【行列の対角化】公式を行列表示で理解する

POINT

  • 行列の対角化についての解説.
  • 対角化の操作は,行列表示の基底の変換に相当する.

行列表示を学ぶと,対角化が「基底を取り直す」操作であることが理解できます.

対角化とは?

対角化とは,

  1. 行列$\hat{M}$の基底を上手く取り直し
  2. 上手くとった基底で$\hat{M}$を行列表示し直す(これを以下$M$で表す)ことにより,
  3. 対角行列にしてしまおう!

という操作である,と言うことができます.


それでは,「基底を上手く取り直す」とは具体的にどういうことなのか,以下で詳しく見てみましょう ("$\hat{}$"の付け方を行列表示の記事と対応をさせました.混乱した時は2つの記事を比較してみて下さい).

対角行列であるための条件

1. 基底が単位ベクトル$\{e_1,...,e_n\}$の場合
「行列$M$」と「$i$成分が1の単位ベクトル$e_i$」の間には
$$M=(Me_1,...,Me_n)$$
という関係があります(回転行列(2次元・3次元)の導出〜超簡単な方法 - Notes_JP).従って,$M$が対角行列
\begin{align}
M=
\left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 &0 & \cdots & 0\\
0 &\lambda_2&\cdots& 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \\
0 & \cdots& 0 & \lambda_n
\end{array}
\right)
\tag{1}
\label{eq:diag_M}
\end{align}
である必要十分条件は
\begin{align}
M e_i=\lambda_i e_i\tag{2}
\label{eq:diag}
\end{align}
となることです.


2. 基底がベクトル$\{x_1,...,x_n\}$の場合
一方で,$\hat{M}$の基底$\{x_1,...,x_n\}$に関する行列表示とは,$x_i$を$e_i$だと思ったときに$\hat{M}$を行列として表したものでした.よって「$\hat{M}$の行列表示$M$が式(\ref{eq:diag_M})での対角行列となる」必要十分条件は,式 (\ref{eq:diag})で$e_i\rightarrow x_i$とすればよく,

\begin{align} \hat{M} x_i=\lambda_i x_i\tag{3} \label{eq:diag2} \end{align}

となります.


従って,式 (\ref{eq:diag2})が『$\{x_1,...,x_n\}$が上手い(対角化できる)基底であるための条件式』というわけです.これは正に,対角行列を求める際に現れる式ですね.

対角行列の求め方

「もとの行列$\hat{M}$と対角行列$M$の関係」がわかれば,対角行列の求め方がわかったことになります.

$e_i\rightarrow x_i$で定められる行列を$P$で表しましょう.つまり,
\begin{align}
Pe_i=x_i
\end{align}
とします.この行列$P$を用いれば,式 (\ref{eq:diag2})は
\begin{align}
P^{-1}\hat{M} P e_i=\lambda_i e_i
\end{align}
となります.従って

\begin{align} P^{-1}\hat{M} P = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 &0 & \cdots & 0\\ 0 &\lambda_2&\cdots& 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ 0 & \cdots& 0 & \lambda_n \end{array} \right) =M,\quad P=(x_1,...,x_n) \end{align}

であることが示されました.これもまた,対角行列を求めるおなじみの式です.

プライバシーポリシー

お問い合わせ