物理学

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e^{ikr}/rに関する計算

直接の微分計算など,フツーはやらないことのメモ. 気になったとき(そんなことある?)に確認するためのもの. 直接計算でいかにラクをするかを考えるのはちょっと楽しい.【関連記事】 球面波 - Notes_JP ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP 1階微分 2階微分 …

速度の変換則(ローレンツ変換)

POINT ローレンツ変換をもとに速度の変換則を導く. 粒子運動を異なる慣性系で観測すると,粒子の運動方向が異なる. 光を異なる慣性系で観測すると,光線の角度がずれて見える(光行差). 【関連記事】 [A]等長変換:回転・反転・Lorentz変換 - Notes_JP …

昇降演算子:生成消滅演算子と角運動量演算子

POINT 生成・消滅演算子と角運動量演算子の議論を比較する. どちらも「昇降演算子」がカギ. 昇降演算子が現れる問題を比較してみます.生成・消滅演算子と角運動量演算子で,同じように議論を行います. 【関連記事】 [A]角運動量演算子についての記事を作…

Lambのストークス近似の解(定常,非圧縮)

POINT ストークス近似の解を,Lamb Hydrodynamics(参考文献[1])の方法で導出する. 例えば,①球の周りの流れ,②球に働く力を計算できる(関連記事[A]). 関連記事[A]の問題の下準備にあたる記事です. Wikipediaでは "Lamb's general solution" と呼ばれ…

球に働く力(ストークスの抵抗の法則)

POINT 定常な一様流の中に球を固定したときに,球に働く力を計算する. $F = 6\pi\mu a U$($U$:流れの速さ,$\mu$:粘性係数,$a$:球の半径). 関連記事[A]で計算した速度と圧力をもとに,球に働く力を計算することができます. 【関連記事】 [A]球を過…

球を過ぎる流れ

POINT 定常な一様流の中に球を固定したときの流れと圧力を求める(非圧縮流体でReynolds数が小さい場合). この結果から,球に働く力(Stokesの抵抗の法則)を計算できる. 有名な問題です.調べてみると,文献によって導出方法がかなり異なることがわかり…

ラプラス方程式

POINT Laplace方程式$\Delta\varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解. 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP [B]ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP [C]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP 変数分離 解 角度方程式 動径方程式…

体球調和関数と球面調和関数

POINT 体球調和関数と球面調和関数について. 【関連記事】 ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP ラプラス方程式 - Notes_JP 極座標のラプラシアン 体球調和関数と球面調和関数 3次元の場合 参考文献 極座標のラ…

ヘルムホルツ方程式

POINT Helmholtz方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解. 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP [B]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP [C]軸対称な波動方程式(ベクトルポテンシャル) - Notes_…

流体力学と無次元数

POINT 無次元化の具体例. 無次元化した方程式から「相似則」が導かれる. 無次元化の際,レイノルズ数などの無次元数が現れる. 【関連記事】 無次元化が必要な理由と方法〜数値計算の疑問 - Notes_JP Reynolds数 次元解析 方程式の無次元化 参考文献 Reyno…

ベクトルの射影と直交化

POINT 射影の基本的性質. ベクトルのとても基本的,かつ便利な考え方です.この記事で紹介するのは,慣れればどれも当たり前に感じられる性質です. この考え方は,フーリエ級数などでも役に立ちます. 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…

座標軸の回転と変換則

POINT 座標軸を回転させるとき,「基底は同じ方向に回転」し,「ベクトルは逆方向に回転」する. 基底の変換則,ベクトルの変換則を導く. 結果をまとめておきます($R(\theta)$は回転行列). 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…

磁場が軸性ベクトルであること

POINT 磁場が軸性ベクトル(擬ベクトル)であることの説明方法. ベクトルには,空間反転で符号を変える「極性ベクトル」と符号を変えない「軸性ベクトル」がある. 右手系と左手系のどちらをとるかで磁場の向きは変わってしまうが,方程式は変わらない. 【…

ベクトルの外積と座標変換

POINT ベクトルの外積(ベクトル積,クロス積)の注意点について. 座標変換の表式を導く. ベクトルの外積について,こんな性質もあるんだよ!というものをまとめています.性質としては重要なものですが,「計算」ではあまり使わないため忘れてしまいがち…

応力テンソルとは

POINT なぜ,応力がテンソルで表されるのか. 応力を考えると自然にテンソルが必要になる. 「テンソル(tensor)」の語源は「張力(tension)」であると言われています.ここでは,応力を考えることで,自然にテンソルの概念が現れることを見てみます. 【…

ベクトル解析の公式(積分編)

POINT ベクトル解析の積分公式. 【関連記事】 ベクトル解析・行列の公式 - Notes_JP ディアディック(ダイアド積)の計算 - Notes_JP ガウスの発散定理 スカラーの場合 テンソルへの拡張 参考文献 ガウスの発散定理一番スタンダードな形から導ける派生公式…

