鞍点法

POINT

  • 鞍点法(鞍部点法,最急降下(線)法)の計算について.

解析関数と鞍点

解析関数(正則関数)$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す($f=u+iv$)ときCauchy-Riemannの方程式
\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align}が成り立ちます($z=x+iy$).

鞍点法は,次の性質に基づき積分を近似的に計算します.

解析関数の性質
解析関数$f=u+iv$に対して次が成立する:
  1. $u$の等高線と$v$の等高線は直交する.
  2. $z_0=x_0+iy_0$で$f^\prime(z_0)=0$, $f^{\prime\prime}(z_0)\neq 0$を満たすとき,$u$と$v$は$(x_0, y_0)$で鞍点となる.
【1.の証明】
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}u\cdot \boldsymbol{\nabla} v
&=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}\\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\frac{\partial v}{\partial x}\\
\frac{\partial u}{\partial y}
\end{pmatrix}\\
&=\frac{\partial u}{\partial x} \underbrace{\frac{\partial v}{\partial x}}_{=-\dfrac{\partial u}{\partial y}}
+\frac{\partial u}{\partial y} \underbrace{\frac{\partial v}{\partial y}}_{=\dfrac{\partial u}{\partial x}} \\
&=0
\end{align}から,$u$の等高線と$v$の等高線は直交することがわかる.//

【2.の証明】
まず,
\begin{align}
0
&=f^\prime(z_0)\\
&=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0) +i \frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0) \\
&=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0) -i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)
\end{align}から
\begin{align}
&\frac{\partial u}{\partial x}(x_0, y_0)=\frac{\partial u}{\partial y}(x_0, y_0)=0 \\
&\frac{\partial v}{\partial x}(x_0, y_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_0, y_0)=0
\end{align}となり,$(x_0, y_0)$は$u,v$の極値点候補である.「極大点・極小点・極値点でない」の判定は,ヘッセ行列を用いれば良い.

まず,ヘッセ行列の計算で用いる関係式を導く.Cauchy-Riemannの方程式から
\begin{align}
\Delta u
&=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
&=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}
- \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x} \\
&=0 \\
\Delta v
&=\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \\
&=-\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}
+ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} \\
&=0
\end{align}が成り立つ($u$, $v$は調和関数).したがって,
\begin{align}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_0, y_0)&=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x_0, y_0) \\
\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x_0, y_0)&=-\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}(x_0, y_0)
\end{align}となる.

これ(とCauchy-Riemannの方程式)を用いると,$u, v$のヘッセ行列は
\begin{align}
\begin{pmatrix}
u_{xx} & u_{xy} \\
u_{yx} & u_{yy}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
u_{xx} & -v_{xx} \\
-v_{xx} & -u_{xx}
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
v_{xx} & v_{xy} \\
v_{yx} & v_{yy}
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
v_{xx} & u_{xx} \\
u_{xx} & -v_{xx}
\end{pmatrix}
\end{align}と計算できる.これらの固有値はどちらも$\pm\sqrt{(u_{xx})^2+(v_{xx})^2}=\pm |f^{\prime\prime}(z)|$である(ここで,
\begin{align}
f^{\prime\prime}(z)
&=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, y) +i \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}(x, y)
\end{align}を用いた).

仮定より$f^{\prime\prime}(z_0)\neq0 $だから,$u, v$のヘッセ行列は点$(x_0, y_0)$で正負両方の固有値を持つ(ヘッセ行列は不定符号).したがって,点$(x_0, y_0)$は$u, v$の鞍点となる(つまり,$(x_0, y_0)$は$u,v$の極値点でない).//

