymbol{r}) \\
&(f_{n}(\boldsymbol{r})= r^{n} \times (\theta,\varphi\text{の関数}))
\end{aligned}
で表せる($f_{n}=\phi_{n}, \chi_{n} ,p_{n}$,$\Delta f_{n}=0$)ことを用いています(文献[1] $\S 81$や,ラプラス方程式 - Notes_JP).$f_{n}$は「$n$次の体球調和関数」と呼ばれます(関連記事[D]).

一般論
方程式
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \mu\Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{\nabla}p \\
\, \mathrm{div\,} \boldsymbol{u}=0
\end{cases}
\end{aligned}
の解は,任意の調和関数$\phi, \chi$($\Delta \phi = \Delta \chi = 0$)を用いて
\begin{aligned}
\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r})
&= \bigl[ \boldsymbol{\nabla} \phi
+ \boldsymbol{\nabla} \chi \times \boldsymbol{r} \bigr] \\
&\quad
+\frac{1}{\mu} \sum_{n}
\biggl[ \alpha_{n} r^{2} \boldsymbol{\nabla}p_{n}
+\beta_{n} r^{2n+3} \boldsymbol{\nabla} \biggl(\frac{p_{n}}{r^{2n+1}}\biggr) \biggr] \\
&\begin{cases}
\displaystyle \, \alpha_{n}=\frac{1}{2(2n+1)} \\
\displaystyle \, \beta_{n}=\frac{n}{(n+1)(2n+1)(2n+3)}
\end{cases}
\end{aligned}
で与えられる.
【導出】
関連記事[A]を参照.//

解の性質
上の解$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$は
\begin{aligned}
&\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n} \biggl[n\phi_{n}(\boldsymbol{r})
+\frac{1}{\mu} \frac{n}{2(2n+3)} r^{2} p_{n} (\boldsymbol{r})
\biggr] \\
&\boldsymbol{r} \cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{u} (\boldsymbol{r}) \\
&=\sum_{n} n(n+1) \chi_{n}(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
を満たす.
【導出】
関連記事[A]を参照.//

軸対称(+α)な場合

$\boldsymbol{u}$の$\varphi$依存性がなく,さらに$u_{\varphi}=0$,$\boldsymbol{r}\cdot\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}=0$の場合を考えます.このとき,$\Delta\phi=\Delta p=0$なので
\begin{aligned}
\phi(r,\theta)
&=\sum_{l=0}^{\infty} (A_{l} r^{l} + B_{l} r^{-(l+1)}) P_{l}(\cos\theta) \\
p(r,\theta) /\mu
&=\sum_{l=0}^{\infty} (C_{l} r^{l} + D_{l} r^{-(l+1)}) P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
と表せます(ラプラス方程式 - Notes_JP).

同様に,$\Delta\chi=0$と$\chi_{n}=0\,(n\neq -1,0)$から

\begin{aligned}
\chi(r,\theta)
&=E + F\frac{1}{r}
\end{aligned}
と表せます($P_{0}=1$の項だけ残る).よって,$\boldsymbol{\nabla} \chi=-F \boldsymbol{r}/r^{3}$なので
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\chi \times \boldsymbol{r}
=0
\end{aligned}
となり,$\boldsymbol{u}$に$\chi$の寄与は現れません.

以上の記法のもと,次が示せます:

