今日の計算!

POINT

  • 計算をした日にはメモをしようという試み.
  • 走り書きならぬ「走りTeX」.
  • 増えたら何かしらの分類を考える予定.

2020/02/12

関数
\begin{align}
f(x)=\frac{e^{-\alpha x}}{2+\cos x}
\end{align}の極値点を求める($\cos x$で振動するので,極値は存在するはず).
(背景:Wolfram Alphaの提示してきた解($\alpha=1/10$)を計算により確認した)

$g(x)=2+\cos x$とおく.導関数は
\begin{align}
f^\prime (x)
&=-\alpha f(x)+e^{-\alpha x}\Biggl[- \frac{1}{g^2}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}(x) \Biggr] \\
&=-\Biggl(\alpha + \frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \Biggr) f(x)
\end{align}となる.$f(x)\neq 0$より,$(\cdots)=0$が極値点の条件である.
\begin{align}
\frac{1}{g}\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x}
=\frac{-\sin x}{2+\cos x}
\end{align}から,
\begin{align}
&-\sin x + \alpha \cos x + 2\alpha =0 .
\end{align}ここで,$\theta = x/2$とすれば,
\begin{align}
-2\sin\theta \cos\theta + \alpha (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2\alpha = 0 .
\end{align}$1/\cos^2\theta = 1+\tan^2\theta$を使えば,
\begin{align}
&\Leftrightarrow -2\tan\theta + \alpha (1-\tan^2\theta) + 2\alpha (1+\tan^2\theta) = 0 \\
&\Leftrightarrow \alpha \tan^2\theta -2\tan\theta + 3\alpha = 0
\end{align}となる.2次方程式の解の公式から,
\begin{align}
\tan\theta = \frac{1\pm\sqrt{1-3\alpha^2}}{\alpha}
\end{align}と求まる.//

2020/02/16

もっとうまい方法がありそうな気がするが...

スピンはめぐる―成熟期の量子力学 新版の付録A「アブラハムの電子の模型」から.$r > a > 0$の場合に
\begin{align}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{r^2-2ra\cos\theta+a^2}}\,\mathrm{d}\theta
\end{align}を計算する.



$\tilde{r}=r/a > 1$とおき,$X=\cos\theta$と変数変換すれば
\begin{align}
&=\frac{1}{a}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}\cos\theta+1}}\,\mathrm{d}\theta \\
&=-\frac{1}{a}\int_{1}^{-1} \frac{X}{\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}}\,\mathrm{d}X
\end{align}

$\xi=\sqrt{\tilde{r}^2-2\tilde{r}X+1}$とすると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}
&=-\frac{\xi}{\tilde{r}}
\end{align}すなわち$\displaystyle -\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} \xi}=\frac{1}{\tilde{r}}$なので,
\begin{align}
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2}\int_{\tilde{r}-1}^{\tilde{r}+1} [(\tilde{r}^2+1) - \xi^2] \,\mathrm{d}\xi \\
&=\frac{1}{2a\tilde{r}^2} \biggl[2(\require{cancel}\cancel{\tilde{r}^2}+1) - \frac{2}{3} (\cancel{3\tilde{r}^2} + 1)\biggr]
\end{align}ただし,第2項は$\alpha^3-\beta^3=(\alpha - \beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)$から
\begin{align}
(\tilde{r}+1)^3-(\tilde{r}-1)^3
&=2[2(\tilde{r}^2+1) +(\tilde{r}^2-1) ] \\
&=2(3\tilde{r}^2 + 1)
\end{align}となることを用いた.

以上より,
\begin{align}
&=\frac{2}{3} \frac{1}{a\tilde{r}^2} \\
&=\frac{2}{3}\frac{a}{r^2}
\end{align}となる.//