直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)

POINT

  • 直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)の一般式を導出する.

計算方法が丁寧に記されているものが見つからなかったので,詳しく計算してみました.もっと簡単な方法が見つかれば追記します.

線素

ベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{x}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$の長さで定義される,デカルト座標(直交直線座標)の線素$\mathrm{d}s$に対して
\begin{align}
(\mathrm{d}s)^2
&=\mathrm{d}\boldsymbol{x}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}z)^2
\end{align}が成立します.カッコは省略して$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2$と表すことが多いです.ベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{x}$は,デカルト座標系の基底ベクトル$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}$を用いて
\begin{align}
\mathrm{d}\boldsymbol{x}
=\sum_{i=1}^3 \mathrm{d}x_i \boldsymbol{e}_i
\end{align}と書けることにも注意しましょう.


デカルト座標系$(x,y,z)$$=(x_1,x_2,x_3)$から曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$への座標変換を考えましょう.このとき,
\begin{align}
\mathrm{d}x_i
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j
\end{align}に注意すれば,
\begin{align}
\mathrm{d}s^2
&=\sum_{k=1}^3 \mathrm{d}x_i^2 \\
&=\sum_{i,j,k=1}^3
\frac{\partial x_k}{\partial \xi_i}
\frac{\partial x_k}{\partial \xi_j}
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j \\
&=\sum_{i,j=1}^3
g_{ij}
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j
\tag{1}\label{eq:ds_1}
\end{align}であることがわかります.ここで,$g_{ij}=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_i} \frac{\partial x_k}{\partial \xi_j}$と置きました(計量テンソルと呼ばれるものです).

一方で,曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$における(任意の)基底を$\{\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2, \boldsymbol{\varepsilon}_3\}$とします.このとき,$\mathrm{d}\boldsymbol{x}$を座標変換したベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}$はこの基底を用いて$\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}=\sum_{i=1}^3 \alpha_i \boldsymbol{\varepsilon}_i$と表せます.後々のため$\mathrm{d}\xi_i=\sum_{j=1}^3(\partial \xi_i/\partial x_j)\mathrm{d}x_j$をひねり出したいので,未知の係数$h_i$を用いて$\alpha_i=h_i\,\mathrm{d}\xi_i$とすれば
\begin{align}
\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
=\sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
\end{align}と表すことができ,線素は
\begin{align}
\mathrm{d}s^2
&= \mathrm{d}\boldsymbol{\xi}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\xi} \\
&= \sum_{i,j=1}^3 (\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j) h_i h_j
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j
\tag{2}\label{eq:ds_2}
\end{align}となります.ここで,$(\boldsymbol{\varepsilon}_i)_k$はベクトル$\boldsymbol{\varepsilon}_i$の第$k$成分を表しています.

式(\ref{eq:ds_1}), (\ref{eq:ds_2})を比較すれば,
\begin{align}
(\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j) h_i h_j
&=g_{ij} \tag{3-1}\label{eq:metric_tensor_1}
\end{align}であることがわかります.


特に,基底が正規直交基底(*1)の場合は,曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$は直交曲線座標系になり,
\begin{align}
g_{ij}&=
\begin{cases}
\, h_i^2 &(i=j) \\
\, 0 &(i\neq j)
\end{cases} \tag{3-2}\label{eq:metric_tensor_2}
\end{align}が成立します.

勾配(grad)

$f$をスカラー関数とします.$\mathrm{grad}$とは,微小なベクトル$\boldsymbol{\epsilon}$の1次までで
\begin{align}
f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon}
\end{align}を満たすような微分演算子です.

この式は,$\boldsymbol{\epsilon}$が$\mathrm{grad} f$と同じ向きのベクトルであるとき$f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})$が最大となることを意味しています.そのため,$\mathrm{grad} f$は$f$の勾配と呼ばれます.

また,$\boldsymbol{\xi}$と$\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}$が同じ等高線の上にあるベクトルである場合,$f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})=0$から
\begin{align}
(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon} =0
\end{align}となり,$\mathrm{grad} f$は等高線と直行することがわかります.

直交曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$を考えましょう.このとき,
\begin{align}
&f(\boldsymbol{\xi}+\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}) - f(\boldsymbol{\xi}) \\
&=f(\boldsymbol{x}+\mathrm{d}\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \\
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=\sum_{i=1}^3 \color{red}{ \frac{\partial f}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{i,\color{red}{j}=1}^3 \color{red}{ \frac{\partial f}{\partial \xi_j}\frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial f}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \cdot h_i\mathrm{d}\xi_i \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \biggl( \sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr) \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
\end{align}から,この座標系での勾配が

直交曲線座標系の勾配
$
\displaystyle\mathrm{grad} f
=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i
$
であることがわかります.

