数学

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【読書メモ】ガロアの夢―群論と微分方程式(久賀道郎 )

POINT 読書メモ(作成中). 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録. 各章が短くて進めやすい(第9週は2ページ!) 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです.出席した学生の中から,数学者になった方もいるそうです.以前,モ…

点と直線の距離・点と平面の距離

POINT 点と直線の距離,点と平面の距離を導く. イメージ重視の説明にしています. 簡単に覚えて,いつでも思い出せる手法です. 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…

上極限・下極限・極限(集合)

POINT 上極限集合,下極限集合を使うための練習. そんなに難しい話ではないのに,最初はとっつきにくい集合論. 頭の体操にはちょうどよいかも?面倒臭がらずに定義に戻って考えればわかります.また,直感的な意味も把握しておくとよいです. 【関連記事】…

条件付き期待値の計算例

POINT 条件付き期待値を使った計算例. 2017年に賭ケグルイを読んで書こうと思い,そのまま放置していたネタを引っ張り出してきました. 【関連記事】 [A]事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP 条件付き期待値を使う理由 条件付き期待値とは 確率と期待値 …

事象が起こるまでの試行回数

POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. 様々な計算方法があります.中でも,条件付き期待値による方法は,直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…

床関数・天井関数と関係式

POINT 床関数・天井関数の定義 競技プログラミングでよく使われる関係式の導出 分数のところの関係式が競技プログラミング(AtCoder,蟻本など)のコードでよく使われています.検索しても欲しい記事が出てこないので,自分で考えました. 床関数 天井関数 …

離散フーリエ変換(DFT)

POINT 離散フーリエ変換(DFT)に関するまとめ. 計算機では有限子の離散データしか扱えない.よって,有限子の離散データを周期的に拡張して扱う. 非周期的なデータは扱えず,周期的なデータとなる. フーリエ変換は離散フーリエ変換(DFT)として扱い,高…

ベクトルの射影と直交化

POINT 射影の基本的性質. ベクトルのとても基本的,かつ便利な考え方です.この記事で紹介するのは,慣れればどれも当たり前に感じられる性質です. この考え方は,フーリエ級数などでも役に立ちます. 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…

座標軸の回転と変換則

POINT 座標軸を回転させるとき,「基底は同じ方向に回転」し,「ベクトルは逆方向に回転」する. 基底の変換則,ベクトルの変換則を導く. 結果をまとめておきます($R(\theta)$は回転行列). 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…

鞍点法

POINT 鞍点法(鞍部点法,最急降下(線)法)の計算について. 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数(正則関数)$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す($f=u+iv$)ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…

【読書メモ】ベイズ推論による機械学習入門(須山敦志)

以下の書籍のメモです.目的は, 見通しが良い形で書き換えたい:かなり丁寧に解説してくれている分,後から見返したときに見通しが悪い部分があるため. 省略されている計算・ロジックのフォロー. です.1, 2章は必要になったときに参照し,3章から読むと…

【高校数学】三角不等式

三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます:三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと,次の派生公式を導くことができます.\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\vec{x} + \vec…

【高校数学】二項定理・多項定理

POINT 二項定理のポイントは「場合の数」. 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要. 多項定理も全く同じように理解できる. 二項定理 多項定理 二項定理二項定理\begin{ali…

ベルヌーイ分布から多項分布へ

POINT ベルヌーイ分布を一般化し,多項分布を得る. 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です.ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として,2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布:コイン(2面サイコロ)を1回投げる. …

【高校数学】三角形の重心(位置ベクトル)

POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法. 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき,\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\ &…

【高校数学】平方完成

POINT 平方完成を使うことで,2次方程式の解の公式が導ける. 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく,数式を扱う際には(大学でも)よく現れます.単なる計算テクニックなので,何度かやって慣れてしまいましょう. 平方完成とは 手順 2次方程式の解…

三角関数の合成と一般化

POINT 複数の三角関数の和を計算する. 物理的には,単振動を複数合成することを意味する. オイラーの公式を用いて導出することもできる. 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは,$\sin$と$\cos$の合成公式…

フーリエ変換の公式と導出

POINT フーリエ変換の関係式とその導出. 【関連記事】 畳み込み - Notes_JP 離散フーリエ変換(DFT) - Notes_JP 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数…

バームクーヘン積分

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説. 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます.英語だとShell integrationと呼ばれているようです.立体をShell(殻…

ガウス積分と派生公式

POINT ガウス積分の計算をまとめました. ガウス積分とは,ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです.ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから,ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります.派生する公式が多いことも特徴の一つです…

最小二乗法の計算(理論)

POINT 最小二乗法の計算を解説. 最小二乗法の計算について紹介します.微分法による極値問題の一例としても良い題材です.【注】この記事は(まだ?)細かい部分を詰めることはせず,ざっくりとした計算の流れを整理することを主眼としています.Excel関数…

【図解】ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法POINT 絵を使えば「ユークリッドの互除法」が簡単にわかる. 絵を書くことで,最大公約数の求め方(ユークリッドの互除法)を簡単に理解できます.【メモ】 あと何箇所か絵を入れたい. 不定方程式も図解したい. 絵で見る最大公約数 絵…

最大公約数の求め方(ユークリッドの互除法)

POINT 整数の最大公約数の求め方. 繰り返し2数の割り算を計算することで,最大公約数がわかる. 整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法に「ユークリッドの互除法」と呼ばれる方法があります.名前は難しそうですが,やっていることはとても簡単です.実際,…

3点を通る円の中心と半径

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出する. 導出した式で計算フォームを作成. Excelにコピペして使えるフォーマットあり. 単純な「連立方程式」の問題ですが,一般解は少し複雑な形になります. 計算フォーム Excel用フォーマ…

テンソルは関数として理解できる

POINT テンソルは「ベクトル(と転置ベクトル)」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる. 例:行列$M$はテンソルである.なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値:${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

三角関数と公式

POINT 三角関数の公式のほとんどは,単位円やグラフを描けば導ける. 例外的に「加法定理(3つ)」だけは暗記が必要.他の公式は加法定理から簡単に計算できる. 三角関数はあらゆる分野で現れます.ベクトルなどと同様に,ツールとしての役割が大きいです.…

【実用例】面積・体積の計算法

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説. 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介. 公式として覚えているものも,同じプロセスで導かれることを見てみましょう.いつでも導出できるようになると便利です.とりあえずは球を中心に作成しました.他の例も,こ…

【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる

POINT 統計的仮説検定についての最低限の知識をまとめました. 具体例として,「コイントス」,「母平均についての$Z$検定」を考えます. 統計的仮説検定は,ポイントさえ抑えてしまえば難しくありません.確率分布の図を描いてみれば,簡単に理解することが…

【ベイズの定理】ベン図でわかる条件付き確率

POINT ベン図を使えば,条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる. ベイズの定理の応用例を紹介. 結論:下図より,$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$となることがわかる! ベイズの定…

テンソルと行列が混同される理由

POINT ざっくり言えば,「テンソルの成分」と呼ばれる量を「行列の形」に並べると(表記や計算で)便利なことがある,というのが一つの答え.背景には,もう少し深い性質がある. 主な混乱の原因は,「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソ…