POINT
- 極限操作（lim,微分,積分）を入れ替えられない例の紹介．
- 一様収束や微分，積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる．
絵（グラフ）で考えるとわかりやすいです．次のポイントさえ掴んでいれば，反例を考えることは簡単です：
- 微分はグラフの傾き．
- 積分は面積．
- 「一様収束」は，『「収束先の関数から一定距離にある床と天井」が迫ってくる』イメージ．
また，極限操作の順序交換はLebesgue積分論を学ぶとより簡単に扱うことができます．
【関連記事】
limとlimの入れ替え
極限記号が入れ替えられない例
2つの添字を持つ数列\begin{aligned}
a_{m,n}=\frac{m}{m+n}
\end{aligned}
を考えれば，a_{m,n}=\frac{m}{m+n}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(\text{for all $n$})\\
\lim_{n\to\infty} a_{m,n}=0&\qquad(\text{for all $m$})
\end{aligned}
なので，\lim_{m\to\infty} a_{m,n}=1&\qquad(\text{for all $n$})\\
\lim_{n\to\infty} a_{m,n}=0&\qquad(\text{for all $m$})
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{m\to\infty} a_{m,n}\right) \\
&=1
\neq
0=\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty} a_{m,n}\right)
\end{aligned}
となる．&\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{m\to\infty} a_{m,n}\right) \\
&=1
\neq
0=\lim_{m\to\infty}\left(\lim_{n\to\infty} a_{m,n}\right)
\end{aligned}
積分とlimの入れ替え
定理
有界区間$[a,b]$上の(Riemann可積分である)関数列$\{f_n\}$が$f$に一様収束するとき，
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x
=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x
=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
\end{aligned}
- この結果は，Riemann-Stieltjes積分に一般化できます（参考：Rudin）．
- $f_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n g_k$を考えれば，級数にも適用できます．
以下で，
- 「有界」の仮定は除けない
- 「一様収束」の仮定は除けない
ことを見てみましょう．
非有界区間で一様収束するが，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$と$\displaystyle\int$を入れ替えられない例
以下の2条件を満たす関数列
- 面積は常に有限
- $0$に一様収束する
がすぐに見つかります．
\begin{aligned}
f_n(x)=
\begin{cases}
\,\dfrac{1}{n^2}x&(0\leq x< n)\\
\,-\dfrac{1}{n^2}x+\dfrac{2}{n}&(n\leq x< 2n)\\
\,0&(\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
f_n(x)=
\begin{cases}
\,\dfrac{1}{n^2}x&(0\leq x< n)\\
\,-\dfrac{1}{n^2}x+\dfrac{2}{n}&(n\leq x< 2n)\\
\,0&(\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
任意の$x$に対して$\left| f_n(x)\right|\leq 1/n$なので，関数列$\{f_n\}_n$は$0$に一様収束します．さらに，任意の$n$に対して
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x=1
\end{aligned}
が成り立つので\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x=1
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x \\
&=1
\neq
0=\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
となり，両者の計算結果は一致しません．&\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_n(x)\,\mathrm{d}x \\
&=1
\neq
0=\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
有界区間で各点収束するが，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$と$\displaystyle\int$を入れ替えられない例
今度は，一様収束しなくて良いことがポイントです．上の例で$y$方向を潰した代わりに，$x$軸方向に潰して面積を$0$にすれば良いわけです．
\begin{aligned}
f_n(x)=
\begin{cases}
\,n^2x&(0\leq x < 1/n)\\
\,-n^2x+2n&(1/n\leq x < 2/n)\\
\,0&(2/n\leq x\leq 2)
\end{cases}
\end{aligned}
を考えれば，f_n(x)=
\begin{cases}
\,n^2x&(0\leq x < 1/n)\\
\,-n^2x+2n&(1/n\leq x < 2/n)\\
\,0&(2/n\leq x\leq 2)
\end{cases}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2} f_n(x)\,\mathrm{d}x \\
&=1
\neq
0=\int_{0}^{2} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
となる．&\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{2} f_n(x)\,\mathrm{d}x \\
&=1
\neq
0=\int_{0}^{2} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x
\end{aligned}
微分とlimの入れ替え
定理
$\{f_n\}$を有界区間$[a,b]$上の(微分可能な)関数列とする．
2条件
2条件
- ある$1$点$x_0\in[a,b]$で，$\displaystyle\lim_{n\to\infty} f^\prime_n(x_0)=f(x_0)$
- $\{f^\prime_n\}$が，$[a,b]$上$f^\prime$に一様収束する
を満たすとき，以下が成立する：
- $\{f_n\}$は，$[a,b]$上$f$に一様収束する
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f^\prime_n(x)=f^\prime(x)\qquad(x\in[a,b)])$
関数列は一様収束するが，導関数列が一様収束しない場合の反例
2条件
- $0$に一様収束する
- 傾きがどんどん大きくなる
は同時に実現可能であることはすぐにわかります．以下で定められる関数列$\{f_n\}$を考えましょう．この関数列は，$n$が大きくなるにつれて周期が小さくなり，傾きの最大値がどんどん大きくなっていきます．
\begin{aligned}
f_n(x)=
\frac{1}{n}\sin (n^2x)
\end{aligned}
f_n(x)=
\frac{1}{n}\sin (n^2x)
\end{aligned}
$\left|f_n\right|\leq 1/n$なので，関数列$\{f_n\}$は$0$に一様収束します．一方で，導関数は
\begin{aligned}
f^\prime_n(0)=
n
\rightarrow\infty
\qquad(n\rightarrow \infty)
\end{aligned}
です．従って，f^\prime_n(0)=
n
\rightarrow\infty
\qquad(n\rightarrow \infty)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{d}f_n}{\mathrm{d} x}(0)
=\infty
\neq
0
=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\lim_{n\to\infty} f_n\right)(0)
\end{aligned}
であることがわかります．\lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{d}f_n}{\mathrm{d} x}(0)
=\infty
\neq
0
=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\lim_{n\to\infty} f_n\right)(0)
\end{aligned}
参考文献
もっと例を知りたい場合は，次の2つの文献がオススメです．[1]微分積分学 ((サイエンスライブラリ―数学))
微積分についてコンパクトにまとまっています．適度に絵もあるので，読みやすいと思います．
[2]Principles of Mathematical Analysis (Int'l Ed)
洋書は，構成や証明がスッキリしているものが多いです（なぜでしょう？）．そのため，他の教科書（特に和書）と比較して「え？これだけで証明できたんだ」と気付かされることがあります．また，数学の教科書は英文も難しくなく，たとえわからなくても論理的に推測できます．微積分の教科書としては[2]がオススメです．但し，絵はありません．理解を深めるためにも自分で描いてみましょう．
