2015-09-01から1日間の記事一覧

無作為標本と標本平均

POINT 無作為標本 標本平均 参考文献 無作為標本無作為標本 / Random sample独立で同一の確率分布に従う確率変数列$\{X_i\}_{i=1}^N$を無作為標本と呼ぶ.(以下では,確率変数列$\{X_i\}_{i=1}^N$の従う確率分布の平均値を$\mu$, 標準偏差を$\sigma$と表す…

【メモ】REAL AND COMPLEX ANALYS (Walter Rudin)

昔読んだときのノートが出てきたので,読み直してみようかな,という試み(をするかもしれないので,ページだけを用意). 他のルベーグ積分の教科書に比べて,道筋が明快で読みやすかった記憶があります.Real and Complex Analysis(表紙は赤と緑2種類が…

音波(図解)

POINT 1次元の音波を図解する. 図を書く際は,横軸が「位置」か「時間」かをはっきりさせることが重要. この記事では, $\xi$:流体粒子の平衡位置からの変位.バネで言えば,釣り合い位置からの伸びです. $p$:圧力. $\displaystyle v=\frac{\partial\x…

波動現象のエネルギー保存則

POINT 作成中(編集上の都合により公開) 波動現象という観点でエネルギー保存則を整理する. 音波,電磁気学,量子力学 波動方程式を満たす関数には,エネルギー保存則が成り立ちます.音波や真空中の電磁波は波動方程式を満たすことから,これらのエネルギ…

行列の性質

POINT 行列の性質 【関連記事】 ベクトル解析・行列の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列:クラメルの公式 対称行列${}^t \!A = A$($a_{ji}=a_{ij}$)を満たす行列を「対称行列」と呼びます.逆行列対称行列の逆行列対称行列が正則であるとき,その逆…

速度ポテンシャル(音波)

POINT 流体力学における速度ポテンシャルの音波への適用例. 【関連記事】 [A]流体力学の方程式(運動方程式・連続の方程式・状態方程式) - Notes_JP [B]音波の方程式 - Notes_JP:速度ポテンシャルの導入について丁寧に説明しています. 速度ポテンシャル …

圧力と応力

POINT 応力テンソルと圧力の関係. 完全流体 完全流体完全流体における応力は面に垂直に働く「圧力」だけです.圧力は「圧力の働く点」のみに依存し,「圧力の働く面」のとり方には依存しない(すべての方向に同じ値をとる)ことが示せます.したがって,各軸…

関数の平行移動と波動

POINT 関数$y=f(x)$の$x$軸,$y$軸方向の平行移動を表す方法. 波動現象(例えば,音や光)を扱う際,「速度$V$で進む波」を関数で表す必要があります.これは,「関数の平行移動」を用いて表現することができます. 関数の平行移動 x方向 y方向 波 関数の平…

Maxwell方程式の意味

POINT Maxwell方程式は,積分形で考えれば高校物理の電磁気の知識に帰着できる. 流体力学の方程式なども,同様に考えることができる. Maxwell方程式 ファラデーの法則(電磁誘導) クーロンの法則(磁気) アンペールの法則 ガウスの法則 付録 ガウスの発…

デルタ関数と公式

POINT 超関数である,ディラックのデルタ関数の公式とその導出. 【追記予定】 超関数とは.特に,等号の意味. 定義 公式 その他の計算例 参考文献 定義デルタ関数関数$\varphi$に対し\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \varphi(x) \,\mat…

畳み込み

POINT 畳み込み(合成積・convolution・コンボリューション)の定義・意味・性質について. 作成中... 定義 意味 応用 性質 交換律 フーリエ変換 定義畳み込み\begin{align} (f*g)(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) \,\mathrm{d}\tau \end…

不偏推定量とは

POINT 不偏推定量 平均値 分散 補足 参考文献 不偏推定量『推定量の分布の期待値』が『推定したい値の真値』と一致することは,「性質が良い」推定量の条件と言えるでしょう.この性質を持つ推定量を,不偏推定量 (Unbiased estimator) と呼びます.無作為標…

共変微分の計算法

POINT 作成中... 計算ルール 計算例 反変ベクトル リーマン曲率テンソル 参考文献 計算ルール 成分への作用:$\boldsymbol{\nabla}_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}=\partial_\mu T^{\alpha_1\cdots \al…

ベクトルラプラシアン

POINT 作成中...(未完成,未検算) ベクトルラプラシアンの計算方法と注意点. ベクトルラプラシアンとは 一般式 円筒座標 極座標 参考文献/記事 ベクトルラプラシアンとはベクトルラプラシアンベクトル場(ベクトル値関数)$\boldsymbol{A}(\boldsymbol…

軸対称な波動方程式(ベクトルポテンシャル)

POINT 軸対称な場のベクトルポテンシャルが満たす波動方程式を考察する. 円筒座標 極座標 参考文献/記事 円筒座標円筒座標系の解円筒標系を考える.$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$が$z$軸に対して軸対称なとき,\begin{aligned} \boldsymbol{\n…

ちょっと感動した計算

POINT 個人的にすごい!と思った計算の備忘録です. 覚えておくと応用がきくかもしれません. ラプラシアンの計算 ラプラシアンの計算ラプラシアンの計算\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 f(r) &=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} +\frac{2}…

三角関数の公式をオイラーの公式で導く

POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる. オイラーの公式を使わない方法は,次の記事を参照してください:三角関数と公式 - Notes_JP オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角関数の公式を導…

直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)

POINT 直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)の一般式を導出する. 計算方法が丁寧に記されているものが見つからなかったので,詳しく計算してみました.もっと簡単な方法が見つかれば追記します. 線素 勾配(grad) 発散(div) 回転(rot) 基底の…

ベッセル関数の関係式

POINT ベッセル関数の関係式. 積分表示 平面波 参考文献 積分表示積分表示 Besselの積分表示: $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta$ Hansenの積分表示: $J_n(x)$$\displaystyl…