「ペニーのゲーム」は，連続したコイントスを行い，自分が選んだ3連続のパターンが相手より先に出現するかを競う，確率が絡むゲームである．一見公平に見えるが，実は数学的に後攻が有利であることを示せる．本記事では，ゲームのルール，戦略，マルコフ連鎖…

コイントスを繰り返して，あるパターンが初めて現れるまでには，平均して何回かかるだろうか？一見，表 (H - Head) と裏 (T - Tail) がそれぞれ確率$\dfrac{1}{2}$で出るコインなら，すべてのパターンの期待値は同じだと思うかもしれないが，実は大きく異な…

表（H：Head）と裏（T：Tail）がそれぞれ確率$\frac{1}{2}$で出るコインを繰り返し投げるとき，特定のパターン（例：HHHやTTT）が初めて出現するまでの回数の期待値を考えます．各パターンはどれも同じ確率（$1/8$）で出るのに，なぜか現れるまでの平均回数…

確率の例題で「同じクラスに，同じ誕生日の人が高確率で存在すること」（誕生日のパラドックス - Wikipedia）を題材とした問題がよく取り上げられます．誕生日ならちょっとびっくりする例で済むのですが，生体認証やDNA鑑定で同じことが起きるため，問題とな…

スカラー場 スカラー場の無限小回転 参考文献 スカラー場座標回転$\bm{x} \mapsto \bm{x}^{\prime} = R\bm{x}$に対して，$f\mapsto f^{\prime}$が以下のように変換するとき，$f$をスカラー場という．\begin{aligned} f: & \bm{x} \mapsto f(\bm{x}) \\ f^{\p…

無限小回転とは何か，無限小回転から任意の回転（回転行列）を導出する方法を解説する．外積の行列表現や交代行列との関係も証明付きで詳しく説明する．数学・物理の理解に役立つ内容．

POINT 正項級数の収束を判定する方法と例． 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません．しかし，\begin{aligned} \biggl| \sum_n a_n \biggr| \leq \sum_{n} |a_{n}| \end{aligned}から （正項級数）$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Rightarrow \…

正規分布の畳み込み・相関関数を以下の方法で計算してみる． ➡フーリエ変換を使った相関関数と畳み込みの計算方法 - Notes_JP 準備 畳み込み 相関関数 別解 特性関数を使う 畳み込み 準備この記事では，関数$f$のフーリエ変換を\begin{aligned} \mathcal{F}[…

正規分布の半値幅を計算する（半値幅 - Wikipedia）．正規分布は以下で与えられる（正規分布の覚え方 - Notes_JP）：平均$\mu$，分散$\sigma^{2}$の正規分布\begin{aligned} N(\mu, \sigma^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{- (x-\mu)^{2}/2\sigma^{2}…

POINT 周期関数の「フーリエ変換」はくし型関数（くし型関数 - Wikipedia）で表せる． フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP くし型関数 周期関数の「フーリエ変換」 参考文献 くし型関数くし型関数を\begin{aligned} \delta_{T…

3次元回転行列の公式や導出方法を図解付きで解説します．座標軸周りの回転に加えて，任意軸周りの回転を表す「ロドリゲスの回転公式」についても分かりやすく説明します．

$\log_{10} x$の導関数を計算できますか？ 常用対数から自然対数への変換 一般的な底の変換 一般的な微分公式 常用対数から自然対数への変換常用対数$\log_{10} x$はよく使われますが，例えば微分したいときに困ります．$\ln x = \log_{e}x$の導関数は\begin…

Pythonのnumpyを使った回転行列（2次元）の簡単な実装方法をコード付きで解説します．回転行列の使い方を実例と図でわかりやすく説明しているので，初心者にもおすすめです．

POINT 三角関数の公式は指数関数を使って導くことができる． オイラーの公式を使わない方法は，次の記事を参照してください． 三角関数と公式 - Notes_JP オイラーの公式 加法定理 和積公式 三角関数の合成 オイラーの公式指数関数を使って三角関数の公式を…

POINT よく使う行列の性質をまとめます． 【関連記事】 ベクトル解析の公式 - Notes_JP 対称行列 逆行列 逆行列 クラメルの公式 例：2×2行列 式変形 重み 対称行列${}^t \!A = A$（$a_{ji}=a_{ij}$）を満たす行列を「対称行列」と呼びます．逆行列対称行列の…

