スカラー場 スカラー場の無限小回転 参考文献 スカラー場座標回転$\bm{x} \mapsto \bm{x}^{\prime} = R\bm{x}$に対して，$f\mapsto f^{\prime}$が以下のように変換するとき，$f$をスカラー場という．\begin{aligned} f: & \bm{x} \mapsto f(\bm{x}) \\ f^{\p…

無限小回転と任意の回転の関係について見ていきます． ベクトルの無限小回転 任意の回転 外積の行列表現 回転行列と交代行列の関係 参考文献 ベクトルの無限小回転ベクトル$\bm{\omega}$を回転軸とする回転を考える．ベクトル$\bm{\omega}$の大きさは，時間$…

波数ベクトルの変換則から求める 参考文献 波数ベクトルの変換則から求める音のドップラー効果と同じように考える． ➡音のドップラー効果をガリレイ変換で考える - Notes_JP波の伝播方向を向く単位ベクトルを$\hat{\bm{k}}$とし，波数ベクトル\begin{aligned…

高校物理では，音のドップラー効果を以下の方法で求めました． ➡【高校物理】ドップラー効果（音波） - Notes_JP一方，光のドップラー効果は，ローレンツ変換を使って計算されます．この計算と比較するために，音のドップラー効果をガリレイ変換で計算しまし…

POINT ベクトル解析の公式と，その導出方法の一覧． 行列計算も統一的に理解できる． ベクトル解析の公式と，その導出方法を一覧にまとめました．力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で，これらの計算はとても重要です．計算練習をして，すぐに公式を導出…

完全反対称テンソルの縮約POINTベクトル解析の計算でよく使う「完全反対称テンソルの縮約公式」を簡単に導出する．ベクトル解析でよく使う公式に「完全反対称テンソルの縮約公式」があります． ※完全反対称テンソルは，レビ・チビタ記号，エディントンのイプ…

以下の書籍で紹介されている計算方法です．電磁気学とベクトル解析 (数学と物理の交差点 2)作者:吉田 善章共立出版Amazonラプラシアンやdivを簡単に導くには，以下の方法もあります： ラプラシアンの計算はヤコビアンを使うと簡単 - Notes_JP 記法 ベクトル…

【関連記事】 黒体輻射のスペクトル - Notes_JP 放射量（radiometric quantity） 放射エネルギー（radiant energy）$Q_{\mathrm{e}}$ 放射束（radiant flux）$\Phi_{\mathrm{e}}$ 放射強度（radiant intensity）$I_{\mathrm{e}}$ 放射輝度（radiance）$L_{\m…

Slowly varying envelope approximationについて． Slowly varying envelope approximation - Wikipedia \begin{aligned} A(x+\lambda) \simeq A(x) + \frac{\partial A}{\partial x}(x) \lambda \end{aligned}が成り立つとき，2次の項\begin{aligned} \frac…

POINT よく使う行列の性質をまとめます． 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例：2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$（$a_{ji}=a_{ij}$）を満たす行列を「対称行列」と呼びます．逆行列対称行列の…

POINT パワースペクトルの定義と意味，自己相関関数との関係について． 応用例として熱雑音を取り上げる． 【関連記事】 相関関数と畳み込み - Notes_JP 時間平均 - Notes_JP パワースペクトル 熱雑音 参考文献 パワースペクトル$x(t)$を$[-T/2, T/2]$でだけ…

POINT Planckの輻射公式・Stefan-Boltzmannの法則・形態係数の導出 スペクトルを計算する 黒体輻射（Black body radiation）について整理します．機会があれば，場の理論的なアプローチも扱いたいと思っています． 【関連記事】 [A]放射量と測光量 - Notes_J…

POINT 関数の時間平均について． 時間的に周期性を持つ関数の長時間平均はゼロになる． 【関連記事】 電場の複素表示 - Notes_JP 時間平均 周期関数 実効値 複素数表示した波の時間平均 単色波の場合 一般の場合 複素場（解析信号）の構成 関係式の証明 時間…

POINT 「場の理論」の直感的な説明を試みた書籍． 場の理論を勉強する前に読んでおきたい本です！ 以下（3冊）の書籍のメモです（【注】自分がわかりやすいように解釈し直しているので，誤りを含む可能性があります）．著者の場の理論に対する説明は一貫して…

POINT ミラーの反射による偏光の変化をジョーンズベクトル・行列で計算する方法のメモ． 座標系の取り方は参考文献[1]に従う． 2つのミラー 図示による方法 ジョーンズベクトルとジョーンズ行列を使う方法 補足：ミラー間の座標回転角度の求め方 参考文献 2…

