速度ポテンシャルの例:音波

POINT

  • 流体力学における速度ポテンシャルの音波への適用例.

速度ポテンシャル

渦なしの流れ(つまり,流速ベクトル$\boldsymbol{u}$に対して$\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}=0$が成り立つ流れ)では,流速ベクトルは速度ポテンシャル$\Phi$を用いて
\begin{align}
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
=\mathrm{grad\,} \Phi(\boldsymbol{x},t)
\end{align}と表すことができます.

圧力との関係

\begin{align}
\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}
=-\frac{1}{\rho}\mathrm{grad\,}p
\end{align}が成り立ち,流体の密度$\rho$が位置に依らないとみなせるとき,
\begin{align}
\mathrm{grad\,}\Biggl(\frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{p}{\rho}\Biggr)
=0
\end{align}から
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) + f(t)
\end{align}となる($f(t)$は時間を変数とする任意関数).

速度ポテンシャルとして$\Phi$のかわりに$\displaystyle \Phi-\int_0^t f(s)\,\mathrm{d}s$をとることで,$\boldsymbol{u}=\mathrm{grad\,} \Phi$を変えることなく
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
=-\rho \frac{\partial\Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
\end{align}という形にすることができる.

平面進行波

速度ポテンシャルとして
\begin{align}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{p_0}{\rho \omega} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)}
\end{align}を考えると,
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=-i p_0 e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=-i\frac{p_0}{\rho c} e^{i(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)} \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}(但し,$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$)であり,
\begin{align}
\mathrm{Re\,} [ p(\boldsymbol{x},t) ]
&=p_0\sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t)\\
\mathrm{Re\,} [ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t) ]
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}-\omega t) \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}

平面定在波

速度ポテンシャルとして
\begin{align}
\Phi(\boldsymbol{x},t)
&=-\frac{p_0}{2 \rho \omega}
\bigl(e^{-i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}
+e^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}\bigr) e^{-i\omega t} \\
&=-\frac{p_0}{\rho \omega} \cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t}
\end{align}を考えると,
\begin{align}
p(\boldsymbol{x},t)
&=-\rho \frac{\partial \Phi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=-i p_0 \cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t} \\
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)
&=\mathrm{grad\,} \Phi \\
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) e^{-i\omega t} \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}(但し,$k=|\boldsymbol{k}|$, $c=\omega/k$)であり,
\begin{align}
\mathrm{Re\,} [ p(\boldsymbol{x},t) ]
&=p_0\cos(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) \sin(-\omega t)\\
\mathrm{Re\,} [ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t) ]
&=\frac{p_0}{\rho c} \sin(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}) \cos(-\omega t) \frac{\boldsymbol{k}}{k}
\end{align}

参考文献

  • $\S 13.$運動方程式の第1積分 (2) 渦なしの流れ
  • $\S 20.$ 渦なしの流れ (3) 速度ポテンシャル

流体力学 (前編) (物理学選書 (14))

流体力学 (前編) (物理学選書 (14))

  • 作者:今井 功
  • 発売日: 1973/11/25
  • メディア: 単行本