数学

このカテゴリーの目次を作成しました: Mathematicsの記事一覧

正弦波のFFT (numpy.fft)

POINT sinのFFT (DFT) と DTFT,連続フーリエ変換の結果を比較する. numpy.fftの使い方を整理する. numpy.fftを正弦波で試したのでメモ. Discrete Fourier Transform (numpy.fft) — NumPy v1.22 Manual【関連記事】 フーリエ変換とDFTのつながり - Notes_…

フーリエ変換とDFTのつながり

POINT フーリエ変換〜DTFT〜DFTのつながりを整理する. サンプリングデータから,元の連続信号のスペクトルを得るにはどうすればよいか,という視点で考える. DFTと元の連続信号のフーリエ変換はどういう関係にあるのか? サンプリング信号は,どうしてイン…

2標本問題とプールされた分散

POINT プールされた分散が現れる背景について. 【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにまとめる - Notes_JP 2標本問題 問題設定 それぞれの母分散が既知の場合 母分散が未知だが等しい場合 参考文献 2標本問題問題設定独立な確率変数\begin{al…

表でわかるベイズの定理(公式いらず)

POINT 問題を表にまとめると,ベイズの定理を覚えなくても条件付き確率を計算できる. 以前,【ベイズの定理】ベン図でわかる条件付き確率 - Notes_JPでベン図を使ってベイズの定理を理解する方法を解説しました.実は,ベイズの定理(あるいは条件付き確率…

確率分布

POINT 確率分布の期待値・分散 【関連記事】 事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP:幾何分布 ベルヌーイ分布 期待値 分散 二項分布 期待値 分散 幾何分布 期待値 分散 参考文献 ベルヌーイ分布母比率(信頼区間・検定) - Notes_JP \begin{aligned} \begi…

両側検定と片側検定

POINT 両側か片側かを決めるのは,主張したい「対立仮説$H_{1}$」である. 両側検定か,片側検定かはどうやって決まるのか?という話です.「母平均の検定」を例に,両側検定と片側検定を整理します.【関連記事】 【統計的仮説検定】手順と例を1ページにま…

分散分析

POINT 分散分析(Analysis of variance (ANOVA))について. 都度更新.【関連記事】 1元配置 問題設定 平方和 自由度 分散分析表 効果の検定 2元配置 参考文献 1元配置問題設定要因$A$の水準$A_{1}, A_{2}, ..., A_{a}$について,それぞれ$r$個の観測値が得…

線形回帰

POINT 線形単回帰,線形重回帰の概説. 性質を全て調べるのはなかなか大変です.【関連記事】 最小二乗法の計算(理論) - Notes_JP 分散分析 - Notes_JP 線形回帰 問題設定 標準的仮定 パラメータの推定方法 用語 単回帰 重回帰 最小2乗法 最尤法 回帰係数…

母比率(信頼区間・検定)

POINT 母集団に知りたい性質を持つものが「ある比率」で含まれるときに,無作為標本で比率を推定する方法. 母比率(知りたい真の値)を$p$とするとき,すべての標本が確率$p$で性質をもつと考えれば,「ベルヌーイ母集団からの無作為標本」と考えることがで…

正規分布の覚え方

POINT 正規分布の性質について. 忘れたときに,順に導く方法. 忘れたときに,どのような順序で考えればよいかを整理します. 【関連記事】 [A] ガウス積分と派生公式 - Notes_JP:ガウス積分に慣れていない場合はこの記事を参考にしてください. 正規分布…

「数列」の上極限・下極限・極限

POINT 数列の上極限(limsup)・下極限(liminf)について. 級数の収束半径などで現れます.$\epsilon$-$N$論法の良い練習になります.$\inf, \sup$の性質(定義)さえわかっていれば,必要に応じて導けると思います.コンパクトな内容にしようと思っていま…

【読書メモ】ガロアの夢―群論と微分方程式(久賀道郎 )

POINT 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録. 各章が短くて進めやすい(第9週は2ページ!) 【関連】読書メモ - Notes_JP.東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです.出席した学生の中から,数学者になった方もいるそうです.…

