周期関数の「フーリエ変換」

POINT

• 周期関数の「フーリエ変換」はくし型関数（くし型関数 - Wikipedia）で表せる．

フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP

くし型関数

くし型関数を

\begin{aligned}
\delta_{T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)
\end{aligned}

と表す．

フーリエ級数展開すると

\begin{aligned}
\delta_{T}(t)
& = \sum_{n=-\infty}^{\infty}
\Biggl(\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \delta_{T}(t) e^{-i(2\pi/T)t} \,\mathrm{d}t \Biggr)
e^{in(2\pi/T)t} \\
&= \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{in(2\pi/T)t}
\end{aligned}

だから，くし型関数の「フーリエ変換」は

\begin{aligned}
\mathcal{F}[\delta_{T}(t)] (\omega)
&= \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{in(2\pi/T)t} e^{-i\omega t} \,\mathrm{d}t \\
&= \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathcal{F}[1] (\omega - n(2\pi/T)) \\
&= \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} 2\pi \delta(\omega - n(2\pi/T)) \\
&= \frac{2\pi}{T} \delta_{2\pi/T} (\omega)
\end{aligned}

と「くし型関数」になる．

周期関数の「フーリエ変換」

周期$T$の周期関数$f(t)$は

\begin{aligned}
f(t)
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{0}(t - nT) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{0}(\tau) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT - \tau) \,\mathrm{d}\tau \\
&= (f_{0} * \delta_{T}) (t) \\
f_{0}(t) &=
\begin{cases}
\, f(t) & (-T/2 \leq t < T/2) \\
\, 0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
\end{aligned}

と，くし型関数との畳み込みを使って表せる．

畳み込みのフーリエ変換は，フーリエ変換の積になるから（参考：フーリエ変換を使った相関関数と畳み込みの計算方法 - Notes_JP）

\begin{aligned}
\mathcal{F}[f](\omega)
&= \mathcal{F}[f_{0}](\omega) \cdot \mathcal{F}[\delta_{T}](\omega) \\
&= \frac{2\pi}{T} \mathcal{F}[f_{0}](\omega) \cdot \delta_{2\pi/T} (\omega)
\end{aligned}

となり，$\mathcal{F}[f_{0}]$を周期$2\pi/T$でサンプリングした形となっている．

参考文献

以下の書籍の問題5.31，5.32の内容です．

フーリエ解析　工学基礎演習シリーズ 1