軸対称な場合
「一般論」で導いた解$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})$は
\begin{aligned}
u_{r} (r,\theta)
&=\sum_{l=0}^{\infty}
\biggl\{ l A_{l} r^{l-1} -(l+1) B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad\qquad
+\frac{l}{2(2l+3)} C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad\qquad
+\frac{l+1}{2(2l-1)} D_{l} r^{-l}
\biggr\} P_{l}(\cos\theta) \\
u_{\theta} (r,\theta)
&=\sum_{l=1}^{\infty}
\biggl\{ A_{l} r^{l-1} + B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad
+\frac{l+3}{2(l+1)(2l+3)} C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad
-\frac{l-2}{2l(2l-1)} D_{l} r^{-l}
\biggr\} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
となる.
【導出】
極座標では
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}
=\boldsymbol{e}_{r}\frac{\partial}{\partial r}
+\boldsymbol{e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}
+\boldsymbol{e}_{\varphi} \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \varphi}
\end{aligned}
である.よって,「一般論」で導いた解の$\boldsymbol{e}_{r}$の項を抜き出せば
\begin{aligned}
& u_{r} (r,\theta) \\
&=\sum_{l=0}^{\infty}
\biggl\{ l A_{l} r^{l-1} -(l+1) B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad
+[l \alpha_{l} -(l+1) \beta_{l} ]C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad
+[- (l+1) \alpha_{-(l+1)} + l \beta_{-(l+1)} ] D_{l} r^{-l}
\biggr\} P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
ここで,
\begin{aligned}
l \alpha_{l} -(l+1) \beta_{l}
&=\frac{l}{2(2l+1)} - \frac{l}{(2l+1)(2l+3)} \\
&=\frac{[(2l+3)-2]l}{2(2l+1)(2l+3)}
=\frac{l}{2(2l+3)}
\end{aligned}
であり,$l\to -(l+1)$とすれば
\begin{aligned}
- (l+1) \alpha_{-(l+1)} + l \beta_{-(l+1)}
&=\frac{l+1}{2(2l-1)}
\end{aligned}
なので,$u_{r}$の表式が得られる.

【注】「一般論」で$\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})=r u_{r}$の表式がわかっている.これを使った方が簡単だが,ここではあえて具体的に計算した.

同様に,「一般論」で導いた解の$\boldsymbol{e}_{\theta}$の項を抜き出せば

\begin{aligned}
u_{\theta} (r,\theta)
&=\sum_{l=0}^{\infty}
\biggl\{ A_{l} r^{l-1} + B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad
+(\alpha_{l} + \beta_{l} ) C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad
+(\alpha_{-(l+1)} + \beta_{-(l+1)} ) D_{l} r^{-l}
\biggr\} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
となる($\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{l}(\cos\theta)=-P_{l}^{~1}(\cos\theta)$と表すこともできる.また,$P_{0}=1$より$l=0$の寄与は消える).ここで,
\begin{aligned}
\alpha_{l} +\beta_{l}
&=\frac{1}{2(2l+1)} + \frac{l}{(l+1)(2l+1)(2l+3)} \\
&=\frac{(l+1)(2l+3)+2l}{2(l+1)(2l+1)(2l+3)} \\
&=\frac{l+3}{2(l+1)(2l+3)}
\end{aligned}
であり,$l\to -(l+1)$とすれば
\begin{aligned}
\alpha_{-(l+1)} + \beta_{-(l+1)}
&=-\frac{l-2}{2l(2l-1)}
\end{aligned}
なので,$u_{\theta}$の表式が得られる.//

境界条件と速度・圧力

球をおいたときの速度,圧力
半径$a$の球を原点に置くとき,速度場は
\begin{aligned}
u_{r} (r,\theta)
&= U\biggl(1 -\frac{3a}{2 r} + \frac{a^{3}}{2 r^{3}} \biggl) \cos\theta \\
u_{\theta} (r,\theta)
&=-U\biggl(1 - \frac{3a}{4r} - \frac{a^{3}}{4 r^{3}}\biggr) \sin\theta
\end{aligned}
となる.また,圧力は無限遠での値を$p_{0}$で表すと
\begin{aligned}
p(r,\theta)
&= p_{0} -\mu\frac{3a}{2r^{2}}U \cos\theta
\end{aligned}
となる.
【導出】
球を原点に置くとき,境界条件は
意味
1 $\boldsymbol{u} \underset{r\to\infty}{\to} U\boldsymbol{e}_{z}$ 無限遠で球の影響なし
2 $\boldsymbol{u} =0 \quad(r=a)$ 球表面で粘着
(滑りなし,no-slip)
3 $\boldsymbol{r} \cdot \mathrm{rot\,}\boldsymbol{u} =0$ $\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}\propto \boldsymbol{e}_{\varphi}$
($z$軸が中心の同心円状ベクトル場)
となる.境界条件3は,既に上の表式を求める際に課しているので,係数を決定するために考える必要があるのは境界条件1,2である.


