【高校物理】波長・速度・振動数の関係

POINT

• 波動現象の波長・速度・振動数の関係を整理します．
• ドップラー効果を考える際にも役立ちます：【高校物理】ドップラー効果（音波） - Notes_JP
• 「振動数＝単位時間にだす波の個数」，「速度＝1単位時間に発せられた波が占める領域の長さ」．

この記事では，「波の進む速さ」を$V$で表します．

注（わかる人向け）：
文字に単位をつける記法（「周期$T\,\mathrm{s}$」など）は文字が無次元となるため良くないと思うのですが，わかりやすさ重視で一部そのような記法を用いています．同じ理由で「単位時間」がわかりにくければ，全て「$1\mathrm{s}$」に置き換えれば理解しやすくなると思います．

周期

周期

時間的に周期性を持つ波を考えます．「ある位置において波を観察したとき」に1回の周期に要する時間を「周期$T$」と呼びます．

例えば，正弦波
\begin{align}
f(x,t)=A\sin\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)
\end{align}を「位置$x$」で観察してみましょう．すると，時間が$1/f$進むごとに周期的になっていることがわかります：
\begin{align}
f(x,t+1/f)
&=A\sin\biggl[\frac{2\pi}{\lambda} - 2\pi f \biggl(t+\frac{1}{f}\biggr)\biggr] \\
&=A\sin\biggl[\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)+2\pi\biggr] \\
&=f(x,t).
\end{align}したがって，$T=1/f$が「周期」です．

波長

波長

空間的に周期性を持つ波を考えます．この波の「波長$\lambda$」とは，「ある時刻における波形」の「1周期の波の長さ」のことです．

先程と同じ式で表される正弦波
\begin{align}
f(x,t)=A\sin\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)
\end{align}を「時刻$t$」のときに観察してみましょう．すると，$x$軸方向に$\lambda$進むごとに周期的になっていることがわかります：
\begin{align}
f(x+\lambda,t)
&=A\sin\biggl[\frac{2\pi}{\lambda}(x+\lambda) - 2\pi f t\biggr] \\
&=A\sin\biggl[\biggl(\frac{2\pi}{\lambda}x - 2\pi f t\biggr)+2\pi\biggr] \\
&=f(x,t).
\end{align}したがって，$\lambda$が「波長」です．

振動数（周波数）

振動数（周波数）

周期的な波の「振動数$f$」とは「単位時間に波が振動する回数（単位時間に発せられた波の数）」のことです．但し，「1回の振動」とは「1周期振動したこと」を意味します．

波の周期を$T$とすると，
\begin{align}
f=\frac{1}{T}
\end{align}と表せます．なぜなら，右辺は振動数の定義である「単位時間に波が振動する回数」を表しているからです．

関係式

波長（波の長さ）は，「波がいる領域の長さ」を「波の個数」で割れば求めることができます．$1\mathrm{s}$の間に発せられた波（波の速度：$V\,\mathrm{m/s}$）を考えると，下図のようになります．

波長・速度・振動数の関係

つまり，
\begin{align}
\text{波の長さ}
=\frac{1秒間に発された波が占める領域}{1秒間に出る波の数}
\end{align}なので，文字で表すと

波長・速度・振動数の関係

\begin{align}
\lambda
=\frac{V}{f}
\end{align}

となります．

参考文献

物理教室 (河合塾シリーズ)