物理学-物理数学

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応力テンソルとは

POINT 応力がなぜテンソルで表されるのかを解説. 「張力(tension)」が「テンソル(tensor)」の語源であると言われています.実際に,応力を考えると自然にテンソルという概念が現れることを見てみましょう. 応力 応力テンソル 応力ベクトルの積分 参考…

シュレーディンガー方程式(中心力場)

POINT 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します. ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので,波動現象(電磁波,音波など)の理解にも役立ちます. Schrödinger方程式 解法 ラプラシアン 角度変数 動径関数 ヘルムホルツ方程式…

フーリエ変換の公式と導出

POINT フーリエ変換の関係式とその導出. 気が向いたら(他の関係式も)追記していきます.理論編はまた別記事で書きたいと思っています. 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の変換 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い …

フックの法則/ひずみテンソルの座標変換(極座標・円筒座標)

POINT フックの法則(ひずみテンソル)の座標変換の計算方法. テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後,極座標・円筒座標の具体式を計算する. 以下で与えられる,座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です. 歪テンソル(極座標) 歪テンソル(…

ディアディック(ダイアド積)の計算

POINT ディアディック(ダイアド積)の計算方法について解説. 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる. 流体力学などのベクトル解析の計算では,「ディアディック(ダイアド積)」と呼ばれる量が現れることがあります.いき…

ガウス積分と派生公式

POINT ガウス積分の計算をまとめました. ガウス積分とは,ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです.ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから,ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります.派生する公式が多いことも特徴の一つです…

テンソルは関数として理解できる

POINT テンソルは「ベクトル(と転置ベクトル)」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる. 例:行列$M$はテンソルである.なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値:${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

発散・ラプラシアンの計算法(極座標・円筒座標)

POINT 面倒な偏微分の計算(連鎖率・チェーンルール・合成関数の微分)無しでラプラシアンを計算する方法. 極座標・円筒座標の発散・ラプラシアンを数行で計算できる. 一般の曲線座標系への拡張はこちら. 一般論(曲線座標系)における複雑な議論を徹底的…

「テンソル記法」から「ベクトル解析の記法」への変換方法

POINT テンソル演算で得られた結果を,ベクトル解析の記法に書き換える方法. テンソル解析ではベクトルの変換則を$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定めるが,この計算で得られる成分はベクトル解析で扱…

【実用例】面積・体積の計算法

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説. 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介. 公式として覚えているものも,同じプロセスで導かれることを見てみましょう.いつでも導出できるようになると便利です.とりあえずは球を中心に作成しました.他の例も,こ…

テンソルと行列が混同される理由

POINT 「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソル)の成分」になることが混乱の原因. この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する. テンソルを関数と捉えて「行列がテンソルとなること」を示す方法もある. テンソルと行列の違…

テンソルの変換則とその導出

POINT 基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました.この議論を一般化す…

反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で …

ラプラシアン(極座標・円筒座標・曲線座標)を超簡単に計算

POINT 曲線座標(極座標・円筒座標など)のラプラシアン・発散(ダイバージェンス)を数行で計算する方法. 合成関数の微分(連鎖率・チェーンルール)なしで計算できる. より一般の曲線座標(曲がった空間)でも同じ方法が使える. 極座標・円筒座標の計算…

【等長変換】回転・反転・Lorentz変換

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される. ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています.但し,これは「ユークリッド空間」での話です…

【例】収束因子

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介. 物理においては,実験との比較によって正当化される. 物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります.この操作が正当化されるの…

曲面積の求め方

POINT 定義さえ理解すれば,派生公式なしで計算が可能. 具体例として,回転体の表面積などの派生公式を導く. この記事を読めば,曲面積の定義式さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要はないことがわかります!具体例を交えながら見ていきましょう. 曲…

スターリングの公式の表式について

POINT スターリングの公式の異なる2つの表式の関係. 統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考察します. スターリングの公式の2つの表式 式 (\ref{eq:st_phys})の導出 2式の関係について 付録 計算メモ スターリングの公式の2つの表式スターリング…

ベクトル解析・行列演算の公式

POINT ベクトル解析の公式と,その導出方法の一覧. 行列計算も統一的に理解できる. ベクトル解析の公式と,その導出方法を一覧にまとめました.力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で,これらの計算はとても重要です.計算練習をして,すぐに公式を導出…

完全反対称テンソルの縮約公式

完全反対称テンソルの縮約POINT 「完全反対称テンソル(レビ・チビタ記号,エディントンのイプシロン)の縮約公式」を簡単に導出する方法. この公式は,ベクトル解析の計算で欠かすことができない. ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル(レ…

ベッセル関数の関係式

POINT ベッセル関数の関係式. 積分表示 平面波 参考文献 積分表示積分表示 Besselの積分表示: $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta$ Hansenの積分表示: $J_n(x)$$\displaystyl…

直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)

POINT 直交曲線座標系の微分公式(grad, div, rot)の一般式を導出する. 計算方法が丁寧に記されているものが見つからなかったので,詳しく計算してみました.もっと簡単な方法が見つかれば追記します. 線素 勾配(grad) 発散(div) 回転(rot) 基底の…

ちょっと感動した計算

POINT 個人的にすごい!と思った計算の備忘録です. 覚えておくと応用がきくかもしれません. ラプラシアンの計算 ラプラシアンの計算ラプラシアンの計算\begin{align} \boldsymbol{\nabla}^2 f(r) &=\biggl( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} r^2} +\frac{2}…

軸対称な波動方程式(ベクトルポテンシャル)

POINT 軸対称な場のベクトルポテンシャルが満たす波動方程式を考察する. 円筒座標 極座標 参考文献/記事 円筒座標円筒座標系の解円筒標系を考える.$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}$が$z$軸に対して軸対称なとき, \begin{align} \boldsymbol{\na…

ベクトルラプラシアン

POINT 作成中...(未完成,未検算) ベクトルラプラシアンの計算方法と注意点. ベクトルラプラシアンとは 一般式 円筒座標 極座標 参考文献/記事 ベクトルラプラシアンとはベクトルラプラシアン$\boldsymbol{A}={}^{t}(A_x,A_y,A_z)$をベクトルとすると…

共変微分の計算法

POINT 作成中... 計算ルール 計算例 反変ベクトル リーマン曲率テンソル 参考文献 計算ルール 成分への作用:$\boldsymbol{\nabla}_\mu T^{\alpha_1\cdots \alpha_p}_{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \beta_1\cdots \beta_q}=\partial_\mu T^{\alpha_1\cdots \al…

クリストッフェル記号

POINT 作成中... さまざまな座標系の具体計算を行う. 定義 円筒座標 極座標 定義\begin{align} \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma} &=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\ \Gamma_{\alpha\beta\gamma} &=\frac{1}{2} (\partial_{\gamma}g_{\alpha\beta}…