解は

\begin{aligned}
u_{r} (r,\theta)
&= - \biggl(\frac{B_{0}}{r^{2}} + \frac{D_{0}}{2} \biggl) \\
&\quad
+\biggl(A_{1} -\frac{2 B_{1}}{r^{3}}
+\frac{C_{1}}{10} r^{2} +\frac{D_{1}}{r} \biggl) P_{1}(\cos\theta) \\
&\quad
+\sum_{l=2}^{\infty}
\biggl\{ l A_{l} r^{l-1} -(l+1) B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad\qquad
+\frac{l}{2(2l+3)} C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad\qquad
+\frac{l+1}{2(2l-1)} D_{l} r^{-l}
\biggr\} P_{l}(\cos\theta) \\
u_{\theta} (r,\theta)
&=\biggl(A_{1} + \frac{B_{1}}{r^{3}}
+\frac{C_{1}}{5}r^{2} + \frac{D_{1}}{2r} \biggr)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{1}(\cos\theta) \\
&\quad
+\sum_{l=2}^{\infty}
\biggl\{ A_{l} r^{l-1} + B_{l} r^{-(l+2)} \\
&\qquad
+\frac{l+3}{2(l+1)(2l+3)} C_{l} r^{l+1} \\
&\qquad
-\frac{l-2}{2l(2l-1)} D_{l} r^{-l}
\biggr\} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{l}(\cos\theta)
\end{aligned}
と表すことができる.

境界条件1から$r\to\infty$で

\begin{aligned}
u_{r}&=\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{e}_{r} \\
&\to (U\boldsymbol{e}_{z}) \cdot \boldsymbol{e}_{r}
= U\cos\theta
=U P_{1}(\cos\theta) \\
u_{\theta}&=\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{e}_{\theta} \\
&\to (U\boldsymbol{e}_{z}) \cdot \boldsymbol{e}_{\theta}
= U( -\sin\theta)
=U \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} P_{1}(\cos\theta)
\end{aligned}
である(*1).これを上の解と比較することで
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, A_{1}=U,\, A_{l}=0 \,(l\geq 2) \\
\, C_{l}=0 \,(l\geq 1) \\
\, D_{0}=0
\end{cases}
\end{aligned}
がわかる.

同様に,境界条件2から「$\boldsymbol{u}(a,\theta) =0$」なので

\begin{aligned}
&
\begin{cases}
\, B_{0}=0 \\
\begin{cases}
\, \displaystyle
U-\frac{2B_{1}}{a^{3}} + \frac{D_{1}}{a} = 0 \\[1em]
\, \displaystyle
U+\frac{B_{1}}{a^{3}} + \frac{D_{1}}{2a} = 0
\end{cases} \\[2em]
\begin{cases}
\, 2(2l-1)B_{l} - a^{2}D_{l}=0 & (l \geq 2) \\
\, 2l(2l-1)B_{l} - (l-2) a^{2}D_{l}=0 & (l \geq 2)
\end{cases}
\end{cases}
\end{aligned}
がわかる.連立方程式を解くと
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \displaystyle
B_{1}=-\frac{a^{3}}{4}U ,\quad
B_{l}=0 \, (l \geq 2) \\[1em]
\, \displaystyle
D_{1}=-\frac{3a}{2} U ,\quad
D_{l}=0 \, (l \geq 2)
\end{cases}
\end{aligned}
となる.

以上で求めた係数を代入することで,$u_{r}, u_{\theta},p/\mu$の表式を得る.但し,圧力は

\begin{aligned}
p(r,\theta) /\mu
&= C_{0} -\frac{3a}{2r^{2}}U \cos\theta
\end{aligned}
だから,$\displaystyle p_{0}=\lim_{r\to \infty} p(r,\theta) = \mu C_{0}$より$C_{0}$が定まる.//

参考文献

*1:$\boldsymbol{e}_{r}=\begin{pmatrix} \sin\theta \cos\varphi \\ \sin\theta \sin\varphi \\ \cos\theta \end{pmatrix}, \boldsymbol{e}_{\theta} =\begin{pmatrix} \cos\theta \cos\varphi \\ \cos\theta \sin\varphi \\ -\sin\theta \end{pmatrix}$