POINT
- 個人的にすごい！と思った計算の備忘録です．
- 覚えておくと応用がきくかもしれません．
ラプラシアンの計算
ラプラシアンの計算
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 f(r)
&=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \biggr)
f(r)\\
&=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} \bigl[ r\cdot f(r) \bigr]
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 f(r)
&=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \biggr)
f(r)\\
&=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} \bigl[ r\cdot f(r) \bigr]
\end{aligned}
【解説】
レイリーのThe Theory Of Sound Vol.2 $\S 277$から．
$\phi=e^{-ikr}/r$がヘルムホルツ方程式$(\boldsymbol{\nabla}^2+k^2)\phi=0$の解となることを示す計算です．ライプニッツ則を利用してエレガントに計算しています．
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 \biggl(\frac{e^{-ikr}}{r} \biggr)
&=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \biggr)
\frac{e^{-ikr}}{r}\\
&=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} \biggl(r\cdot \frac{e^{-ikr}}{r} \biggr) \\
&=-k^2 \frac{e^{-ikr}}{r}
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 \biggl(\frac{e^{-ikr}}{r} \biggr)
&=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \biggr)
\frac{e^{-ikr}}{r}\\
&=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} \biggl(r\cdot \frac{e^{-ikr}}{r} \biggr) \\
&=-k^2 \frac{e^{-ikr}}{r}
\end{aligned}
