速度ポテンシャル(音波)

POINT

  • 流体力学における速度ポテンシャルの音波への適用例.

【関連記事】

速度ポテンシャル

関連記事[B]の内容をまとめます.
速度ポテンシャル
渦なしの流れ(つまり,流速ベクトル$\boldsymbol{u}$に対して$\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}=0$が成り立つ流れ)では,速度ポテンシャル$\Phi$を用いて各量を
\begin{align}
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi(\boldsymbol{x},t) \\
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
\end{align}と表すことができる.また,速度ポテンシャルは波動方程式
\begin{align}
\biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}
-\Delta \biggr) \Phi
=0
\end{align}を満たす.
【補足】
状態方程式$p=g(\rho)$が成り立つとき(バロトロピー流体),密度は
\begin{align}
\rho(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{\rho}{c^2} \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
\end{align}と表すことができる.

平面波の例

平面進行波

速度ポテンシャルとして
\begin{align}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{p_0}{\rho \omega} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}
\end{align}を考えると,
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=-i p_0 e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=-i\frac{p_0}{\rho c} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}(但し,$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$)であり,
\begin{align}
\mathrm{Re\,} [ p(\boldsymbol{x},t) ]
&=p_0\sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)\\
\mathrm{Re\,} [ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t) ]
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t) \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}

平面定在波

速度ポテンシャルとして
\begin{align}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{p_0}{2 \rho \omega}
\bigl(e^{-i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}
+e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}\bigr) e^{-i\omega t} \\
&=-\frac{p_0}{\rho \omega} \cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t}
\end{align}を考えると,
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=-i p_0 \cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t} \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}(但し,$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$)であり,
\begin{align}
\mathrm{Re\,} [ p(\boldsymbol{x},t) ]
&=p_0\cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) \sin(-\omega t)\\
\mathrm{Re\,} [ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t) ]
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) \cos(-\omega t) \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}

参考文献

[1]流体力学 (前編) (物理学選書 (14))

  • $\S 13.$運動方程式の第1積分 (2) 渦なしの流れ
  • $\S 20.$ 渦なしの流れ (3) 速度ポテンシャル