三角関数の公式をオイラーの公式で導く

POINT

  • 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる.

オイラーの公式を使わない方法は,次の記事を参照してください:三角関数と公式 - Notes_JP

オイラーの公式

指数関数を使って三角関数の公式を導くことができるのは,「オイラーの公式」が成立するためです.


三角関数と指数関数はオイラーの公式

オイラーの公式
$
e^{i\theta}
=\cos\theta + i\sin\theta
$
で結びついています.

オイラーの公式から,
\begin{align}
\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\quad
\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
\end{align}であることがわかります.

加法定理

加法定理
\begin{align}
\sin(\alpha + \beta)
&=\sin\alpha\,\cos\beta + \cos\alpha\,\sin\beta \\
\cos(\alpha + \beta)
&=\cos\alpha\,\cos\beta - \sin\alpha\,\sin\beta \\
\tan(\alpha + \beta)
&=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}
\end{align}
【証明】
次の記事で解説しています:三角関数と公式 - Notes_JP//

和積公式

和積公式
  • $\sin A + \sin B \,\,$$=2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$
  • $\sin A - \sin B \,\,$$=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$
  • $\cos A + \cos B \,$$=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$
  • $\cos A - \cos B \,$$=-2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$
【証明】
\begin{align}
&e^{iA}\pm e^{iB} \\
&=\exp\biggl[i \biggl(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2}\biggr)\biggr] \\
&\quad \pm\exp\biggl[i \biggl(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2}\biggr)\biggr] \\
&= \exp\biggl(i\frac{A+B}{2}\biggr)\cdot
\bigl[ e^{i(A-B)/2} \pm e^{-i(A-B)/2} \bigr] \\
&=
\begin{cases}
\displaystyle \exp\biggl(i\frac{A+B}{2}\biggr)\cdot 2\cos\biggl(\frac{A-B}{2}\biggr) \\
\displaystyle \exp\biggl(i\frac{A+B}{2}\biggr)\cdot 2i\sin\biggl(\frac{A-B}{2}\biggr)
\end{cases}
\end{align}である.両辺の虚部を取れば第1式と第2式が得られ,実部を取れば第3式と第4式が得られる.//

【応用例】
上の証明で得られた等式から,指数関数の積分を
\begin{align}
\int_{\theta_1}^{\theta_2} e^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta
&=\frac{1}{i}\bigl(e^{i\theta_2} - e^{i\theta_1} \bigr) \\
&=-2e^{i(\theta_2 + \theta_1)/2} \sin\bigl[(\theta_2 - \theta_1)/2\bigr] \\
&=2e^{i(\theta_1 + \theta_2)/2} \sin\bigl[(\theta_1 - \theta_2)/2\bigr]
\end{align}と変形することができる.

三角関数の合成

三角関数の合成公式も,オイラーの公式を用いて導出することができます.

一般化は次の記事を参照してください:三角関数の合成と一般化 - Notes_JP

三角関数の合成
\begin{align}
& a\sin\theta+b\cos\theta \\
&=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)
\end{align}と変形できる.但し,$\alpha$は
\begin{align}
\cos\alpha
&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\sin\alpha
&=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align}で定義される.
三角関数の合成
三角関数の合成.角度$\alpha$は図の直角三角形で定義される.

【証明(オイラーの公式を使う)】
実数$a$, $b$に対して$a\sin\theta+b\cos\theta=\mathrm{Im\,} (ae^{i\theta} + be^{i(\theta+\pi/2)})$を利用します.
\begin{align}
&ae^{i\theta} + be^{i(\theta+\pi/2)} \\
&=(a+be^{i\pi/2}) e^{i\theta} \\
&=(a+ib) e^{i\theta}
\end{align}であり,$z=a+ib$を$z=re^{i\alpha}$($r\geq 0$)と極形式で表せば
\begin{align}
&ae^{i\theta} + be^{i(\theta+\pi/2)} \\
&=re^{i(\theta+\alpha)}
\end{align}であることがわかります.両辺の虚部を取ることで
\begin{align}
&a\sin\theta+b\cos\theta \\
&=\mathrm{Im\,} (ae^{i\theta} + be^{i(\theta+\pi/2)}) \\
&=r\sin(\theta+\alpha)
\end{align}であることがわかりました.

ここで,$r$, $\alpha$は
\begin{align}
r&=\sqrt{|z|^2} \\
&=\sqrt{a^2+b^2} \\
\cos\alpha &= \mathrm{Re\,} z/ r = a/\sqrt{a^2+b^2} \\
\sin\alpha &= \mathrm{Im\,} z/ r = b/\sqrt{a^2+b^2}
\end{align}と求めることができます.//