数学

このカテゴリーの目次を作成しました:

フーリエ変換の公式と導出

POINT フーリエ変換の関係式とその導出. 気が向いたら(他の関係式も)追記していきます.理論編はまた別記事で書きたいと思っています. 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の変換 計算例 指数関数 ガウス関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍…

ガウス積分と派生公式

POINT 物理で多用するガウス積分の計算をまとめました. 【メモ】 多次元について追記予定. ガウス積分 派生公式 変数の定数倍 変数の平行移動(虚軸) フーリエ変換 パラメータについての微分 応用 正規分布(ガウス分布) ガウス積分\begin{align} \int_{…

最小二乗法の計算(理論)

POINT 最小二乗法の計算を解説. 最小二乗法の計算について紹介します.微分法による極値問題の一例としても良い題材です.【注】この記事は(まだ?)細かい部分を詰めることはせず,ざっくりとした計算の流れを整理することを主眼としています.Excel関数…

絵で見る最大公約数(ユークリッドの互除法)

ユークリッドの互除法POINT 絵を使えば「ユークリッドの互除法」が簡単にわかる. 絵を書いてみると,最大公約数の求め方(ユークリッドの互除法)を簡単に理解することができます.【メモ】 あと何箇所か絵を入れたい. 不定方程式も図解したい. 絵で見る…

3点を通る円の中心と半径

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出. 導出した式で計算フォームを作成. 昔,Excelに数式ベタ打ちで円の半径を求めた際の計算をメモしておきます.単純な「連立方程式」の問題ですが,一般解はそこまで単純な形になりません.…

テンソルは関数として理解できる

POINT テンソルは「ベクトル(と転置ベクトル)」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる. 例:行列$M$はテンソルである.なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値:${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

【実用例】面積・体積の計算法

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説. 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介. 公式として覚えているものも,同じプロセスで導かれることを見てみましょう.いつでも導出できるようになると便利です.とりあえずは球を中心に作成しました.他の例も,こ…

【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる

POINT 統計的仮説検定についての最低限の知識をまとめました. 具体例として,「コイントス」,「母平均についての$Z$検定」を考えます. 統計的仮説検定は,ポイントさえ抑えてしまえば難しくありません.確率分布の図を描いてみれば,簡単に理解することが…

【ベイズの定理】ベン図でわかる条件付き確率

POINT ベン図を使えば,条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる. ベイズの定理の応用例を紹介. 結論:下図より,$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$となることがわかる! ベイズの…

テンソルと行列が混同される理由

POINT 「行列の成分」が「2階のテンソル(1階反変1階共変テンソル)の成分」になることが混乱の原因. この性質は「テンソルの商法則」の特別な場合に相当する. テンソルを関数と捉えて「行列がテンソルとなること」を示す方法もある. テンソルと行列の違…

テンソルの変換則とその導出

POINT 基底の変換則から,高階のテンソルの変換則が導かれる. 導出した変換則を一覧として整理した. 以前の記事で, 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から,自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました.この議論を一般化す…

反変・共変ベクトルの変換則〜双対空間から理解する

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている. 双対空間を学べば,共変ベクトルの変換則が自然に導かれる. ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は,物理の様々な場面で …

【例】役に立つ標準偏差〜偏差値・ボリンジャーバンド・測定

POINT 標準偏差の役立つ実用例を紹介. 偏差値・ボリンジャーバンド・測定 Excelによるボリンジャーバンドの描画法. 確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います.また,「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られ…

【等長変換】回転・反転・Lorentz変換

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される. ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる. 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています.但し,これは「ユークリッド空間」での話です…

極限操作(微分・積分・lim)の交換:定理と反例

POINT 極限操作(lim,微分,積分)を入れ替えられない例の紹介. 一様収束や微分,積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる. 絵(グラフ)で考えることが重要です.以下のような"当たり前"のポイントさえ掴んでいれば,反例を考えることは…

【例】収束因子

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介. 物理においては,実験との比較によって正当化される. 物理では,広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし,最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります.この操作が正当化されるの…

