【高校物理】波長・速度・振動数の関係

POINT

  • 波動現象の波長・速度・振動数の関係を整理します.
  • 「振動数=単位時間にだす波の個数」,「速度=1単位時間に発せられた波が占める領域の長さ」.

この記事では,「波の進む速さ」を$V$で表します.

注(わかる人向け):
文字に単位をつける記法(「周期$T\,\mathrm{s}$」など)は文字が無次元となるため良くないと思うのですが,わかりやすさ重視で一部そのような記法を用いています.同じ理由で「単位時間」がわかりにくければ,全て「$1\mathrm{s}$」に置き換えれば理解しやすくなると思います.

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周期

周期
時間的に周期性を持つ波を考えます.「ある位置において波を観察したとき」に1回の周期に要する時間を「周期$T$」と呼びます.

例えば,正弦波

\begin{aligned}
f(x,t)=A\sin\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)
\end{aligned}
を「位置$x$」で観察してみましょう.すると,時間が$1/f$進むごとに周期的になっていることがわかります:
\begin{aligned}
f(x,t+1/f)
&=A \sin\biggl[\frac{2\pi}{\lambda} - 2\pi f \biggl(t+\frac{1}{f}\biggr)\biggr] \\
&=A \sin\biggl[\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)+2\pi\biggr] \\
&=f(x,t).
\end{aligned}
したがって,$T=1/f$が「周期」です.

波長

波長
空間的に周期性を持つ波を考えます.この波の「波長$\lambda$」とは,「ある時刻における波形」の「1周期の波の長さ」のことです.

先程と同じ式で表される正弦波

\begin{aligned}
f(x,t)=A\sin\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)
\end{aligned}
を「時刻$t$」のときに観察してみましょう.すると,$x$軸方向に$\lambda$進むごとに周期的になっていることがわかります:
\begin{aligned}
f(x+\lambda,t)
&=A\sin\biggl[\frac{2\pi}{\lambda}(x+\lambda) - 2\pi f t\biggr] \\
&=A\sin\biggl[\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)+2\pi\biggr] \\
&=f(x,t).
\end{aligned}
したがって,$\lambda$が「波長」です.

振動数(周波数)

振動数(周波数)
周期的な波の「振動数$f$」とは「単位時間に波が振動する回数(単位時間に発せられた波の数)」のことです.但し,「1回の振動」とは「1周期振動したこと」を意味します.

波の周期を$T$とすると,

\begin{aligned}
f=\frac{1}{T}
\end{aligned}
と表せます.なぜなら,右辺は振動数の定義である「単位時間に波が振動する回数」を表しているからです.

関係式

波長(波の長さ)は,「波がいる領域の長さ」を「波の個数」で割れば求めることができます.$1\mathrm{s}$の間に発せられた波(波の速度:$V\,\mathrm{m/s}$)を考えると,下図のようになります.
波長・速度・振動数の関係
波長・速度・振動数の関係
つまり,
\begin{aligned}
\text{波の長さ}
=\frac{1秒間に発された波が占める領域}{1秒間に出る波の数}
\end{aligned}
なので,文字で表すと
波長・速度・振動数の関係
\begin{aligned}
\lambda
=\frac{V}{f}
\end{aligned}
となります.

参考文献

[1]物理教室 (河合塾シリーズ)