流体の運動方程式（ナビエ・ストークス方程式）には，速度場 $\boldsymbol{v}$ を自分自身の向きに微分した移流項 $(\boldsymbol{v}\cdot\nabla)\boldsymbol{v}$ が現れます．デカルト座標では，成分ごとに $\boldsymbol{v}\cdot\nabla$ を作用させるだけで…

ベクトル場のラプラシアン（ベクトルラプラシアン）$\Delta\boldsymbol{A}$ は，流体のナビエ・ストークス方程式の粘性項（方程式全体を円筒座標・極座標の成分で書いた式は移流項の記事の7節）， ，弾性体の変位の方程式，電磁気学のベクトルポテンシャルの…

この記事では，曲線座標 $\xi^i$ での勾配（grad）・回転（rot）・発散（div）・ラプラシアンを，微分形式を使って導きます．ベクトルを微分形式と対応させると，grad・rot・div はどれも外微分 $\mathrm{d}$ になります．外微分の成分は偏微分だけで書けて…

入門編では，極座標（球座標）・円筒座標の発散（div）・ラプラシアン・回転（rot）を，任意の関数（テスト関数）$\psi$ を掛けて部分積分する方法で導きました．方法そのもの（テスト関数を掛けて部分積分する）は座標によらない考え方ですが，入門編でまと…

極座標（球座標）や円筒座標のラプラシアンは，点電荷のまわりの電位，水素原子のシュレーディンガー方程式，円柱の中の熱伝導など，物理のいろいろな場面に出てきます．ところが，デカルト座標のラプラシアン $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac…

テンソル解析を使うと，曲線座標でのベクトルの計算を，添字の計算として機械的に進めることができます．そこで，計算はテンソル解析で進めて，必要に応じてベクトル解析の記法に読み替える方針が実用的です．しかし，テンソル解析で計算した成分は，一般に…

極座標（球座標）や円筒座標のような直交曲線座標では，勾配（grad）・発散（div）・回転（rot）・ラプラシアンの公式が，座標ごとのスケール因子 $h_1,h_2,h_3$（座標を1つだけ少し動かしたときに進む距離の係数）だけで決まります．この記事では，一般の直…

物理学の様々な分野に登場する「波」。弦の振動、音波、電磁波、そして量子力学の物質波など、これらはそれぞれ異なる物理的背景を持ちながらも、似たような方程式で記述されます。 この連載記事では、様々な波動現象における保存則の共通点を調べ、それらが…

「$\log_{10} x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ でしょう？」・・・もしそう思ってしまったら、要注意です！$\log x$（自然対数）の微分は $\dfrac{1}{x}$ ですが、底が $e$ 以外の対数関数（常用対数など）を微分する際には、「底の変換公式」を使って底を $…

この記事のPOINT 物理学や工学で必須となる「関数の時間平均」をわかりやすく解説 時間的な周期性を持つ関数の長時間平均は、1周期分の平均に一致することを示す 交流回路や信号処理で重要な「実効値（RMS）」の意味と計算手法を紹介 電磁気学・光学などで活…

バームクーヘン積分を用いた回転体の体積の求め方を分かりやすく解説．公式の導出や幾何的な意味を図と式を用いて丁寧に説明．