点と直線の距離・点と平面の距離

POINT 点と直線の距離,点と平面の距離を導く. イメージ重視の説明にしています. 簡単に覚えて,いつでも思い出せる手法です. 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…

「集合」の上極限・下極限・極限

POINT 上極限集合,下極限集合を使うための練習. 面倒臭がらずに定義に戻って考えればわかります.証明できるようになると同時に,直感的な意味も把握しておくと性質を思い出しやすいです. 【関連記事】 [A] 「数列」の上極限・下極限・極限 - Notes_JP:…

条件付き期待値の計算例

POINT 条件付き期待値を使った計算例. 2017年に賭ケグルイを読んで書こうと思い,そのまま放置していたネタを引っ張り出してきました. 【関連記事】 [A]事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP 条件付き期待値を使う理由 条件付き期待値とは 確率と期待値 …

事象が起こるまでの試行回数

POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. 様々な計算方法があります.中でも,条件付き期待値による方法は,直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…

床関数・天井関数と関係式

POINT 床関数・天井関数の定義 競技プログラミングでよく使われる関係式の導出 分数のところの関係式が競技プログラミング(AtCoder,蟻本など)のコードでよく使われています.検索しても欲しい記事が出てこないので,自分で考えました. 床関数 天井関数 …

離散フーリエ変換(DFT)

POINT 離散フーリエ変換(DFT)に関するまとめ. 計算機では有限子の離散データしか扱えない.そこで,有限子の離散データを周期的に拡張して扱う. 非周期的なデータは扱えず,周期的なデータとなる. フーリエ変換は離散フーリエ変換(DFT)として扱い,高…

ベクトルの射影と直交化

POINT 射影の基本的性質. ベクトルのとても基本的,かつ便利な考え方です.この記事で紹介するのは,慣れればどれも当たり前に感じられる性質です. この考え方は,フーリエ級数などでも役に立ちます. 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…

座標軸の回転と変換則

POINT 座標軸を回転させるとき,「基底は同じ方向に回転」し,「ベクトルは逆方向に回転」する. 基底の変換則,ベクトルの変換則を導く. 結果をまとめておきます($R(\theta)$は回転行列). 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…

鞍点法

POINT 鞍点法(鞍部点法,最急降下(線)法)の計算について. 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数(正則関数)$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す($f=u+iv$)ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…

【読書メモ】ベイズ推論による機械学習入門(須山敦志)

以下の書籍のメモです.目的は, 見通しが良い形で書き換えたい:かなり丁寧に解説してくれている分,後から見返したときに見通しが悪い部分があるため. 省略されている計算・ロジックのフォロー. です.1, 2章は必要になったときに参照し,3章から読むと…

【高校数学】三角不等式

三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます:三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと,次の派生公式を導くことができます.\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\vec{x} + \vec…

【高校数学】二項定理・多項定理

POINT 二項定理のポイントは「場合の数」. 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要. 多項定理も全く同じように理解できる. 二項定理 多項定理 二項定理二項定理\begin{ali…

ベルヌーイ分布から多項分布へ

POINT ベルヌーイ分布を一般化し,多項分布を得る. 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です.ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として,2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布:コイン(2面サイコロ)を1回投げる. …

【高校数学】三角形の重心(位置ベクトル)

POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法. 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき,\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\ &…

【高校数学】平方完成

POINT 平方完成を使うことで,2次方程式の解の公式が導ける. 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく,数式を扱う際には(大学でも)よく現れます.単なる計算テクニックなので,何度かやって慣れてしまいましょう. 平方完成とは 手順 2次方程式の解…

三角関数の合成と一般化

POINT 複数の三角関数の和を計算する. 物理的には,単振動を複数合成することを意味する. オイラーの公式を用いて導出することもできる. 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは,$\sin$と$\cos$の合成公式…

フーリエ変換の公式と導出

POINT フーリエ変換の関係式とその導出. 【関連記事】 畳み込み - Notes_JP 離散フーリエ変換(DFT) - Notes_JP デルタ関数と公式 - Notes_JP ガウス積分と派生公式 - Notes_JP 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガ…

バームクーヘン積分

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説. 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます.英語だとShell integrationと呼ばれているようです.立体をShell(殻…