POINT FFTと手計算したフーリエ変換を比較する方法について． $T_{\mathrm{s}}$をサンプリング周期とするとき，手計算と比較すべきは「FFTの結果×$T_{\mathrm{s}}$」と「IFFTの結果 / $T_{\mathrm{s}}$」である． numpy.fftを使って，ガウス関数のFFTと手計…

【関連記事】 主成分回帰（PCR）・部分最小二乗法（PLS） - Notes_JP 主成分分析（PCA）とは あらすじ 考え方（分散の最大化） 考え方（対角化） 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析（PCA）とはあらすじ1回の測…

POINT PCAとPLSの導出に関する計算メモ． 【関連記事】 主成分分析（PCA） - Notes_JP 次の書籍の計算メモです．スモールデータ解析と機械学習作者:藤原 幸一オーム社Amazon 用語 PCR - 主成分回帰 PLS - 部分最小二乗法 PLS1 - 目的変数が1つの場合 Python…

$x^{3} = 1$の解は$x = \omega, \omega^{2}, \omega^{3}( = 1)$と表せる（下図）．但し，$\omega$の選び方には図a), b)の2通りがある．さらに，図で3つのベクトルの和を考えれば，図a), b)のどちらでも\begin{aligned} \omega^{2} + \omega + 1 = 0 \end{ali…

複素数を使う：ド・モアブルの定理 加法定理を使う 回転行列を使う 複素数を使う：ド・モアブルの定理ド・モアブルの定理 - Wikipediaを使う．$e^{i3\theta} = (e^{i\theta})^{3}$だから\begin{aligned} e^{i3\theta} & = \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\ …

POINT 相関関数と畳み込みの比較． フーリエ変換を使って計算する方法 フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義 畳み込み積分の意味 フーリエ変換を使った計算方法 離散版 参考記事 定義ここでは積分変数$t$を時間とみなす．…

計算メモ．とても楽しい本です． 以下の書籍で知りました．この数学書がおもしろい 増補新版数学書房Amazon 【目次】 第 1 章 ヴィエトから統計的独立性の概念へ 第 2 章 ボレルとその後 第 3 章 正規法則 第 4 章 素数は賽を振る 第 5 章 気体分子運動論か…

POINT 「実関数のフーリエ変換」の性質について． 現実のデータをフーリエ変換で解析する場合，実数値関数のフーリエ変換となる場合が多い．その性質を知っておくと解析で役に立つ場合がある．フーリエ変換のその他の性質：フーリエ変換の公式と導出 - Notes…

POINT sinのFFT (DFT) と DTFT，連続フーリエ変換の結果を比較する． numpy.fftの使い方を整理する． numpy.fftを正弦波で試したのでメモ． Discrete Fourier Transform (numpy.fft) — NumPy v2.0 Manual sinの（連続）フーリエ変換 sinのFFT (numpy.fft) ラ…

POINT フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する． サンプリングデータから，元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか，という視点で考える． DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか？ サンプリング信号は，どうしてイン…

POINT プールされた分散が現れる背景について． 【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる - Notes_JP 2標本問題 問題設定 それぞれの母分散が既知の場合 母分散が未知だが等しい場合 参考文献 2標本問題問題設定独立な確率変数\begin{al…

ベイズの定理は，条件付き確率の計算において頻繁に使われます．しかし，実は状況を表に整理することで，ベイズの定理の公式を覚えなくても簡単に同じ結果が得られます．この記事では，表を使った「ベイズの定理」の簡単な理解と計算方法を解説します．POINT…

POINT 確率分布の期待値・分散 【関連記事】 事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP：幾何分布 ベルヌーイ分布 期待値 分散 二項分布 期待値 分散 幾何分布 期待値 分散 参考文献 ベルヌーイ分布母比率（信頼区間・検定） - Notes_JP \begin{aligned} \begi…

POINT 両側か片側かを決めるのは，主張したい「対立仮説$H_{1}$」である． 両側検定か，片側検定かはどうやって決まるのか？という話です．「母平均の検定」を例に，両側検定と片側検定を整理します．【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにま…

POINT 分散分析（Analysis of variance (ANOVA)）についてのメモ． 都度更新．【関連記事】 1元配置 問題設定 平方和 自由度 分散分析表 効果の検定 2元配置 参考文献 1元配置問題設定要因$A$の水準$A_{1}, A_{2}, ..., A_{a}$について，それぞれ$r$個の観測…