積分公式(三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数)の一覧と導出


  • 積分公式の一覧(途中計算あり).
  • 対象:三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数.


基本的な不定積分公式を導出します.

以下では$a>0$とし,積分定数は省略します.

指数関数


\begin{align}
&\int e^x\,\mathrm{d}x
=e^x\\
&\int a^x\,\mathrm{d}x
=\int e^{\log a^x}\,\mathrm{d}x
=\int e^{x\log a}\,\mathrm{d}x
=\frac{a^x}{\log a}
\end{align}

三角関数

あまり見慣れないかもしれませんが,以下で関数を定義します:

\begin{align}
\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad
\mathrm{cosec\,} x=\frac{1}{\sin x},\quad
\cot x=\frac{1}{\tan x}
\end{align}

三角関数に関する主な積分は,以下で計算できます:


\begin{align}
&\int \sin x\,\mathrm{d}x
=-\cos x\\
&\int \cos x\,\mathrm{d}x
=\sin x\\
%
&\int \tan x\,\mathrm{d}x
=-\int \frac{(\cos x)^\prime}{\cos x}\,\mathrm{d}x
=-\log|\cos x|\\
&\int \cot x\,\mathrm{d}x
=\int \frac{(\sin x)^\prime}{\sin x}\,\mathrm{d}x
=\log|\sin x|\\
&\int \sec^2x\,\mathrm{d}x
=\int (\tan x)^\prime\,\mathrm{d}x
=\tan x\\
&\int \mathrm{cosec\,}^2x\,\mathrm{d}x
=-\int (\cot x)^\prime\,\mathrm{d}x
=-\cot x\\
&\int \sec x\,\mathrm{d}x
=\cdots
=\log|\sec x+\tan x|\\
&\int \mathrm{cosec\,} x\,\mathrm{d}x
=\cdots
=\log|\tan (x/2)|
\end{align}

双曲線関数

双曲線関数は,指数関数$e^x$を用いて

\begin{align}
&\sinh x
=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
&\cosh x
=\frac{e^x + e^{-x}}{2}
\end{align}
で定義されます.

指数関数の積分公式により,以下がわかります:


\begin{align}
&\int \cosh x\,\mathrm{d}x
=\sinh x\\
&\int \sinh x\,\mathrm{d}x
=\cosh x
\end{align}

対数関数

部分積分を行うことにより,対数関数の積分が計算できます:

\begin{align}
&\int \log x\,\mathrm{d}x
=\int \Bigl[(x\log x)^\prime-x(\log x)^\prime\Bigr]\,\mathrm{d}x
=x\log x-x
\end{align}

有理関数


\begin{align}
&\int x^r\,\mathrm{d}x
=
\begin{cases}
\,\dfrac{x^{r+1}}{r+1}&r\neq-1\\
\,\log|x|& r=-1
\end{cases}\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}
=\int\frac{\mathrm{d}(\tan y)}{1+(\tan y)^2}
=\int\frac{1/\cos^2 y}{1/\cos^2 y}\,\mathrm{d}y
=y
=\arctan x\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}
=\int \frac{1}{a}\frac{\mathrm{d}(x/a)}{1+(x/a)^2}
=\frac{1}{a}\arctan(x/a)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}
=\int\Bigl(\frac{-1}{x+a}+\frac{1}{x-a}\Bigr)\,\frac{\mathrm{d}x}{2a}
=\frac{1}{2a}\log\Bigl|\frac{x-a}{x+a}\Bigr|
\end{align}

無理関数

適当な変数変換により,次の計算ができます:

\begin{align}
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\sin y)}{\sqrt{1-\sin^2y}}
=\int\frac{\cos y}{|\cos y|}\,\mathrm{d}y
=\arcsin x\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+1}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\sinh y)}{\sqrt{(\sinh y)^2+1}}
=\int\frac{\cosh y}{\cosh y}\,\mathrm{d}y
=y
=\log\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}
=\int\frac{\mathrm{d}(\cosh y)}{\sqrt{(\cosh y)^2-1}}
=\int\frac{\sinh y}{|\sinh y|}\,\mathrm{d}y
=|y|
=\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\quad(x>1)
\end{align}

これらを利用すれば,


\begin{align}
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}
=\arcsin (x/a)
,\quad\Bigl(-\frac{\pi}{2}<
y
<\frac{\pi}{2}\Bigr)\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+ a^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2+ 1}}
=\log\biggl[(x/a)+\sqrt{(x/a)^2+1}\biggr]\\
&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2- a^2}}
=\int\frac{\mathrm{d}(x/a)}{\sqrt{(x/a)^2- 1}}
=\log\biggl[(x/a)+\sqrt{(x/a)^2-1}\biggr]
,\qquad(x>a)
\end{align}

さらにこれらを利用すれば,部分積分により


\begin{align}
&\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots\\
&\int\sqrt{x^2+ a^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots\\
&\int\sqrt{x^2- a^2}\,\mathrm{d}x
=\cdots
\end{align}
が計算できます.

参考文献

プライバシーポリシー

お問い合わせ