POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法． 【関連記事】 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{…

POINT 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける． 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます．単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう． 【関連記事】 平方完成とは 手順 …

POINT 複数の三角関数の和を計算する． 物理的には，単振動を複数合成することを意味する． オイラーの公式を用いて導出することもできる． 【関連記事】 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは，$\sin$と$\c…

POINT 流体力学で現れる物質微分（ラグランジュ微分）の意味について． 物質微分は，流体の流れと一緒に移動する「流体粒子」からみた微分とみなせる． 物質微分の関係式を考察する． 「物質微分」は流体力学で基礎的かつ重要な概念です．最初はとっつきにく…

POINT クリストッフェル記号の定義と性質について． 円筒座標系，極座標系の具体計算を行う． 定義 性質 円筒座標 極座標 参考文献/記事 定義\begin{aligned} \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma} &=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\ \Gamma_{\alpha\b…

POINT 流体力学において流れを決定する方程式を整理する． 運動方程式(1)は任意の連続物体（流体，弾性体，塑性体）について成り立つ 連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は，それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します．流体力学で…

POINT 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します． ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので，波動現象（電磁波，音波など）の理解にも役立ちます． Schrödinger方程式 解法（変数分離） 変数分離 角度変数 動径関数 参考文献 【…

POINT フーリエ変換の関係式とその導出． 【関連記事】 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数倍 参考文献 定義関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F…

POINT Pythonでアニメーションを作成する方法． 数値計算の結果の描画などに利用できる． 公開されているサンプルコードを少しいじって，挙動を確認した． Pythonでアニメーションを作成できることを知りました．二重振り子の微分方程式を解き，その運動をア…

POINT 単振り子の厳密解とPython(SciPy)の計算結果を比較する． 厳密解の導出を解説する． 数値計算の妥当性を確認するために，2通りの方法 常微分方程式をSciPy(odeint, ode, solve_ivp)を用いて解いたものをプロットする方法 厳密解を楕円積分・楕円関数を…

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…

POINT フックの法則（ひずみテンソル）の座標変換の計算方法． テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後，極座標・円筒座標の具体式を計算する． 以下で与えられる，座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です． 歪テンソル（極座標） 歪テンソル（…

POINT ディアディック（ダイアド積）の計算方法について解説． 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる． 流体力学や電磁気学におけるベクトル解析の計算で，「ディアディック（ダイアド積）」と呼ばれる量が現れます．いきな…

POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…

TikZで作った図（2D）POINT TikZで作成した図（2D）のソースコードを紹介！ 3次元編はこちら ブログ記事のためにTikZで作成した図のTeXコードを，備忘録として残しておきます． ベクトルの回転（2次元） 二項分布 棄却域（統計的仮説検定） ベン図 ポートフ…

POINT 最小二乗法の計算を解説． 最小二乗法の計算について紹介します．微分法による極値問題の一例としても良い題材です．この記事では細かい部分を詰めることはせず，ざっくりとした計算の流れを整理することを目的とします．【関連記事】 線形回帰 - Note…

ユークリッドの互除法POINT 絵を使えば「ユークリッドの互除法」が簡単にわかる． 絵を書くことで，最大公約数の求め方（ユークリッドの互除法）を簡単に理解できます．【メモ】 あと何箇所か絵を入れたい． 不定方程式も図解したい． 絵で見る最大公約数 絵…

POINT 整数の最大公約数の求め方． 繰り返し2数の割り算を計算することで，最大公約数がわかる． 整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法に「ユークリッドの互除法」と呼ばれる方法があります．名前は難しそうですが，やっていることはとても簡単です．実際，…

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出する． 計算フォーム・Excelにコピペして使えるフォーマットもあります． 単純な「連立方程式」の問題ですが，一般解は少し複雑な形になります． 計算フォーム Excel用フォーマット 導出 円…

TikZで作った図POINT TikZを使うと，TeX環境で簡単にきれいな図を作成することができる． TikZで作成した図（3D）のソースコードを紹介！ TikZ実例集〜2Dグラフ編 - Notes_JP 記事のために作った図のTeXコード（TikZを利用）を，備忘録として残します． ベク…

POINT テンソルは「ベクトル（と転置ベクトル）」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる． 例：行列$M$はテンソルである．なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値：${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

POINT 三角関数の公式のほとんどは，単位円やグラフを描けば導ける． 例外的に「加法定理（3つ）」だけは暗記が必要．他の公式は加法定理から簡単に計算できる． 三角関数はあらゆる分野で現れます．ベクトルなどと同様に，ツールとしての役割が大きいです．…