POINT 相関関数と畳み込みの比較． フーリエ変換を使って計算する方法 フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義 畳み込み積分の意味 フーリエ変換を使った計算方法 離散版 参考記事 定義ここでは積分変数$t$を時間とみなす．…

POINT 粘性流体の応力テンソル，弾性体の応力テンソルについて． 連続物体の運動方程式には「応力テンソル」が現れます（関連記事 [A]）．粘性流体と弾性体の場合に，応力テンソルの表式を整理します．【関連記事】 [A] 流体力学の方程式（運動方程式・連続…

POINT 音速を熱力学の観点から見てみる． 音速を等温変化で表す． 【関連記事】 応力テンソル（流体・弾性体） - Notes_JP 音波の方程式 - Notes_JP ラメ定数 - Notes_JP 断熱圧縮率と等温圧縮率 音速と等温変化 参考文献 断熱圧縮率と等温圧縮率断熱圧縮率…

POINT ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツ分解）に関するメモ 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP ヘルムホルツの定理 性質 div A = 0を満たすものが存在すること 参考文献 ヘルムホルツの定理ベクトル場$\bm{v}$は，スカラーポテンシャル$\phi $と…

POINT 「実関数のフーリエ変換」の性質について． 現実のデータをフーリエ変換で解析する場合，実数値関数のフーリエ変換となる場合が多い．その性質を知っておくと解析で役に立つ場合がある．フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes…

POINT 超関数である，ディラックのデルタ関数の公式とその導出． 【関連記事】 曲線座標系のデルタ関数 - Notes_JP フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義 公式 その他の計算例 参考文献 定義デルタ関数関数$\varphi$に対し\begin{aligned} \int_{-\inft…

POINT Savitzky-Golayの係数を計算するsavgol_coeffsの内容に関するメモ． scipy.signal.savgol_coeffs — SciPy v1.12.0 Manualの計算メモ．思ったよりも単純ではなかった．Referencesの"Ying, and Jing Bai. 2005. Savitzky-Golay smoothing and differenti…

直接の微分計算など，フツーはやらないことのメモ． 気になったとき（そんなことある？）に確認するためのもの． 直接計算でいかにラクをするかを考えるのはちょっと楽しい．【関連記事】 球面波 - Notes_JP ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP 1階微分 2階微分 …

POINT ローレンツ変換をもとに速度の変換則を導く． 粒子運動を異なる慣性系で観測すると，粒子の運動「方向」が異なって見える． 光を異なる慣性系で観測すると，光線の角度がずれて見える（光行差）． 【関連記事】 [A]等長変換：回転・反転・Lorentz変換 …

POINT 生成・消滅演算子と角運動量演算子の議論を比較する． どちらも「昇降演算子」がカギ． 昇降演算子が現れる問題を比較してみます．生成・消滅演算子と角運動量演算子で，同じように議論を行います． 【関連記事】 [A]角運動量演算子についての記事を作…

POINT ストークス近似の解を，Lamb Hydrodynamics（参考文献[1]）の方法で導出する． 例えば，①球の周りの流れ，②球に働く力を計算できる（関連記事[A]）． 関連記事[A]の問題の下準備にあたる記事です． Wikipediaでは "Lamb's general solution" と呼ばれ…

POINT 定常な一様流の中に球を固定したときに，球に働く力を計算する． $F = 6\pi\mu a U$（$U$：流れの速さ，$\mu$：粘性係数，$a$：球の半径）． 関連記事[A]で計算した速度と圧力をもとに，球に働く力を計算することができます． 【関連記事】 [A]球を過…

POINT 定常な一様流の中に球を固定したときの流れと圧力を求める（非圧縮流体でReynolds数が小さい場合）． この結果から，球に働く力（Stokesの抵抗の法則）を計算できる． 有名な問題です．調べてみると，文献によって導出方法がかなり異なることがわかり…

POINT Laplace方程式$\Delta\varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解． 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式（中心力場） - Notes_JP [B]ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP [C]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP 変数分離 極座標での解 角度方程式 …

POINT 体球調和関数と球面調和関数について． 【関連記事】 ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP シュレーディンガー方程式（中心力場） - Notes_JP ラプラス方程式 - Notes_JP 極座標のラプラシアン 体球調和関数と球面調和関数 3次元の場合 参考文献 極座標のラ…