今日の計算!

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POINT

  • 計算をした日にはメモをしようという試み.
  • 走り書きならぬ「走りTeX」.
  • 増えたら何かしらの分類を考える予定.

あれ?この計算,どうするんだっけ?と思ったときにした計算のメモです.

2021/05/15:無限級数

きっかけ:D - Journey
$\sum_{i=1}^{\infty} i/2^{i}$の値
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^{i}}
=2
\end{aligned}
以下,求める無限級数を$S$とおきます.

収束することは,d'Alembertの判定法で確認できます.
【正項級数】収束判定法と例 - Notes_JP

「$\sum a_{n}$と$\sum b_{n}$が収束するなら$\sum (a_{n}+b_{n})=\sum a_{n} + \sum b_{n}$である」ことを利用し,$S$を収束する2つの無限級数に分けます.2つの級数を①値を計算できる無限級数,および②$S$自身,で表すことができれば$S$の値がわかります.

例えば,

\begin{aligned}
2S
&=\sum_{i=1}^{\infty} \biggl(\frac{i-1}{2^{i-1}} +\frac{1}{2^{i-1}} \biggr) \\
&= S + \frac{1}{1-1/2}
\end{aligned}
と変形することで
\begin{aligned}
S=2
\end{aligned}
と計算できます.//

2021/03/31:min,maxの合成関数

きっかけ:E - Filters | AtCoder Beginner Contest 196
$\max, \min$の合成
  1. $\textcolor{red}{\max}\bigl(a, \textcolor{red}{\max}(b,c)\bigr) = \textcolor{red}{\max}(a,b,c)$
  2. $\textcolor{blue}{\min}\bigl(a, \textcolor{blue}{\min}(b,c)\bigr) = \textcolor{blue}{\min}(a,b,c)$
  3. $\textcolor{red}{\max}\bigl(a, \textcolor{blue}{\min}(b,c)\bigr)=\textcolor{blue}{\min} \bigl(\textcolor{red}{\max}\bigl(a, b\bigr), \textcolor{red}{\max}\bigl(a, c\bigr) \bigr)$
  4. $\textcolor{blue}{\min}\bigl(a, \textcolor{red}{\max}(b,c)\bigr)=\textcolor{red}{\max} \bigl(\textcolor{blue}{\min}\bigl(a, b\bigr), \textcolor{blue}{\min}\bigl(a, c\bigr) \bigr)$
【解説】
最初の2つは簡単なので,残りの2つを示します.内側から順に考えれば良いです.
【3. の証明】
\begin{aligned}
&\max\bigl(a, \min(b,c)\bigr) \\
&=
\begin{cases}
\, \max\bigl(a, b\bigr) & (b\leq c) \\
\, \max\bigl(a, c\bigr) & (c < b)
\end{cases} \\
&=\min \bigl(\max\bigl(a, b\bigr), \max\bigl(a, c\bigr) \bigr)
\end{aligned}

【4. の証明】

\begin{aligned}
&\min\bigl(a, \max(b,c)\bigr) \\
&=
\begin{cases}
\, \min\bigl(a, b\bigr) & (b\geq c) \\
\, \min\bigl(a, c\bigr) & (c > b)
\end{cases} \\
&=\max \bigl(\min\bigl(a, b\bigr), \min\bigl(a, c\bigr) \bigr)
\end{aligned}


2021/03/20

$y=\sum_{k=1}^{N} w_{k} e^{ix_{k}}\,(w_{k}\in\mathbb{R})$に対して
\begin{aligned}
|y|^{2}
&=\sum_{k,l=1}^{N} w_{k} w_{l}\cos(x_{k} - x_{l}) \\
&=\sum_{k=1}^{N} w_{k}^{2} + 2 \sum_{1\leq k < l\leq N} w_{k} w_{l}\cos(x_{k} - x_{l})
\end{aligned}
例えば,三角関数の合成と一般化 - Notes_JPで使っています.

【方法1】
\begin{aligned}
|y|^{2}
&=y\bar{y} \\
&=\sum_{k,l=1}^{N} w_{k} w_{l} e^{i(x_{k} - x_{l})} \\
&=\sum_{k,l=1}^{N} w_{k} w_{l} \Bigl[\cos(x_{k} - x_{l}) + i\sin(x_{k} - x_{l}) \Bigr]
\end{aligned}
の両辺の実部をとれば
\begin{aligned}
|y|^{2}
&=\sum_{k,l=1}^{N} w_{k} w_{l}\cos(x_{k} - x_{l}) \\
&=\sum_{k=1}^{N} w_{k}^{2} + 2 \sum_{1\leq k < l\leq N} w_{k} w_{l}\cos(x_{k} - x_{l})
\end{aligned}
となる.//

【方法2】

\begin{aligned}
|y|^{2}
&=y\bar{y} \\
&=\sum_{k,l=1}^{N} w_{k} w_{l} e^{i(x_{k} - x_{l})} \\
&=\sum_{k=1}^{N} w_{k}^{2} +
\sum_{1\leq k < l\leq N} w_{k} w_{l}
\underbrace{ \Bigl( e^{i(x_{k} - x_{l})} + e^{-i(x_{k} - x_{l})} \Bigr)}_{2 \cos(x_{k} - x_{l})}
\end{aligned}

2020/05/09

次に記事に移動しました:
【読書メモ】物理とグリーン関数(今村勤) - Notes_JP

2020/02/12

関数
\begin{aligned}
f(x)=\frac{e^{-\alpha x}}{2+\cos x}
\end{aligned}
の極値点を求める($\cos x$で振動するので,極値は存在するはず).
(背景:Wolfram Alphaの提示してきた解($\alpha=1/10$)を計算により確認した)

$g(x)=2+\cos x$とおく.導関数は
\begin{aligned}
f^\prime (x)
&=-\alpha f(x)+e^{-\alpha x}\Biggl[- \frac{1}{g^2}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}(x) \Biggr] \\
&=-\Biggl(\alpha + \frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \Biggr) f(x)
\end{aligned}
となる.$f(x)\neq 0$より,$(\cdots)=0$が極値点の条件である.
\begin{aligned}
\frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}
=\frac{-\sin x}{2+\cos x}
\end{aligned}
から,
\begin{aligned}
&-\sin x + \alpha \cos x + 2\alpha =0 .
\end{aligned}
ここで,$\theta = x/2$とすれば,
\begin{aligned}
-2\sin\theta \cos\theta + \alpha (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2\alpha = 0 .
\end{aligned}
$1/\cos^2\theta = 1+\tan^2\theta$を使えば,
\begin{aligned}
&\Leftrightarrow -2\tan\theta + \alpha (1-\tan^2\theta) + 2\alpha (1+\tan^2\theta) = 0 \\
&\Leftrightarrow \alpha \tan^2\theta -2\tan\theta + 3\alpha = 0
\end{aligned}
となる.2次方程式の解の公式から,
\begin{aligned}
\tan\theta = \frac{1\pm\sqrt{1-3\alpha^2}}{\alpha}
\end{aligned}
と求まる.//