【例】選出公理の使い方

POINT 選出公理(選択公理,Axiom of choice)の主張と例を紹介. どこで使われているのかわかりにくい,選出公理.その適用例を紹介します. 選出公理 選出公理の適用例 例1:任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む. 参考文献 選出公理まず…

【点推定】分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法

POINT 有限個のサンプルから,分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法. 測定への応用を紹介. ある分布から,有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します.これは,何かの「測定」を行う際には避けられない話題で…

曲面積の求め方

POINT 曲面積の定義式さえ理解しておけば,派生公式なしで計算が可能です. 具体例として,曲面積の定義から回転体の表面積などの派生公式を導いてみます. この記事を読めば, 曲面積の定義式(\ref{eq:surf_area})さえ理解しておけば,派生公式を覚える必要…

0.999・・・=1の意味

POINT 0.999・・・=1という式の意味について解説する. 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる. 2進数を始め,N進数でも同じことが起こる. 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが,納得できている人は多くないのではない…

【高校数学】因数分解の手順

POINT 因数分解の手順を紹介. 方法さえ理解できれば,公式を覚えずに済む. 高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人,結構いるんじゃないでしょうか? この記事では,因数分解のコツを紹介します.マスターできれば,複雑な公式を覚えずに済ますこと…

【パラドックス】「1=−1」と複素数の平方根

POINT 複素数の平方根で有名な1=−1となるパラドックスを紹介. 実数の平方根と異なり,符号を一意に決められないことが原因. 高校生や大学の複素解析を学んだとき,「平方根」で混乱したことはないでしょうか?一見正しそうな計算により,1=−1 が導かれる…

回転行列(2次元・3次元)の導出〜超簡単な方法

回転行列POINT 回転行列(2次元・3次元)を簡単に導出する方法の紹介. ポイントは「行列は単位ベクトルの変換先を並べたものである」こと. 同じ方法で3次元回転行列を始め,どんな行列も導出できる. 「回転行列」とは,ベクトルに作用させると「回転した…

10進数から2進数への変換法

POINT 10進数から2進数へ変換する方法を解説する. 10進数の各桁を求めるのと同じことをしているのがわかる. 「2進数の各桁を求めること」は,「10進数の各桁を求めるのと同じ操作」に過ぎないのです. 難しいことは何もありません.10進数の各桁をどうやっ…

ランダウの記号の使い方

POINT ランダウの記号は,無限小や無限大を議論する際に現れる. 微小量の高次項を表す際,$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号が現れます(カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります).例えば,微積分学の教科書の中には,証明の中でこの記号…

【Lebesgue積分】優収束定理(limと積分の順序交換)

POINT 優収束定理(limと積分の順序交換)と応用例の解説. 優収束定理とその適用例を紹介します.微分・積分の順序交換については,以下の記事を参照して下さい: 優収束定理 例 参考文献 優収束定理 優収束定理 (Dominated convergence theorem) $(X,\math…

【正項級数】収束判定法と例

POINT 正項級数の収束を判定する方法と例の紹介. 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません.しかし, \begin{align} \left| \sum_n a_n\right|\leq \sum_n |a_n| \end{align} から (正項級数)$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Rightarrow \dis…

【中心極限定理】測定値と標準誤差,コイン投げ

POINT 中心極限定理(Central limit theorem, CLT)の解説. 応用例として測定やコイン投げを紹介. 世の中に正規分布があふれる背景の一つに,中心極限定理の存在が挙げられます. 中心極限定理 【例】測定値と標準誤差 真値$\mu$の推定量について,中心極…

【Lebesgue積分】微積分の順序交換

POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介. 応用例としてGauss積分について解説する. 微積分の順序交換に関する定理と,応用例を紹介します. 極限記号$\lim$と,積分$\displaystyle\int$の順序交換(優収束定理)については,次の記事を参照して下さい:…

【反例】Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な例:sinx/x

POINT 「Riemann可積分であり,Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介. 関数$\dfrac{\sin x}{x}$は,広義Riemann積分可能でも,Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています.じゃあ,「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか…