数学
【関連記事】 主成分回帰（PCR）・部分最小二乗法（PLS） - Notes_JP 主成分分析（PCA）とは あらすじ 考え方（分散の最大化） 考え方（対角化） 元データの分解 データ行列を使った表現 特異値分解との関係 参考文献 主成分分析（PCA）とはあらすじ1回の測…
POINT PCAとPLSの導出に関する計算メモ． 【関連記事】 主成分分析（PCA） - Notes_JP 次の書籍の計算メモです．スモールデータ解析と機械学習作者:藤原 幸一オーム社Amazon 用語 PCR - 主成分回帰 PLS - 部分最小二乗法 PLS1 - 目的変数が1つの場合 Python…
$x^{3} = 1$の解は$x = \omega, \omega^{2}, \omega^{3}( = 1)$と表せる（下図）．但し，$\omega$の選び方には図a), b)の2通りがある．さらに，図で3つのベクトルの和を考えれば，図a), b)のどちらでも\begin{aligned} \omega^{2} + \omega + 1 = 0 \end{ali…
複素数を使う：ド・モアブルの定理 加法定理を使う 回転行列を使う 複素数を使う：ド・モアブルの定理ド・モアブルの定理 - Wikipediaを使う．$e^{i3\theta} = (e^{i\theta})^{3}$だから\begin{aligned} e^{i3\theta} & = \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\ …
POINT 相関関数と畳み込みの比較． フーリエ変換を使って計算する方法 【関連記事】 フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 定義と意味 フーリエ変換を使った計算方法 離散版 参考記事 定義と意味ここでは積分変数$t$を時間とみなす．相互相関関数も畳み込み…
計算メモ．とても楽しい本です． 以下の書籍で知りました．この数学書がおもしろい 増補新版数学書房Amazon 【目次】 第 1 章 ヴィエトから統計的独立性の概念へ 第 2 章 ボレルとその後 第 3 章 正規法則 第 4 章 素数は賽を振る 第 5 章 気体分子運動論か…
POINT 「実関数のフーリエ変換」の性質について． 現実のデータをフーリエ変換で解析する場合，実数値関数のフーリエ変換となる場合が多い．その性質を知っておくと解析で役に立つ場合がある．【関連記事】 フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP 離散フーリ…
POINT sinのFFT (DFT) と DTFT，連続フーリエ変換の結果を比較する． numpy.fftの使い方を整理する． numpy.fftを正弦波で試したのでメモ． Discrete Fourier Transform (numpy.fft) — NumPy v1.22 Manual【関連記事】 フーリエ変換とDFTのつながり - Notes_…
POINT フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する． サンプリングデータから，元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか，という視点で考える． DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか？ サンプリング信号は，どうしてイン…
POINT プールされた分散が現れる背景について． 【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる - Notes_JP 2標本問題 問題設定 それぞれの母分散が既知の場合 母分散が未知だが等しい場合 参考文献 2標本問題問題設定独立な確率変数\begin{al…
POINT 問題を表にまとめると，ベイズの定理を覚えなくても条件付き確率を計算できる． 以前，【ベイズの定理】ベン図でわかる条件付き確率 - Notes_JPでベン図を使ってベイズの定理を理解する方法を解説しました．実は，ベイズの定理（あるいは条件付き確率…
POINT 確率分布の期待値・分散 【関連記事】 事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP：幾何分布 ベルヌーイ分布 期待値 分散 二項分布 期待値 分散 幾何分布 期待値 分散 参考文献 ベルヌーイ分布母比率（信頼区間・検定） - Notes_JP \begin{aligned} \begi…
POINT 両側か片側かを決めるのは，主張したい「対立仮説$H_{1}$」である． 両側検定か，片側検定かはどうやって決まるのか？という話です．「母平均の検定」を例に，両側検定と片側検定を整理します．【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにま…
POINT 分散分析（Analysis of variance (ANOVA)）について． 都度更新．【関連記事】 1元配置 問題設定 平方和 自由度 分散分析表 効果の検定 2元配置 参考文献 1元配置問題設定要因$A$の水準$A_{1}, A_{2}, ..., A_{a}$について，それぞれ$r$個の観測値が得…
POINT 線形単回帰，線形重回帰の概説． 性質を全て調べるのはなかなか大変です．【関連記事】 最小二乗法の計算（理論） - Notes_JP 分散分析 - Notes_JP 線形回帰 問題設定 標準的仮定 パラメータの推定方法 用語 単回帰 重回帰 最小2乗法 最尤法 回帰係数…
POINT 母集団に知りたい性質を持つものが「ある比率」で含まれるときに，無作為標本で比率を推定する方法． 母比率（知りたい真の値）を$p$とするとき，すべての標本が確率$p$で性質をもつと考えれば，「ベルヌーイ母集団からの無作為標本」と考えることがで…
POINT 正規分布の性質について． 忘れたときに，順に導く方法． 忘れたときに，どのような順序で考えればよいかを整理します． 【関連記事】 [A] ガウス積分と派生公式 - Notes_JP：ガウス積分に慣れていない場合はこの記事を参考にしてください． 正規分布…
POINT 数列の上極限（limsup）・下極限（liminf）について． 級数の収束半径などで現れます．$\epsilon$-$N$論法の良い練習になります．$\inf, \sup$の性質（定義）さえわかっていれば，必要に応じて導けると思います．コンパクトな内容にしようと思っていま…
以下の書籍の例をPythonで試しました．カルマンフィルタの基礎作者:足立修一,丸田一郎東京電機大学出版局Amazon【関連記事】 Pythonで拡張カルマンフィルタ - Notes_JP Unscented Kalman Filter (UKF) numpyによる実装 物体の落下運動（拡張カルマンフィルタ…
以下の書籍の例をPythonで試しました． また，拡張カルマンフィルタを使うと，（当然）線形カルマンフィルタの例も計算できることを確かめます．カルマンフィルタの基礎作者:足立修一,丸田一郎東京電機大学出版局Amazon【関連記事】 PythonでUnscented Kalma…
POINT Savitzky-Golayの係数を計算するsavgol_coeffsの内容に関するメモ． scipy.signal.savgol_coeffs — SciPy v1.9.3 Manualの計算メモ．思ったよりも単純ではなかった．Referencesの"Ying, and Jing Bai. 2005. Savitzky-Golay smoothing and differentia…
POINT 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録． 各章が短くて進めやすい（第9週は2ページ！） 【関連】読書メモ - Notes_JP．東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです．出席した学生の中から，数学者になった方もいるそうです．…
POINT 点と直線の距離，点と平面の距離を導く． イメージ重視の説明にしています． 簡単に覚えて，いつでも思い出せる手法です． 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…
POINT 上極限集合，下極限集合を使うための練習． 面倒臭がらずに定義に戻って考えればわかります．証明できるようになると同時に，直感的な意味も把握しておくと性質を思い出しやすいです． 【関連記事】 [A] 「数列」の上極限・下極限・極限 - Notes_JP：…
POINT 条件付き期待値を使った計算例． 2017年に賭ケグルイ双（スリーヒットダイス）を読んで書こうと思い，そのまま放置していたネタを引っ張り出してきました． 【関連記事】 [A]事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP 条件付き期待値を使う理由 条件付き…
POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$． 様々な計算方法があります．中でも，条件付き期待値による方法は，直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…
POINT 床関数・天井関数の定義 競技プログラミングでよく使われる関係式の導出 分数のところの関係式が競技プログラミング（AtCoder，蟻本など）のコードでよく使われています．検索しても欲しい記事が出てこないので，自分で考えました． 床関数 天井関数 …
POINT 離散フーリエ変換（DFT）に関するまとめ． 計算機では有限子の離散データしか扱えない．そこで，有限子の離散データを周期的に拡張して扱う． 非周期的なデータは扱えず，周期的なデータとなる． フーリエ変換は離散フーリエ変換（DFT）として扱い，高…
POINT 射影の基本的性質． ベクトルのとても基本的，かつ便利な考え方です．この記事で紹介するのは，慣れればどれも当たり前に感じられる性質です． この考え方は，フーリエ級数などでも役に立ちます． 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…
POINT 座標軸を回転させるとき，「基底は同じ方向に回転」し，「ベクトルは逆方向に回転」する． 基底の変換則，ベクトルの変換則を導く． 結果をまとめておきます（$R(\theta)$は回転行列）． 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…