これは,直交曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$でのナブラ演算子が

直交曲線座標系のナブラ演算子
$
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}
=\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}
$
で与えられることを意味しています.

発散(div)

\begin{align}
& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A} \\
&=\Biggl(\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}\Biggr)
\cdot \Biggl(\sum_{j=1}^3 A_j \boldsymbol{\varepsilon}_j \Biggr) \\
&=\sum_{i,j=1}^3
\Biggl[(\underset{=\delta_{ij}}{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}_i\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j}})
\frac{1}{h_i}\frac{\partial A_j}{\partial \xi_i}
+\frac{1}{h_i}A_j
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
\Biggr]
\end{align}となります.ここで,後述の基底の微分公式から得られる関係式
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} - \frac{1}{h_i} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_i} \delta_{ij} \\
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} (1-\delta_{ij})
\end{align}を用いれば,
\begin{align}
& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_j \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j}(1-\delta_{ij}) \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_i \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}(1-\delta_{ij}) \\
\end{align}

回転(rot)

基底の微分

基底の微分
基底の微分に関して
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_i}{\partial \xi_j} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_k
&=\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}\delta_{jk}
- \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}\delta_{ij} \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle \frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} & (i\neq j=k) \\
\, \displaystyle - \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}& (i=j\neq k) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{align}が成立します.具体的に書き下したものが次です(隠れている場合はスクロールできます):

$\boldsymbol{\varepsilon}_1$$\boldsymbol{\varepsilon}_2$$\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$\partial/\partial \xi_1$$0\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$\displaystyle - \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$\displaystyle - \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=j=1)$
$\displaystyle \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=2,\,j=1)$
$\displaystyle \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=3,\,j=1)$
$\partial/\partial \xi_2$$0\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$\displaystyle +\frac{1}{h_1}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=1,\,j=2)$
$\displaystyle - \frac{1}{h_1}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$\displaystyle - \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=j=2)$
$0\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$\displaystyle +\frac{1}{h_3}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=3,\,j=2)$
$\partial/\partial \xi_3$$0\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$\displaystyle +\frac{1}{h_1}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=1,\,j=3)$
$0\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$\displaystyle +\frac{1}{h_2}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=2,\,j=3)$
$\displaystyle - \frac{1}{h_1}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_1$
$\displaystyle - \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_2$
$+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$
$(i=j=3)$
(この表の結果は流体力学 (前編) (物理学選書 (14))付録Aに記載されているものと同じです.)
【証明】
式(\ref{eq:metric_tensor_1})
\begin{align}
g_{ij}=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)
\end{align}の偏微分で構成される
\begin{align}
\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr)
\end{align}という量を考えます.右辺を具体的に計算してみましょう.各項は
\begin{align}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_k}\cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k}} \\
\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_j}} \\
\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underline{(h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_i}}
\end{align}です.ここで,上式の同じ記号がついた各項は等しくなります.これは,
\begin{align}
h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_i} \boldsymbol{e}_k
\end{align}から
\begin{align}
\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial^2 x_k}{\partial \xi_i \partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \\
&=\frac{\partial}{\partial \xi_i} \Biggl(\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \Biggr) \\
&=\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}
\end{align}と示すことができます.

したがって,
\begin{align}
\Gamma_{i,jk}
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k} \\
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot
\Biggl( \frac{\partial h_j }{\partial \xi_k}\boldsymbol{\varepsilon}_j
+ h_j\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)\\
&=h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
+h_i h_j \Biggl(\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)
\end{align}であることがわかりました.これを基底の微分について解くと
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_i h_j }\Gamma_{i,jk}
-\color{red}{\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
\end{align}となります.よって,$\Gamma_{i,jk}$を$h_i,h_j,h_k$だけで表せば基底の微分の公式が完成します.

式(\ref{eq:metric_tensor_2})
\begin{align}
g_{ij}=h_i^2 \delta_{ij}
\end{align}から
\begin{align}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=2 h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
\end{align}なので,$\Gamma_{i,jk}$は
\begin{align}
\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr) \\
&=\color{red}{ h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
+h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-h_j \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{align}と計算することができます.これを先に求めた式に代入すれば,赤字部分が相殺し
\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-\frac{1}{h_i} \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{align}であることがわかりました.//

参考文献

*1:つまり, \begin{align} \boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j &= \begin{cases} \,1 &(i=j) \\ \,0 &(i\neq j) \end{cases} \\ &=\delta_{ij} \end{align}($\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタ).