POINT
- 直交曲線座標系の微分公式（grad, div, rot）の一般式を導出する．
計算方法が丁寧に記されているものが見つからなかったので，詳しく計算してみました．もっと簡単な方法が見つかれば追記します．
微分形式を使った方法については以下を参照してください：
微分形式を使った曲線座標のgrad・rot・div - Notes_JP
線素
ベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{x}=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)$の長さで定義される，デカルト座標（直交直線座標）の線素$\mathrm{d}s$に対して\begin{aligned}
(\mathrm{d}s)^2
&=\mathrm{d}\boldsymbol{x}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}z)^2
\end{aligned}
が成立します．カッコは省略して$\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2$と表すことが多いです．ベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{x}$は，デカルト座標系の基底ベクトル$\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}$を用いて(\mathrm{d}s)^2
&=\mathrm{d}\boldsymbol{x}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}z)^2
\end{aligned}
\begin{aligned}
\mathrm{d}\boldsymbol{x}
=\sum_{i=1}^3 \mathrm{d}x_i \boldsymbol{e}_i
\end{aligned}
と書けることにも注意しましょう．\mathrm{d}\boldsymbol{x}
=\sum_{i=1}^3 \mathrm{d}x_i \boldsymbol{e}_i
\end{aligned}
デカルト座標系$(x,y,z)$$=(x_1,x_2,x_3)$から曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$への座標変換を考えましょう．このとき，
\begin{aligned}
\mathrm{d}x_i
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j
\end{aligned}
に注意すれば，\mathrm{d}x_i
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial x_i}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j
\end{aligned}
\begin{align}
\mathrm{d}s^2
&=\sum_{k=1}^3 \mathrm{d}x_i^2 \\
&=\sum_{i,j,k=1}^3
\frac{\partial x_k}{\partial \xi_i}
\frac{\partial x_k}{\partial \xi_j}
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j \\
&=\sum_{i,j=1}^3
g_{ij}
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j
\tag{1}\label{eq:ds_1}
\end{align}であることがわかります．ここで，$g_{ij}=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_i} \frac{\partial x_k}{\partial \xi_j}$と置きました（計量テンソルと呼ばれるものです）．
一方で，曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$における（任意の）基底を$\{\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2, \boldsymbol{\varepsilon}_3\}$とします．このとき，$\mathrm{d}\boldsymbol{x}$を座標変換したベクトル$\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}$はこの基底を用いて$\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}=\sum_{i=1}^3 \alpha_i \boldsymbol{\varepsilon}_i$と表せます．後々のため$\mathrm{d}\xi_i=\sum_{j=1}^3(\partial \xi_i/\partial x_j)\mathrm{d}x_j$をひねり出したいので，未知の係数$h_i$を用いて$\alpha_i=h_i\,\mathrm{d}\xi_i$とすれば
\begin{aligned}
\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
=\sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
\end{aligned}
と表すことができ，線素は\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
=\sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
\end{aligned}
\begin{align}
\mathrm{d}s^2
&= \mathrm{d}\boldsymbol{\xi}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\xi} \\
&= \sum_{i,j=1}^3 (\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j) h_i h_j
\mathrm{d}\xi_i \,\mathrm{d}\xi_j
\tag{2}\label{eq:ds_2}
\end{align}となります．ここで，$(\boldsymbol{\varepsilon}_i)_k$はベクトル$\boldsymbol{\varepsilon}_i$の第$k$成分を表しています．
式(\ref{eq:ds_1}), (\ref{eq:ds_2})を比較すれば，
\begin{align}
(\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j) h_i h_j
&=g_{ij} \tag{3-1}\label{eq:metric_tensor_1}
\end{align}であることがわかります．
特に，基底が正規直交基底（*1）の場合は，曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$は直交曲線座標系になり，
\begin{align}
g_{ij}&=
\begin{cases}
\, h_i^2 &(i=j) \\
\, 0 &(i\neq j)
\end{cases} \tag{3-2}\label{eq:metric_tensor_2}
\end{align}が成立します．
勾配（grad）
$f$をスカラー関数とします．$\mathrm{grad}$とは，微小なベクトル$\boldsymbol{\epsilon}$の1次までで\begin{aligned}
f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon}
\end{aligned}
を満たすような微分演算子です．f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon}
\end{aligned}
この式は，$\boldsymbol{\epsilon}$が$\mathrm{grad} f$と同じ向きのベクトルであるとき$f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})$が最大となることを意味しています．そのため，$\mathrm{grad} f$は$f$の勾配と呼ばれます．
また，$\boldsymbol{\xi}$と$\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}$が同じ等高線の上にあるベクトルである場合，$f(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\epsilon}) - f(\boldsymbol{\xi})=0$から
\begin{aligned}
(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon} =0
\end{aligned}
となり，$\mathrm{grad} f$は等高線と直行することがわかります．(\mathrm{grad} f)\cdot \boldsymbol{\epsilon} =0
\end{aligned}
直交曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$を考えましょう．このとき，
\begin{aligned}
&f(\boldsymbol{\xi}+\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}) - f(\boldsymbol{\xi}) \\
&=f(\boldsymbol{x}+\mathrm{d}\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \\
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=\sum_{i=1}^3 \textcolor{red}{ \frac{\partial f}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{i,\textcolor{red}{j}=1}^3 \textcolor{red}{ \frac{\partial f}{\partial \xi_j}\frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial f}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \cdot h_i\mathrm{d}\xi_i \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \biggl( \sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr) \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
\end{aligned}
から，この座標系での勾配が&f(\boldsymbol{\xi}+\mathrm{d}\boldsymbol{\xi}) - f(\boldsymbol{\xi}) \\
&=f(\boldsymbol{x}+\mathrm{d}\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \\
&=(\mathrm{grad} f)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{x} \\
&=\sum_{i=1}^3 \textcolor{red}{ \frac{\partial f}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{i,\textcolor{red}{j}=1}^3 \textcolor{red}{ \frac{\partial f}{\partial \xi_j}\frac{\partial \xi_j}{\partial x_i} } \mathrm{d}x_i \\
&=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial f}{\partial \xi_j} \mathrm{d}\xi_j \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \cdot h_i\mathrm{d}\xi_i \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \biggl( \sum_{i=1}^3 h_i\mathrm{d}\xi_i\boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr) \\
&=\biggl(\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i \biggr)
\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\xi}
\end{aligned}
直交曲線座標系の勾配
$
\displaystyle\mathrm{grad} f
=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i
$
であることがわかります．\displaystyle\mathrm{grad} f
=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial \xi_i} \boldsymbol{\varepsilon}_i
$
これは，直交曲線座標系$(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$でのナブラ演算子が
直交曲線座標系のナブラ演算子
\begin{aligned}
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}
=\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}
\end{aligned}
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}
=\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}
\end{aligned}
発散（div）
\begin{aligned}
& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A} \\
&=\Biggl(\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}\Biggr)
\cdot \Biggl(\sum_{j=1}^3 A_j \boldsymbol{\varepsilon}_j \Biggr) \\
&=\sum_{i,j=1}^3
\Biggl[(\underset{=\delta_{ij}}{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}_i\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j}})
\frac{1}{h_i}\frac{\partial A_j}{\partial \xi_i}
+\frac{1}{h_i}A_j
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
\Biggr]
\end{aligned}
となります．ここで，後述の基底の微分公式から得られる関係式& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A} \\
&=\Biggl(\sum_{i=1}^3 \boldsymbol{\varepsilon}_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial }{\partial \xi_i}\Biggr)
\cdot \Biggl(\sum_{j=1}^3 A_j \boldsymbol{\varepsilon}_j \Biggr) \\
&=\sum_{i,j=1}^3
\Biggl[(\underset{=\delta_{ij}}{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}_i\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j}})
\frac{1}{h_i}\frac{\partial A_j}{\partial \xi_i}
+\frac{1}{h_i}A_j
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
\Biggr]
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} - \frac{1}{h_i} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_i} \delta_{ij} \\
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} (1-\delta_{ij})
\end{aligned}
を用いれば，\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_i}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} - \frac{1}{h_i} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_i} \delta_{ij} \\
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} (1-\delta_{ij})
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_j \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j}(1-\delta_{ij}) \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_i \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}(1-\delta_{ij})
\end{aligned}
& \mathrm{div}\boldsymbol{A} \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_j \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j}(1-\delta_{ij}) \\
&=\sum_{i=1}^3 \frac{1}{h_i}\frac{\partial A_i}{\partial \xi_i}
+ \sum_{i, j=1}^3\frac{1}{h_i h_j} A_i \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}(1-\delta_{ij})
\end{aligned}
回転（rot）
基底の微分
基底の微分
基底の微分に関して
（この表の結果は流体力学 (前編) (物理学選書 (14)) (物理学選書 14)付録Aに記載されているものと同じです．）
【証明】\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_i}{\partial \xi_j} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_k
&=\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}\delta_{jk}
- \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}\delta_{ij} \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle \frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} & (i\neq j=k) \\
\, \displaystyle - \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}& (i=j\neq k) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
が成立します．具体的に書き下したものが次です（隠れている場合はスクロールできます）：\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_i}{\partial \xi_j} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_k
&=\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i}\delta_{jk}
- \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}\delta_{ij} \\
&=
\begin{cases}
\, \displaystyle \frac{1}{h_i}\frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} & (i\neq j=k) \\
\, \displaystyle - \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k}& (i=j\neq k) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}
| $\boldsymbol{\varepsilon}_1$ | $\boldsymbol{\varepsilon}_2$ | $\boldsymbol{\varepsilon}_3$ | |
|---|---|---|---|
| $\partial/\partial \xi_1$ | $0\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $\displaystyle - \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $\displaystyle - \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=j=1)$ | $\displaystyle \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=2,\,j=1)$ | $\displaystyle \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_1}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=3,\,j=1)$ |
| $\partial/\partial \xi_2$ | $0\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $\displaystyle +\frac{1}{h_1}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=1,\,j=2)$ | $\displaystyle - \frac{1}{h_1}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $\displaystyle - \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=j=2)$ | $0\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $\displaystyle +\frac{1}{h_3}\frac{\partial h_2}{\partial \xi_3}\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=3,\,j=2)$ |
| $\partial/\partial \xi_3$ | $0\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $\displaystyle +\frac{1}{h_1}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=1,\,j=3)$ | $0\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $\displaystyle +\frac{1}{h_2}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=2,\,j=3)$ | $\displaystyle - \frac{1}{h_1}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_1}\boldsymbol{\varepsilon}_1$ $\displaystyle - \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_3}{\partial \xi_2}\boldsymbol{\varepsilon}_2$ $+0\boldsymbol{\varepsilon}_3$ $(i=j=3)$ |
式(\ref{eq:metric_tensor_1})
\begin{aligned}
g_{ij}=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)
\end{aligned}
の偏微分で構成されるg_{ij}=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr)
\end{aligned}
という量を考えます．右辺を具体的に計算してみましょう．各項は\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_k}\cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k}} \\
\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_j}} \\
\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underline{(h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_i}}
\end{aligned}
です．ここで，上式の同じ記号がついた各項は等しくなります．これは，\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_k}\cdot (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k}} \\
\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underbrace{(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_j}} \\
\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i}
&=\underline{\underline{\frac{\partial (h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}\cdot (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}}
+\underline{(h_j\boldsymbol{\varepsilon}_j) \cdot \frac{\partial (h_k \boldsymbol{\varepsilon}_k)}{\partial \xi_i}}
\end{aligned}
\begin{aligned}
h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_i} \boldsymbol{e}_k
\end{aligned}
からh_i\boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_i} \boldsymbol{e}_k
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial^2 x_k}{\partial \xi_i \partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \\
&=\frac{\partial}{\partial \xi_i} \Biggl(\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \Biggr) \\
&=\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}
\end{aligned}
と示すことができます．\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i)}{\partial \xi_j}
&=\sum_{k=1}^3 \frac{\partial^2 x_k}{\partial \xi_i \partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \\
&=\frac{\partial}{\partial \xi_i} \Biggl(\sum_{k=1}^3 \frac{\partial x_k}{\partial \xi_j} \boldsymbol{e}_k \Biggr) \\
&=\frac{\partial (h_i\boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_i}
\end{aligned}
したがって，
\begin{aligned}
\Gamma_{i,jk}
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k} \\
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot
\Biggl( \frac{\partial h_j }{\partial \xi_k}\boldsymbol{\varepsilon}_j
+ h_j\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)\\
&=h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
+h_i h_j \Biggl(\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)
\end{aligned}
であることがわかりました．これを基底の微分について解くと\Gamma_{i,jk}
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot \frac{\partial (h_j \boldsymbol{\varepsilon}_j)}{\partial \xi_k} \\
&=(h_i\boldsymbol{\varepsilon}_i) \cdot
\Biggl( \frac{\partial h_j }{\partial \xi_k}\boldsymbol{\varepsilon}_j
+ h_j\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)\\
&=h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
+h_i h_j \Biggl(\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k} \Biggr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_i h_j }\Gamma_{i,jk}
-\textcolor{red}{\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
\end{aligned}
となります．よって，$\Gamma_{i,jk}$を$h_i,h_j,h_k$だけで表せば基底の微分の公式が完成します．\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_i h_j }\Gamma_{i,jk}
-\textcolor{red}{\frac{1}{h_i}\frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
\end{aligned}
式(\ref{eq:metric_tensor_2})
\begin{aligned}
g_{ij}=h_i^2 \delta_{ij}
\end{aligned}
からg_{ij}=h_i^2 \delta_{ij}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=2 h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
\end{aligned}
なので，$\Gamma_{i,jk}$は\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
&=2 h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr) \\
&=\textcolor{red}{ h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
+h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-h_j \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{aligned}
と計算することができます．これを先に求めた式に代入すれば，赤字部分が相殺し\Gamma_{i,jk}
&=\frac{1}{2}
\Biggl(\frac{\partial g_{ij}}{\partial \xi_k}
+\frac{\partial g_{ik}}{\partial \xi_j}
-\frac{\partial g_{jk}}{\partial \xi_i} \Biggr) \\
&=\textcolor{red}{ h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_k} \delta_{ij}}
+h_i \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-h_j \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-\frac{1}{h_i} \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{aligned}
であることがわかりました．//\frac{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_j}{\partial \xi_k}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_i
&=\frac{1}{h_j} \frac{\partial h_i}{\partial \xi_j} \delta_{ik}
-\frac{1}{h_i} \frac{\partial h_j}{\partial \xi_i} \delta_{jk}
\end{aligned}
参考文献
- 第2章「場の解析」$\text{\sect} 3$「直交曲線座標系と場の微分演算」に公式がまとめられています．導出は，演習問題（解答付き）になっています．
- 付録Aに公式が一覧としてまとまっています（導出は省略されています）．
*1:つまり，
\begin{aligned}
\boldsymbol{\varepsilon}_i \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_j
&=
\begin{cases}
\,1 &(i=j) \\
\,0 &(i\neq j)
\end{cases} \\
&=\delta_{ij}
\end{aligned}（$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタ）．
