今日の計算!

POINT

  • 計算をした日にはメモをしようという試み.
  • 走り書きならぬ「走りTeX」.
  • 増えたら何かしらの分類を考える予定.

2020/02/12

関数
\begin{align}
f(x)=\frac{e^{-\alpha x}}{2+\cos x}
\end{align}の極値点を求める($\cos x$で振動するので,極値は存在するはず).
(背景:Wolfram Alphaの提示してきた解($\alpha=1/10$)を計算により確認した)

$g(x)=2+\cos x$とおく.導関数は
\begin{align}
f^\prime (x)
&=-\alpha f(x)+e^{-\alpha x}\Biggl[- \frac{1}{g^2}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}(x) \Biggr] \\
&=-\Biggl(\alpha + \frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \Biggr) f(x)
\end{align}となる.$f(x)\neq 0$より,$(\cdots)=0$が極値点の条件である.
\begin{align}
\frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}
=\frac{-\sin x}{2+\cos x}
\end{align}から,
\begin{align}
&-\sin x + \alpha \cos x + 2\alpha =0 .
\end{align}ここで,$\theta = x/2$とすれば,
\begin{align}
-2\sin\theta \cos\theta + \alpha (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2\alpha = 0 .
\end{align}$1/\cos^2\theta = 1+\tan^2\theta$を使えば,
\begin{align}
&\Leftrightarrow -2\tan\theta + \alpha (1-\tan^2\theta) + 2\alpha (1+\tan^2\theta) = 0 \\
&\Leftrightarrow \alpha \tan^2\theta -2\tan\theta + 3\alpha = 0
\end{align}となる.2次方程式の解の公式から,
\begin{align}
\tan\theta = \frac{1\pm\sqrt{1-3\alpha^2}}{\alpha}
\end{align}と求まる.//