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鞍点法

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POINT

  • 鞍点法（鞍部点法，最急降下（線）法）の計算について．

解析関数と鞍点

解析関数（正則関数）$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す（$f=u+iv$）ときCauchy-Riemannの方程式
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
\end{aligned}
が成り立ちます（$z=x+iy$）．

鞍点法は，次の性質に基づき積分を近似的に計算します．

解析関数の性質
解析関数$f=u+iv$に対して次が成立する：
  1. $u$の等高線と$v$の等高線は直交する．
  2. $z_0=x_0+iy_0$で$f^\prime(z_0)=0$, $f^{\prime\prime}(z_0)\neq 0$を満たすとき，$u$と$v$は$(x_0, y_0)$で鞍点となる．
【1.の証明】
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}u\cdot \boldsymbol{\nabla} v
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x}\\[8pt]
\dfrac{\partial u}{\partial y}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial v}{\partial x}\\[8pt]
\dfrac{\partial v}{\partial y}
\end{pmatrix}\\
&=\frac{\partial u}{\partial x} \underbrace{\frac{\partial v}{\partial x}}_{\mathrlap{=-\frac{\partial u}{\partial y}}}
+\frac{\partial u}{\partial y} \underbrace{\frac{\partial v}{\partial y}}_{\mathrlap{=\frac{\partial u}{\partial x}}} \\
&=0
\end{aligned}
から，$u$の等高線と$v$の等高線は直交することがわかる．//

【2.の証明】
まず，

\begin{aligned}
0
&=f^\prime(z_0)\\
&=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) +i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) \\
&=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) -i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)
\end{aligned}
から
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)=\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)=0 \\
&\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0)=0
\end{aligned}
となり，$(x_0, y_0)$は$u,v$の極値点候補である．「極大点・極小点・極値点でない」の判定は，ヘッセ行列を用いれば良い．

まず，ヘッセ行列の計算で用いる関係式を導く．Cauchy-Riemannの方程式から

\begin{aligned}
\Delta u
&=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}
- \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x} \\
&=0 \\
\Delta v
&=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \\
&=-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}
+ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} \\
&=0
\end{aligned}
が成り立つ（$u$, $v$は調和関数）．したがって，
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_0, y_0)&=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x_0, y_0) \\
\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x_0, y_0)&=-\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(x_0, y_0)
\end{aligned}
となる．

これ（とCauchy-Riemannの方程式）を用いると，$u, v$のヘッセ行列は

\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
u_{xx} & u_{xy} \\
u_{yx} & u_{yy}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{xx} & -v_{xx} \\
-v_{xx} & -u_{xx}
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
v_{xx} & v_{xy} \\
v_{yx} & v_{yy}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
v_{xx} & u_{xx} \\
u_{xx} & -v_{xx}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
と計算できる．これらの固有値はどちらも$\pm\sqrt{(u_{xx})^2+(v_{xx})^2}=\pm |f^{\prime\prime}(z)|$である（ここで，
\begin{aligned}
f^{\prime\prime}(z)
&=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, y) +i \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x, y)
\end{aligned}
を用いた）．

仮定より$f^{\prime\prime}(z_0)\neq0 $だから，$u, v$のヘッセ行列は点$(x_0, y_0)$で正負両方の固有値を持つ（ヘッセ行列は不定符号）．したがって，点$(x_0, y_0)$は$u, v$の鞍点となる（つまり，$(x_0, y_0)$は$u,v$の極値点でない）．//

鞍点法

鞍点法
積分
\begin{aligned}
I(z)
&=\int_C g(t) e^{z f(t)} \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
は，$f^\prime (t_0)=0$，$f^{\prime\prime} (t_0)\neq 0$を満たす点$t_0$を用いて
\begin{aligned}
I(z)
&\simeq \sqrt{\frac{2\pi}{|zf^{\prime\prime}(t_0)|}} g(t_0)e^{zf(t_0)}e^{i\alpha} \quad (z\to\infty)
\end{aligned}
と近似的に計算できる．
【注】$\alpha$の意味や，その他の条件は以下の「解説」中で与える．
【解説】
変数及び被積分関数の指数部分を，それぞれ$t=x+iy$，
\begin{aligned}
\psi(t)
&=zf(t) \\
&=u(x,y)+iv(x,y)
\end{aligned}
と実部・虚部に分解する．
\begin{aligned}
f^\prime (t_0)=0,\quad f^{\prime\prime} (t_0)\neq 0
\end{aligned}
を満たす点$t_0=x_0+iy_0$を考えると，
\begin{aligned}
\psi^\prime (t_0)=0,\quad \psi^{\prime\prime} (t_0)\neq 0
\end{aligned}
である．

