【行列表示】複素数・四元数・Pauli行列

POINT

  • 行列表示とは,ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと.
  • 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる.

線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います.この記事では,「行列表示」とは一体何なのかについて解説します.また,簡単な応用例として,

  • 複素数の行列表現
  • 四元数の行列表現
  • Pauli行列(量子力学)

を導出します.

行列表示とは?

結論からいうと,「演算子$\hat{A}$(あるいは線形写像$f$)を基底$x_1,x_2,...,x_n$について行列表示せよ」とは,

$x_i$を$e_i= \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{array} \right) (i~~~ $と思ったときに,演算子$\hat{A}$(あるいは線形写像$f$)は行列でどう表わされるか考えよ

という意味です(参考:数学では「同型写像により同一視している」といいます).


一般的に,行列$M$とベクトル$e_i$の間には
$$M=(Me_1,...,Me_n)$$
という関係があります (回転行列(2次元・3次元)の導出〜超簡単な方法 - Notes_JP)

この性質から,「$\hat{A}$の行列表示$A$」は$\hat{A}x_1,...,\hat{A}x_n$を計算すれば求めることができます.
(以下では$\hat{}$なしの$A$を,「演算子$\hat{A}$の行列表示」の意味で用います.)


実際,$\displaystyle \hat{A}x_i=\sum_j a_{ij} x_j$と表せるとき,$x_i$を$e_i$と思えば,$\displaystyle Ae_i=\sum_j a_{ij} e_j$ですから,
$$
A
=(Ae_1,...,Ae_n)
=
\begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots&a_{n1}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{1n}&\cdots&a_{nn}
\end{pmatrix}
$$
と$\hat{A}$の行列表示$A$が導かれます.


【例】複素数の行列表現

複素数$z=a+ib\quad(a,b\in\mathbb{R})$は,$1$と$i$を基底とする2次元のベクトル空間とみなすことができます.そこで,複素数$z=a+ib$を基底$\{1,i\}$について行列表示することを考えましょう.

上で触れたように,行列は基底の変換先が決まれば求めることができます.従って,$z=a+ib$を掛けるという線形写像の行列表示は
\begin{align}
&(a+ib)\cdot 1=a+ib\\
&(a+ib)\cdot i=-b+ia
\end{align}
だけからわかります.つまり,$1$を$\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)$,$i$を$\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$とみなせばよく,
\begin{align}
\begin{pmatrix}
a&-b\\
b&a
\end{pmatrix}
\end{align}
であることがわかります.これは,回転行列を求めるのと全く同じ手法です(回転行列(2次元・3次元)の導出〜超簡単な方法 - Notes_JP).

Wikipediaの表式と同じになっていることも確かめてみてください:複素数 - Wikipedia

【例】四元数の行列表現

四元数の行列表現も,複素数と全く同じ考え方で導出できます.但し,複素ベクトル空間として捉えるか,実ベクトル空間として捉えるかで行列表現が変わってきます.今回も,導出した行列表現をWikipediaと比較してみてください(四元数 - Wikipedia)

複素ベクトル空間としての行列表現

四元数$q=a+bi+cj+dk\quad(a,b,c,d\in\mathbb{R})$が
\begin{align}
q=(a+ib)+(-j)(-c+id)
\end{align}
と表せることに着目しましょう.ここで,$a+ib,-c+id\in\mathbb{C}$ですから,四元数は$\{1,-j\}$を基底とする複素ベクトル空間とみなすことができます.

四元数を$1,-j$に掛けると
\begin{align}
&\left[(a+ib)+(-j)(-c+id)\right]\cdot 1 \\
&=(a+ib)+(-j)(-c+id)\\ \\ \\
&\left[(a+ib)+(-j)(-c+id)\right]\cdot (-j) \\
&=(a+ib)(-j)+(-j)(-c+id)(-j)\\
&=(-j)(a-ib)+(-j)(-j)(-c-id)\\
&=(c+id)+(-j)(a-ib)
\end{align}
となることから,行列表現が求まります:
\begin{align}
\begin{pmatrix}
a+ib&c+id\\
-c+id&a-ib
\end{pmatrix}
\end{align}

実ベクトル空間としての行列表現

全く同様に,$\{1,i,j,k\}$を基底とする4次元実ベクトル空間と見ることもできます.この場合は$4\times 4$行列として表現できます.導出は省略します.

【例】Pauli行列

次に,Pauli行列の導出を考えてみましょう.これはつまり,

スピン演算子$\hat{s}_x, \hat{s}_y, \hat{s}_z$を基底 $\{|+\rangle,|-\rangle\}$について行列表示しなさい.

という問題です.

スピン演算子を復習しておくと,$\hat{s}_x, \hat{s}_y, \hat{s}_z$は


\begin{align}
\hat{s}_x|\pm\rangle=\dfrac{\hbar}{2}|\mp\rangle,\quad
\hat{s}_y|\pm\rangle=\mp i\dfrac{\hbar}{2}|\mp\rangle,\quad
\hat{s}_z|\pm\rangle=\pm \dfrac{\hbar}{2}|\pm\rangle
\end{align}
を満たすような演算子です.


従って,$|+\rangle$を$\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array}
\right)$, $|-\rangle$を$\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array}
\right)$と思えば,


\begin{align}
s_x
=\dfrac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},\quad
s_y
=\dfrac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},\quad
s_z
=\dfrac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\end{align}
と行列表示できることがわかります.


ここで出てきた行列をPauli行列と呼びます:

Pauli行列
\begin{align} \sigma_x := \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},\quad \sigma_y := \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},\quad \sigma_z := \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \end{align}

参考文献

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