三角関数の合成と一般化

POINT

  • 複数の三角関数の和を計算する.
  • 物理的には,単振動を複数合成することを意味する.
  • オイラーの公式を用いて導出することもできる.

三角関数の合成

まずは,$\sin$と$\cos$の合成公式を復習しましょう:
三角関数の合成
\begin{align}
& a\sin\theta+b\cos\theta \\
&=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)
\end{align}と変形できる.但し,$\alpha$は
\begin{align}
\cos\alpha
&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\sin\alpha
&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}で定義される.
三角関数の合成
三角関数の合成.角度$\alpha$は図の直角三角形で定義される.

証明は三角関数と公式 - Notes_JPを参照してください.

複数の三角関数

三角関数の合成公式は,複数の三角関数の和にも一般化できます.$\cos\theta=\sin(\theta+\pi/2)$により$\cos$は全て$\sin$に変換できるため,はじめから$\sin$だけの和を考えます.
三角関数の合成
$\color{red}{\theta}$を任意に選ぶとき,
\begin{align}
& \sum_{i=1}^N A_i \sin\theta_i\\
&=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\color{red}{\theta}+\alpha)
\end{align}と変形できる.但し,$a$, $b$, $\alpha$は
\begin{align}
a&=\biggl[\sum_{i=1}^N A_i \cos(\theta_i-\theta)\biggr] \\
b&=\biggl[\sum_{i=1}^N A_i \sin(\theta_i-\theta)\biggr] \\
\cos\alpha
&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\sin\alpha
&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}で定義される.
【証明】
\begin{align}
&\sum_{i=1}^N A_i \sin\theta_i \\
&=\sum_{i=1}^N A_i \sin\bigl[\theta+(\theta_i-\theta)\bigr] \\
&=\sum_{i=1}^N A_i \bigl[\sin\theta \cos(\theta_i-\theta) + \cos\theta \sin(\theta_i-\theta)\bigr] \\
&=a\sin\theta
+b\cos\theta \\
&=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)
\end{align}となります.但し,$a$, $b$, $\alpha$は
\begin{align}
a&=\biggl[\sum_{i=1}^N A_i \cos(\theta_i-\theta)\biggr] \\
b&=\biggl[\sum_{i=1}^N A_i \sin(\theta_i-\theta)\biggr] \\
\cos\alpha
&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\sin\alpha
&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}と定義しました.//

複素指数関数を使う方法

三角関数の計算は,オイラーの公式を用いることで複素指数関数の計算に帰着できます(参考:三角関数の公式をオイラーの公式で導く - Notes_JP
そこで,三角関数の合成公式を複素指数関数を使って導いてみましょう.

【証明】
$A_j=|A_j|e^{i\phi_j}$とし,任意の$\theta$を選んだとき,
\begin{align}
\sum_{j=1}^N A_j e^{i\theta_j}
&=\Biggl[\sum_{j=1}^N A_j e^{i(\theta_j-\theta)} \Biggr] e^{i\theta} \\
&=re^{i\alpha}\cdot e^{i\theta} \\
&=re^{i(\theta+\alpha)}
\end{align}となる.ここで,$r\geq 0$は以下で定められる:
\begin{align}
r^2
&=\Biggl| \sum_{j=1}^N A_j e^{i(\theta_j-\theta)} \Biggr|^2 \\
&=\sum_{j=1}^N |A_j|^2 \\
&\quad + 2\sum_{1\leq j < k\leq N} |A_j||A_k| \cos[(\theta_j-\theta_k)+(\phi_j-\phi_k)]
\end{align}

$\alpha$は
\begin{align}
a
&=\mathrm{Re\,}\Biggl[\sum_{j=1}^N A_j e^{i(\theta_j-\theta)} \Biggr] \\
&=\sum_{j=1}^N |A_j|\cos(\theta_j+\phi_j-\theta) \\
b
&=\mathrm{Im\,}\Biggl[\sum_{j=1}^N A_j e^{i(\theta_j-\theta)} \Biggr] \\
&=\sum_{j=1}^N |A_j|\sin(\theta_j+\phi_j-\theta)
\end{align}とするとき,
\begin{align}
\cos\alpha
&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
=\frac{a}{r}\\
\sin\alpha
&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
=\frac{b}{r}
\end{align}で定められる.//

【注】
上の導出において,次の性質を使っています:
2つの複素数$z_1 =r_1e^{i\varphi_1}$, $z_2 =r_2e^{i\varphi_2}$について
\begin{align}
& |z_1+z_2|^2 \\
&=(z_1+z_2) \overline{(z_1+z_2)} \\
&=|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\mathrm{Re\,}(z_1 \overline{z_2}) \\
&=r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2), \\
&z_1 + z_2 \\
&=\underbrace{(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)}_{=\mathrm{Re\,}(z_1 + z_2)}
+ i\underbrace{(r_1\sin\varphi_1 + r_2\sin\varphi_2)}_{=\mathrm{Im\,}(z_1 + z_2)}
\end{align}となる.

【補足】
両辺の虚部をとれば上で導いた(三角関数の)公式になります.

参考文献