物理学-物理数学

このカテゴリーの目次を作成しました: Physics記事の一覧

ベクトル解析を使いこなすために(記事一覧)

基本編 ラプラシアン編 座標変換編 テンソル編 基本的な計算 テンソルを使ってベクトル解析 テンソル小話 文献 基本編ベクトル解析の公式は,慣れるととその場ですぐに計算できるようになります.第$i$成分を計算する方法をマスターしましょう. 外積の計算…

行列の性質

POINT よく使う行列の性質をまとめます. 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例:2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$($a_{ji}=a_{ij}$)を満たす行列を「対称行列」と呼びます.逆行列対称行列の…

時間平均

POINT 関数の時間平均について. 時間的に周期性を持つ関数の長時間平均はゼロになる. 【関連記事】 電場の複素表示 - Notes_JP 時間平均 周期関数 実効値 複素数表示した波の時間平均 単色波の場合 一般の場合 複素場(解析信号)の構成 関係式の証明 時間…

相関関数と畳み込み

POINT 相関関数と畳み込みの比較. フーリエ変換を使って計算する方法 【関連記事】 定義と意味 フーリエ変換を使った計算方法 離散版 参考記事 定義と意味ここでは積分変数$t$を時間とみなす.相互相関関数も畳み込み積分も,「①2つの関数$f, g$のうち一方…

ヘルムホルツの定理(ヘルムホルツ分解)

POINT ヘルムホルツの定理(ヘルムホルツ分解)に関するメモ 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP ヘルムホルツの定理 性質 div A = 0を満たすものが存在すること 参考文献 ヘルムホルツの定理ベクトル場$\bm{v}$は,スカラーポテンシャル$\phi $と…

実関数のフーリエ変換

POINT 「実関数のフーリエ変換」の性質について. 現実のデータをフーリエ変換で解析する場合,実数値関数のフーリエ変換となる場合が多い.その性質を知っておくと解析で役に立つ場合がある.【関連記事】 連続フーリエ変換 一般論 偶関数の場合 奇関数の場…

デルタ関数と公式

POINT 超関数である,ディラックのデルタ関数の公式とその導出. 【関連記事】 曲線座標系のデルタ関数 - Notes_JP フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義 公式 その他の計算例 参考文献 定義デルタ関数関数$\varphi$に対し\begin{aligned} \int_{-\inft…

savgol_coeffs(scipy)のメモ(Savitzky-Golay)

POINT Savitzky-Golayの係数を計算するsavgol_coeffsの内容に関するメモ. scipy.signal.savgol_coeffs — SciPy v1.12.0 Manualの計算メモ.思ったよりも単純ではなかった.Referencesの"Ying, and Jing Bai. 2005. Savitzky-Golay smoothing and differenti…

e^{ikr}/rに関する計算

直接の微分計算など,フツーはやらないことのメモ. 気になったとき(そんなことある?)に確認するためのもの. 直接計算でいかにラクをするかを考えるのはちょっと楽しい.【関連記事】 球面波 - Notes_JP ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP 1階微分 2階微分 …

ラプラス方程式

POINT Laplace方程式$\Delta\varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解. 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP [B]ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP [C]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP 変数分離 極座標での解 角度方程式 …

体球調和関数と球面調和関数

POINT 体球調和関数と球面調和関数について. 【関連記事】 ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP ラプラス方程式 - Notes_JP 極座標のラプラシアン 体球調和関数と球面調和関数 3次元の場合 参考文献 極座標のラ…

ヘルムホルツ方程式

POINT Helmholtz方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解. 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式(中心力場) - Notes_JP [B]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP [C]軸対称な波動方程式(ベクトルポテンシャル) - Notes_…

ベクトルの射影と直交化

POINT 射影の基本的性質. ベクトルのとても基本的,かつ便利な考え方です.この記事で紹介するのは,慣れればどれも当たり前に感じられる性質です. この考え方は,フーリエ級数などでも役に立ちます. 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…

座標軸の回転と変換則

POINT 座標軸を回転させるとき,「基底は同じ方向に回転」し,「ベクトルは逆方向に回転」する. 基底の変換則,ベクトルの変換則を導く. 結果をまとめておきます($R(\theta)$は回転行列). 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…