鞍点法

鞍点法
積分
\begin{align}
I(z)
&=\int_C g(t) e^{z f(t)} \,\mathrm{d}t
\end{align}は,$f^\prime (t_0)=0$,$f^{\prime\prime} (t_0)\neq 0$を満たす点$t_0$を用いて
\begin{align}
I(z)
&\simeq \sqrt{\frac{2\pi}{|zf^{\prime\prime}(t_0)|}} g(t_0)e^{zf(t_0)}e^{i\alpha} \quad (z\to\infty)
\end{align}と近似的に計算できる.
【注】$\alpha$の意味や,その他の条件は以下の「解説」中で与える.
【解説】
変数及び被積分関数の指数部分を,それぞれ$t=x+iy$,
\begin{align}
\psi(t)
&=zf(t) \\
&=u(x,y)+iv(x,y)
\end{align}と実部・虚部に分解する.
\begin{align}
f^\prime (t_0)=0,\quad f^{\prime\prime} (t_0)\neq 0
\end{align}を満たす点$t_0=x_0+iy_0$を考えると,
\begin{align}
\psi^\prime (t_0)=0,\quad \psi^{\prime\prime} (t_0)\neq 0
\end{align}である.

上で示した「性質2.」から,$u$, $v$は点$(x_0,y_0)$で鞍点となるので,点$(x_0,y_0)$から離れるに従って値を減少させるような経路が存在する.そこで,積分経路$C$を$u$が点$(x_0,y_0)$から離れるに従って最も早く減少する経路$C^{\prime}$に取り直す($\boldsymbol{\nabla}u$に沿った方向).すると,「性質1.」からこのような経路は$v$の等高線となる.つまり,新しい積分路上で$\psi(t)$の虚部$v$は一定であり,実部$u$だけが積分に効いてくる.$|z|\to\infty$とすると,$e^{zf}\propto e^u$は点$(x_0,y_0)$から離れるに従って急速に減少する(以下の式(\ref{eq:near-saddle-point})を参照)から,積分に寄与するのは積分路の中でも点$(x_0,y_0)$の近傍だけである.

この考え方に従って積分路$C^{\prime}$を決定し,鞍点近傍での積分評価を行う.

点$t_0$の近傍で
\begin{align}
\psi (t)
&=\psi(t_0) + \require{cancel}\cancel{\psi^\prime (t_0) (t-t_0)} \\
&\quad +\underbrace{\frac{1}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) (t-t_0)^2}_{\neq 0} +O\Bigl((t-t_0)^3 \Bigr)
\end{align}である.$t$が上で述べた新しい積分路$C^{\prime}$上の点であるとき,$\displaystyle \frac{1}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) (t-t_0)^2$は負の実数でなくてはならない.なぜなら,もし虚数を含めば$t$が$v$の等高線上にあることに反し,正の実数であれば$t$が「$u$が点$(x_0,y_0)$から離れるに従って最も早く減少する経路」上にあることに反するからである.

$t-t_0 = \delta e^{i\alpha}\,(\delta,\alpha\in\mathbb{R})$,$\psi^{\prime \prime}(t_0)=|\psi^{\prime \prime}(t_0)|e^{i\beta}\,(\beta\in\mathbb{R})$とすると
\begin{align}
\psi (t)
&=\psi(t_0) +\frac{\delta^2}{2}\psi^{\prime \prime}(t_0) e^{i2\alpha} +O(\delta^3) \\
&=zf(t_0) + \frac{\delta^2}{2}|zf^{\prime\prime}(t_0)| e^{i(2\alpha+\beta)} +O(\delta^3) \tag{1}\label{eq:near-saddle-point}
\end{align}である.よって,$2\alpha + \beta=-1$となるように経路$C^\prime$をとれば,$|z|\to\infty$のときの積分の寄与はほとんど点$t_0$近傍のものからとなる.

このとき,
\begin{align}
I(z)
&=\int_C g(t) e^{z f(t)} \,\mathrm{d}t \\
&\simeq g(t_0) e^{z f(t_0)} \int_{-\infty}^{\infty}
\exp\biggl[- \frac{\delta^2}{2} |z f^{\prime \prime}(t_0)| \biggr]
\overbrace{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\delta}}^{e^{i\alpha}}
\,\mathrm{d}\delta
\end{align}となる.積分はガウス積分(ガウス積分と派生公式 - Notes_JP
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha x^2) \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{align}であるから,
\begin{align}
I(z)
&\simeq g(t_0) e^{z f(t_0)} e^{i\alpha} \sqrt{\frac{2\pi}{|z f^{\prime \prime}(t_0)|}}
\end{align}であることがわかる.//

そのうち書く!

参考記事/文献

【複素解析】

【鞍点法】