定常波・定在波の性質

POINT 定常波・定在波の性質について考察する. 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴. 【関連記事】 [A]2層・垂直入射の反射と透過(電磁波・音波・量子力学) - Notes_JP:振幅反射率の具体的な表式を求めています. [B]【旧版】定常波・定在波の性…

3層・垂直入射の反射と透過(電磁波・音波)

POINT 散乱問題と同じように,「定常的な状態を扱う方法」と「波を追跡する方法」がある. 前者では「定常的な解+境界条件」をもとに解き,後者は「すべての反射波・透過波(この際,境界条件を考慮)を合成する」ことで解く. 【関連記事】 [A]2層・垂直入…

2層・垂直入射の反射と透過(電磁波・音波・量子力学)

POINT 波(電磁波・音波)が,異なる媒質の境界面に対し垂直に入射した場合の反射・透過について. 量子力学で,1次元の階段型ポテンシャルに平面波が入射したときの反射・透過について. これらの波動現象が,ほとんど同じ方法で扱えることを,計算を比較し…

音波の方程式

POINT 音波を流体力学の基礎方程式から導出する. 摂動の1次までを考えると,波動方程式が得られる. 音波が波動方程式に従うことは,流体力学の方程式において摂動論を適用し,その1次の寄与を取り出すことで示されます.摂動の2次以上を考えると,もはや線…

1次元波動方程式と固定端(ディリクレ境界条件)

POINT 境界がある場合の1次元波動方程式の解を,ダランベールの公式(無限区間の初期値問題の解)をもとに考察する. 固定端の場合を考える(ディリクレ境界条件). 【関連記事】 [A]波動方程式とダランベールの公式 - Notes_JP 半無限区間 有限区間 参考文…

散乱と位相のずれ

POINT 散乱問題の解と位相のずれの関係について. $z$軸対称な散乱問題が,位相のずれを決定する問題に帰着することを示す. 【関連記事】 [A]ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP 散乱振幅 位相のずれ 散乱がない場合の位相 散乱がある場合の位相 解・散乱振幅と…

球面波

POINT 波動方程式の球面波解は,1次元波動方程式に帰着して求められる. 【関連記事】 ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP e^{ikr}/rに関する計算 - Notes_JP 球面波 参考文献 球面波球面波3次元波動関数\begin{aligned} \biggl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{…

波動方程式とダランベールの公式

POINT 1次元波動方程式の一般解(ダランベールの解)を導出する. 初期値問題の解(ダランベールの公式)を導出する. そのうち書こうと思っている記事の下準備です. 【関連記事】 球面波 - Notes_JP 1次元波動方程式と固定端(ディリクレ境界条件) - Note…

ラメ定数

POINT ラメ定数とヤング率,剛性率,ポアソン比について. ラメ定数と音速の関係について. ラメ定数 弾性体中の音速 疎密波の音速 せん断波の音速 ポアソン比と音速 参考文献/記事 ラメ定数密度$\rho$,ヤング率$E$,体積弾性率$K$,剛性率$G$,ポアソン比$…

【読書メモ】物理とグリーン関数(今村勤)

POINT 「物理とグリーン関数(今村勤)」の計算メモ. 次の書籍の計算メモです.物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4)作者:今村 勤岩波書店Amazon 記法 Fourier変換 Helmholtz型方程式 波動方程式 境界面のあるGreen関数 記法Fourier変換関数$f$のFourie…

電磁場の保存則

POINT 電磁場のエネルギーについて 【メモ】 古典的なエネルギー保存則については完成. あと,運動量保存則,エネルギー・運動量テンソル・Maxwellの応力テンソルについて触れたい. エネルギー保存則 参考文献 エネルギー保存則静止物体内のMaxwell方程式\…

示量性と示強性(熱力学)

POINT 示量性と示強性の定義. 示量性と示強性を用いた計算テクニック. 示量性関数の示量変数による導関数は示強変数になる. 記法は文献[1]に従います. 【関連記事】 【読書メモ】熱力学(田崎晴明) - Notes_JP 示量性 示強性 テクニック 参考文献 / 記…

【読書メモ】スピンはめぐる(朝永振一郎)

POINT 読書メモ(作成中). ロジックや計算の行間を補完します. 一般向けの本に見せかけて,数式がかなり出てきます.内容も「場の量子論」など,少し進んだトピックを含んでいるため,量子力学を学んだことがないと挫折してしまうかもしれません.量子力…

曲線座標系のデルタ関数

POINT 曲線座標系におけるデルタ関数の表式. デルタ関数の座標変換 デカルト座標系 円筒座標系 極座標系 参考文献 デルタ関数の座標変換デルタ関数の座標変換 $\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$(注:$f^{-1}(0)$が1点に定まるとする)に対し\begin{ali…