磁場が軸性ベクトルであること

POINT 磁場が軸性ベクトル(擬ベクトル)であることの説明方法. ベクトルには,空間反転で符号を変える「極性ベクトル」と符号を変えない「軸性ベクトル」がある. 右手系と左手系のどちらをとるかで磁場の向きは変わってしまうが,方程式は変わらない. 【…

ベクトルの外積と座標変換

POINT ベクトルの外積(ベクトル積,クロス積)の注意点について. 座標変換の表式を導く. ベクトルの外積について,こんな性質もあるんだよ!というものをまとめています.性質としては重要なものですが,「計算」ではあまり使わないため忘れてしまいがち…

応力テンソルとは

POINT なぜ,応力がテンソルで表されるのか. 応力を考えると自然にテンソルが必要になる. 「テンソル(tensor)」の語源は「張力(tension)」であると言われています.ここでは,応力を考えることで,自然にテンソルの概念が現れることを見てみます. 【…

ベクトル解析の公式(積分編)

POINT ベクトル解析の積分公式. 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP ディアディック(ダイアド積)の計算 - Notes_JP ガウスの発散定理 スカラーの場合 テンソルへの拡張 参考文献 ガウスの発散定理一番スタンダードな形から導ける派生公式を紹介…

【読書メモ】物理とグリーン関数(今村勤)

POINT 「物理とグリーン関数(今村勤)」の計算メモ. 次の書籍の計算メモです.物理とグリーン関数 (物理数学シリーズ 4)作者:今村 勤岩波書店Amazon 記法 Fourier変換 Helmholtz型方程式 波動方程式 境界面のあるGreen関数 記法Fourier変換関数$f$のFourie…

曲線座標系のデルタ関数

POINT 曲線座標系におけるデルタ関数の表式. 【関連記事】 デルタ関数と公式 - Notes_JP デルタ関数の座標変換 デカルト座標系 円筒座標系 極座標系 参考文献 デルタ関数の座標変換デルタ関数の座標変換 $\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$(注:$f^{-1}…

鞍点法

POINT 鞍点法(鞍部点法,最急降下(線)法)の計算について. 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数(正則関数)$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す($f=u+iv$)ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…

合成関数の微分-記法と混乱しない方法

POINT 合成関数を簡略化して書くと,計算で混乱を生じ得る. 混乱した場合は「簡略化の記法をやめて,定義に戻って考える」と良い. 以前から,これ混乱しない?と思っていたので記事にしました.そもそも「簡略化した記法」を使うことが多すぎて,「簡略化…

球に関係する積分

POINT 球が積分領域など,何らかの形で関わる積分計算のメモ. 分類の仕方は暫定です.増えてきたらまた考えます. 【関連記事】 曲面積の求め方 - Notes_JP:球の表面積 Helmholtz方程式関連 Helmholtz方程式関連LAMB, HYDRODYNAMICS, SIXTH EDITION, DOVER…

クリストッフェル記号

POINT クリストッフェル記号の定義と性質について. 円筒座標系,極座標系の具体計算を行う. 定義 性質 円筒座標 極座標 参考文献/記事 定義\begin{aligned} \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma} &=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\ \Gamma_{\alpha\b…

シュレーディンガー方程式(中心力場)

POINT 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します. ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので,波動現象(電磁波,音波など)の理解にも役立ちます. Schrödinger方程式 解法(変数分離) 変数分離 角度変数 動径関数 参考文献 【…

フーリエ変換の公式と導出

POINT フーリエ変換の関係式とその導出. 【関連記事】 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数倍 参考文献 定義関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F…

フックの法則/ひずみテンソルの座標変換(極座標・円筒座標)

POINT フックの法則(ひずみテンソル)の座標変換の計算方法. テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後,極座標・円筒座標の具体式を計算する. 以下で与えられる,座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です. 歪テンソル(極座標) 歪テンソル(…

ディアディック(ダイアド積)の計算

POINT ディアディック(ダイアド積)の計算方法について解説. 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる. 流体力学や電磁気学におけるベクトル解析の計算で,「ディアディック(ダイアド積)」と呼ばれる量が現れます.いきな…

ガウス積分と派生公式

POINT ガウス積分の計算をまとめました. ガウス積分とは,ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです.ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから,ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります.派生する公式が多いことも特徴の一つです…

テンソルは関数として理解できる

POINT テンソルは「ベクトル(と転置ベクトル)」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる. 例:行列$M$はテンソルである.なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値:${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…