上で示した「性質2.」から，$u$, $v$は点$(x_0,y_0)$で鞍点となるので，点$(x_0,y_0)$から離れるに従って値を減少させるような経路が存在する．そこで，積分経路$C$を$u$が点$(x_0,y_0)$から離れるに従って最も早く減少する経路$C^{\prime}$に取り直す（$\boldsymbol{\nabla}u$に沿った方向）．すると，「性質1.」からこのような経路は$v$の等高線となる．つまり，新しい積分路上で$\psi(t)$の虚部$v$は一定であり，実部$u$だけが積分に効いてくる．$|z|\to\infty$とすると，$e^{zf}\propto e^u$は点$(x_0,y_0)$から離れるに従って急速に減少する（以下の式(1)を参照）から，積分に寄与するのは積分路の中でも点$(x_0,y_0)$の近傍だけである．

この考え方に従って積分路$C^{\prime}$を決定し，鞍点近傍での積分評価を行う．

点$t_0$の近傍で

\begin{aligned}
\psi (t)
&=\psi(t_0) + \cancel{\psi^\prime (t_0) (t-t_0)} \\
&\quad +\underbrace{\frac{1}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) (t-t_0)^2}_{\neq 0} +O\Bigl((t-t_0)^3 \Bigr)
\end{aligned}
である．$t$が上で述べた新しい積分路$C^{\prime}$上の点であるとき，$\displaystyle \frac{1}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) (t-t_0)^2$は負の実数でなくてはならない．なぜなら，もし虚数を含めば$t$が$v$の等高線上にあることに反し，正の実数であれば$t$が「$u$が点$(x_0,y_0)$から離れるに従って最も早く減少する経路」上にあることに反するからである（$t_0$付近で$\psi (t)$への寄与が最も大きいのは，$(t-t_0)$の最低次である$(t-t_0)^{2}$の項であることに注意）．

$t-t_0 = \delta e^{i\alpha}\,(\delta,\alpha\in\mathbb{R})$，$\psi^{\prime \prime}(t_0)=|\psi^{\prime \prime}(t_0)|e^{i\beta}\,(\beta\in\mathbb{R})$とすると

\begin{aligned}
\psi (t)
&=\psi(t_0) +\frac{\delta^2}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) e^{i2\alpha} +O(\delta^3) \\
&=zf(t_0) + \frac{\delta^2}{2}|zf^{\prime\prime}(t_0)| e^{i(2\alpha+\beta)} +O(\delta^3) \tag{1}
% \label{eq:near-saddle-point}
\end{aligned}
である．よって，$e^{i(2\alpha + \beta)}=-1$となるように経路$C^\prime$をとれば，$|z|\to\infty$のときの積分の寄与はほとんど点$t_0$近傍のものからとなる．

このとき，

\begin{aligned}
I(z)
&=\int_C g(t) e^{z f(t)} \,\mathrm{d}t \\
&\simeq g(t_0) e^{z f(t_0)} \int_{-\infty}^{\infty}
\exp\biggl[- \frac{\delta^2}{2} |z f^{\prime \prime}(t_0)| \biggr]
\overbrace{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\delta}}^{e^{i\alpha}}
\,\mathrm{d}\delta
\end{aligned}
となる．積分はガウス積分（ガウス積分と派生公式 - Notes_JP）
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha x^2) \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{aligned}
であるから，
\begin{aligned}
I(z)
&\simeq g(t_0) e^{z f(t_0)} e^{i\alpha} \sqrt{\frac{2\pi}{|z f^{\prime \prime}(t_0)|}}
\end{aligned}
であることがわかる．//

例

そのうち書く！

参考記事/文献

【複素解析】

【鞍点法】